快速傅里葉變換的原理與方法

快速傅里葉變換的原理與方法一、本文概述本文旨在深入解析快速傅里葉變換（FastFourierTransform，簡稱FFT）的原理與方法。FFT是一種高效的算法，用于計(jì)算離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform，簡稱DFT）及其逆變換。通過FFT，我們可以將時(shí)域信號轉(zhuǎn)化為頻域信號，或者將頻域信號轉(zhuǎn)化回時(shí)域信號，這對于信號處理、通信、圖像處理等眾多領(lǐng)域具有極其重要的應(yīng)用價(jià)值。本文首先將對FFT的基本概念進(jìn)行介紹，包括DFT的定義和性質(zhì)，以及為什么需要FFT來加速DFT的計(jì)算。接著，我們將詳細(xì)介紹FFT的基本原理，包括其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和算法實(shí)現(xiàn)的核心思想。在此基礎(chǔ)上，我們將進(jìn)一步探討FFT的多種實(shí)現(xiàn)方法，如庫利-圖基（Cooley-Tukey）算法、混合基數(shù)算法等，并比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。本文還將對FFT在實(shí)際應(yīng)用中的一些問題進(jìn)行討論，如數(shù)值穩(wěn)定性、精度問題以及FFT在信號處理中的具體應(yīng)用案例。我們將對FFT的未來發(fā)展方向進(jìn)行展望，探討其在新技術(shù)、新領(lǐng)域中的應(yīng)用前景。通過本文的閱讀，讀者將能夠全面理解FFT的原理與方法，掌握其在實(shí)際應(yīng)用中的操作技巧，為進(jìn)一步深入研究和應(yīng)用FFT打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。二、傅里葉變換基礎(chǔ)知識傅里葉變換（FourierTransform）是一種在信號處理、圖像處理、量子物理等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。其核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的信號或函數(shù)分解為一系列簡單的正弦波或余弦波，這些波的頻率、振幅和相位是原信號或函數(shù)的特性。這種分解提供了一種從頻率域分析信號或函數(shù)的新視角，使得一些在時(shí)域中難以處理的問題得以簡化。連續(xù)傅里葉變換：對于連續(xù)時(shí)間信號(f(t))，其傅里葉變換定義為：F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omegat}dt]其中，(\omega)是頻率，(j)是虛數(shù)單位，(F(\omega))是頻率域的函數(shù)，表示原信號在各個(gè)頻率上的幅度和相位。離散傅里葉變換（DFT）：對于離散信號(f[n])，其傅里葉變換為：[k]=\sum_{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}]其中，(k)是頻率索引，(N)是信號的長度，([k])是頻率域上的離散值。快速傅里葉變換（FFT）：雖然DFT提供了從時(shí)域到頻域的變換方法，但當(dāng)信號長度(N)很大時(shí)，DFT的計(jì)算量非常大，復(fù)雜度為(O(N^2))。快速傅里葉變換（FFT）是DFT的一種高效實(shí)現(xiàn)算法，其復(fù)雜度降低到(O(N\logN))，極大地提高了計(jì)算效率。FFT利用了DFT中的對稱性、周期性和可加性，通過分治策略將長序列的DFT分解為短序列的DFT，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)因子的特性進(jìn)行計(jì)算。傅里葉變換不僅是一種分析工具，也是一種信號處理的手段。例如，通過濾波操作，我們可以在頻域上濾除不需要的頻率成分，再通過逆傅里葉變換得到處理后的時(shí)域信號。傅里葉變換還廣泛應(yīng)用于頻譜分析、信號合成、圖像處理、通信系統(tǒng)等多個(gè)領(lǐng)域。了解傅里葉變換的基礎(chǔ)知識，對于深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用快速傅里葉變換（FFT）算法至關(guān)重要。通過FFT，我們能夠更高效地處理和分析信號，為各種工程和科學(xué)應(yīng)用提供有力的工具。三、快速傅里葉變換（FFT）的原理快速傅里葉變換（FastFourierTransform，簡稱FFT）是一種計(jì)算離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform，簡稱DFT）及其逆變換的高效算法。傳統(tǒng)的DFT算法需要O(N2)的時(shí)間復(fù)雜度，而FFT通過一系列的數(shù)學(xué)技巧和優(yōu)化，將時(shí)間復(fù)雜度降低到O(NlogN)，極大地提高了計(jì)算效率。FFT的基本原理主要基于兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)：分治策略（Divide-and-Conquer）和周期性。分治策略是FFT算法的核心思想。它通過將N點(diǎn)的DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT，然后再進(jìn)一步分解為四個(gè)N/4點(diǎn)的DFT，以此類推，直到最后只剩下一點(diǎn)的DFT。這種遞歸分解的方式大大減少了計(jì)算的復(fù)雜度。周期性是FFT算法的另一個(gè)重要性質(zhì)。由于DFT具有周期性，即[k+N]=[k]，我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來減少計(jì)算量。在FFT算法中，通過旋轉(zhuǎn)因子（TwiddleFactor）的引入，我們可以利用這種周期性來避免重復(fù)的計(jì)算。FFT算法的具體實(shí)現(xiàn)方式有很多種，其中最常用的是庫利-圖基（Cooley-Tukey）算法。該算法利用分治策略和周期性，通過遞歸地將DFT分解為更小的DFT，并利用旋轉(zhuǎn)因子來合并這些小的DFT，最終得到整個(gè)DFT的結(jié)果。FFT的原理是通過分治策略和周期性來減少DFT的計(jì)算量，從而實(shí)現(xiàn)高效、快速的傅里葉變換。這種算法在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號處理、圖像處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。四、FFT的實(shí)現(xiàn)方法快速傅里葉變換（FFT）是一種高效的計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）和其逆變換的算法。FFT的出現(xiàn)極大地減少了計(jì)算DFT所需的復(fù)雜度，使得實(shí)時(shí)信號處理和分析成為可能。FFT的實(shí)現(xiàn)方法主要基于分治策略和蝶形運(yùn)算。分治策略是FFT的核心思想。它通過將原始的長序列DFT分解為若干個(gè)短序列DFT來降低計(jì)算復(fù)雜度。具體來說，對于長度為N的序列，如果N是2的整數(shù)次冪，那么可以將這個(gè)序列分為兩個(gè)長度為N/2的子序列，分別對這兩個(gè)子序列進(jìn)行DFT，然后通過一定的組合方式將兩個(gè)子序列的DFT結(jié)果合并，得到原始序列的DFT結(jié)果。這樣，原本需要O(N^2)復(fù)雜度的DFT就被降低到了O(NlogN)復(fù)雜度。蝶形運(yùn)算是FFT的另一個(gè)重要概念。在FFT的計(jì)算過程中，大量的運(yùn)算都是蝶形運(yùn)算。蝶形運(yùn)算是一種特殊的運(yùn)算方式，它通過對兩個(gè)相鄰的元素進(jìn)行加法和減法運(yùn)算，得到新的兩個(gè)元素。這兩個(gè)新的元素在后續(xù)的計(jì)算中會(huì)作為輸入?yún)⑴c其他的蝶形運(yùn)算。通過不斷的蝶形運(yùn)算，最終可以得到FFT的結(jié)果。在實(shí)際的實(shí)現(xiàn)中，F(xiàn)FT的算法有很多種，如Cooley-Tukey算法、Radix-2^k算法、混合基數(shù)算法等。這些算法各有優(yōu)缺點(diǎn)，適用于不同的場景。在實(shí)現(xiàn)FFT時(shí)，需要根據(jù)具體的需求和場景選擇合適的算法，并進(jìn)行相應(yīng)的優(yōu)化，以達(dá)到最佳的性能和精度。FFT的實(shí)現(xiàn)方法主要基于分治策略和蝶形運(yùn)算。通過合理的算法選擇和優(yōu)化，可以實(shí)現(xiàn)高效的FFT計(jì)算，為信號處理和分析提供有力的支持。五、FFT的優(yōu)化技巧快速傅里葉變換（FFT）是一種高效計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）的算法，它在信號處理、圖像處理、通信、音頻處理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。然而，即使FFT算法本身已經(jīng)大大減少了DFT的計(jì)算復(fù)雜度，但在實(shí)際應(yīng)用中，我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^一些優(yōu)化技巧進(jìn)一步提高FFT的性能。利用對稱性：FFT的一個(gè)重要性質(zhì)是輸入序列的對稱性。在進(jìn)行FFT計(jì)算時(shí)，我們可以利用這種對稱性來減少計(jì)算量。例如，對于實(shí)數(shù)輸入序列，其傅里葉變換的結(jié)果具有共軛對稱性，因此只需要計(jì)算一半的頻率點(diǎn)，另一半可以通過共軛對稱性得到。混合基數(shù)算法：FFT有多種實(shí)現(xiàn)方式，其中混合基數(shù)算法是一種有效的優(yōu)化策略。它允許我們根據(jù)輸入序列的長度選擇最合適的基數(shù)（通常是4或8）進(jìn)行分解，從而最大限度地減少計(jì)算量。利用迭代法：傳統(tǒng)的FFT算法采用遞歸方式實(shí)現(xiàn)，每次遞歸都會(huì)涉及到大量的數(shù)據(jù)復(fù)制操作，這會(huì)影響算法的性能。迭代法通過減少數(shù)據(jù)復(fù)制，提高了FFT的效率。在迭代法中，我們首先計(jì)算出所有需要的旋轉(zhuǎn)因子，然后反復(fù)使用這些旋轉(zhuǎn)因子進(jìn)行迭代計(jì)算，從而避免了遞歸帶來的額外開銷。使用快速算法：除了基本的FFT算法外，還有一些快速算法，如分裂基FFT（Split-RadixFFT）和庫利-圖基FFT（Cooley-TukeyFFT）等。這些算法在特定情況下比基本的FFT算法具有更高的效率。優(yōu)化旋轉(zhuǎn)因子的計(jì)算：在FFT計(jì)算中，旋轉(zhuǎn)因子的計(jì)算是一個(gè)重要的步驟。通過優(yōu)化旋轉(zhuǎn)因子的計(jì)算，我們可以進(jìn)一步提高FFT的性能。例如，我們可以利用查表法來預(yù)先計(jì)算并存儲所有需要的旋轉(zhuǎn)因子，從而避免了在FFT計(jì)算過程中進(jìn)行實(shí)時(shí)的旋轉(zhuǎn)因子計(jì)算。并行計(jì)算：FFT算法具有很高的并行性，可以利用并行計(jì)算技術(shù)進(jìn)一步提高其性能。例如，我們可以使用多核處理器或圖形處理器（GPU）來并行計(jì)算FFT。對于大規(guī)模的數(shù)據(jù)集，我們還可以利用分布式計(jì)算技術(shù)來進(jìn)行FFT計(jì)算。內(nèi)存訪問優(yōu)化：在FFT計(jì)算中，內(nèi)存訪問模式對性能有很大的影響。通過優(yōu)化內(nèi)存訪問模式，我們可以減少緩存未命中和內(nèi)存訪問沖突，從而提高FFT的性能。例如，我們可以使用緩存友好的數(shù)據(jù)布局和訪問順序來減少內(nèi)存訪問的開銷。通過利用對稱性、選擇適當(dāng)?shù)乃惴?、?yōu)化旋轉(zhuǎn)因子的計(jì)算、利用并行計(jì)算和優(yōu)化內(nèi)存訪問等技巧，我們可以進(jìn)一步提高FFT的性能。這些優(yōu)化技巧在實(shí)際應(yīng)用中具有重要的價(jià)值，可以幫助我們更高效地處理大規(guī)模的數(shù)據(jù)集并滿足實(shí)時(shí)性要求。六、FFT在實(shí)際應(yīng)用中的案例快速傅里葉變換（FFT）作為一種高效計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）的算法，在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。以下是一些FFT在實(shí)際應(yīng)用中的案例：音頻信號處理：在音頻信號處理中，F(xiàn)FT被廣泛應(yīng)用于音頻頻譜分析、音頻濾波、回聲消除、噪音抑制等方面。例如，音樂播放器中的均衡器功能就是通過FFT分析音頻信號的頻譜，然后調(diào)整不同頻率分量的增益來實(shí)現(xiàn)的。通信系統(tǒng)：在無線通信系統(tǒng)中，F(xiàn)FT是實(shí)現(xiàn)正交頻分復(fù)用（OFDM）技術(shù)的關(guān)鍵。OFDM通過將高速數(shù)據(jù)流分割成多個(gè)低速子數(shù)據(jù)流，并在多個(gè)正交子載波上并行傳輸，從而提高了頻譜利用率和抗干擾能力。FFT和逆FFT（IFFT）分別用于OFDM系統(tǒng)的調(diào)制和解調(diào)過程。圖像處理：在圖像處理領(lǐng)域，F(xiàn)FT被用于圖像增強(qiáng)、圖像濾波、特征提取等方面。例如，通過FFT可以實(shí)現(xiàn)圖像的頻域?yàn)V波，如高通濾波和低通濾波，從而實(shí)現(xiàn)對圖像的銳化和平滑處理。FFT還可以用于圖像的特征提取，如紋理分析、邊緣檢測等。生物醫(yī)學(xué)工程：在生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域，F(xiàn)FT被廣泛應(yīng)用于心電圖（ECG）、腦電圖（EEG）等生物電信號的分析。通過對這些信號進(jìn)行FFT變換，可以提取出信號的頻率成分和能量分布，從而為疾病的診斷和治療提供重要依據(jù)。地震數(shù)據(jù)分析：在地震數(shù)據(jù)分析中，F(xiàn)FT被用于地震波的頻譜分析和地震事件的識別。通過對地震波信號進(jìn)行FFT變換，可以提取出地震波的主要頻率成分和傳播特性，從而為地震預(yù)警和地震學(xué)研究提供重要信息?？焖俑道锶~變換作為一種強(qiáng)大的信號分析工具，在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，F(xiàn)FT的應(yīng)用領(lǐng)域還將不斷擴(kuò)大和深化。七、總結(jié)與展望快速傅里葉變換（FFT）作為數(shù)字信號處理領(lǐng)域的一種高效算法，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于通信、圖像處理、音頻處理等多個(gè)領(lǐng)域。其核心思想是利用信號的對稱性、周期性和稀疏性，通過遞歸分解和重排輸入序列，實(shí)現(xiàn)了在O(NlogN)時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)完成離散傅里葉變換（DFT）的計(jì)算，極大地提高了計(jì)算效率。本文詳細(xì)闡述了FFT的基本原理和實(shí)現(xiàn)方法，包括蝶形運(yùn)算、基-2和基-4的FFT算法，以及旋轉(zhuǎn)因子的計(jì)算和優(yōu)化等。通過這些方法的介紹，讀者可以深入理解FFT的工作原理和高效性，為實(shí)際應(yīng)用提供理論支持。然而，盡管FFT已經(jīng)在許多領(lǐng)域取得了顯著的成功，但仍有一些挑戰(zhàn)和問題需要解決。FFT算法在處理非整數(shù)長度序列時(shí)仍存在一定的效率問題，需要進(jìn)一步優(yōu)化算法以適應(yīng)不同長度的輸入。FFT在處理具有特殊結(jié)構(gòu)或性質(zhì)的信號時(shí)，如稀疏信號、多維信號等，也需要進(jìn)一步研究和發(fā)展新的算法。展望未來，隨著數(shù)字信號處理技術(shù)的不斷發(fā)展，F(xiàn)FT算法也將不斷優(yōu)化和完善。一方面，可以通過引入新的數(shù)學(xué)工具和理論，如稀疏表示、壓縮感知等，來提高FFT在處理特殊信號時(shí)的效率和性能。另一方面，可以通過并行計(jì)算、GPU加速等技術(shù)手段，進(jìn)一步提高FFT的計(jì)算速度和處理能力。快速傅里葉變換作為一種重要的數(shù)字信號處理算法，已經(jīng)在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮了巨大的作用。未來，隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步和創(chuàng)新，F(xiàn)FT算法將在更多領(lǐng)域發(fā)揮更大的作用，為數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展做出更大的貢獻(xiàn)。參考資料：快速傅里葉變換（FFT）是一種高效計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）和其逆變換的算法。自20世紀(jì)60年代問世以來，F(xiàn)FT在許多領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用，其中包括頻譜分析。在頻譜分析中，F(xiàn)FT是非常重要的工具，它可以快速將時(shí)間域信號轉(zhuǎn)換到頻域，提供信號的頻率成分和幅度信息。傅里葉變換是一種將時(shí)間域信號轉(zhuǎn)換到頻域的方法。它將信號分解成一系列不同頻率的正弦和余弦函數(shù)的線性組合。通過FFT算法，我們可以高效地計(jì)算出離散傅里葉變換和其逆變換。FFT算法基于Cooley-Tukey算法，將DFT分解為多個(gè)子問題，通過遞歸和分治的方式進(jìn)行計(jì)算。FFT在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如信號分析、語音識別、圖像處理等。在信號分析中，F(xiàn)FT可以幫助我們分析信號的頻譜特性和頻率成分。在語音識別中，F(xiàn)FT可以用于提取語音信號的特征，從而實(shí)現(xiàn)語音識別。在圖像處理中，F(xiàn)FT可以用于圖像的頻域?yàn)V波和頻域變換等操作。下面以一個(gè)具體的實(shí)例來說明FFT在頻譜分析中的應(yīng)用。假設(shè)我們有一個(gè)音頻信號x(t)，想要分析該信號的頻譜特性。我們可以使用FFT將該信號從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻域。具體步驟如下：數(shù)據(jù)類型：FFT算法輸入的數(shù)據(jù)類型通常是復(fù)數(shù)，因此在計(jì)算之前需要將實(shí)數(shù)信號轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)形式。精度要求：FFT算法的計(jì)算精度與輸入數(shù)據(jù)的精度有關(guān)。為了獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果，應(yīng)該選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)類型和位深。內(nèi)存需求：使用FFT算法進(jìn)行頻譜分析需要大量的內(nèi)存空間。在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)該考慮內(nèi)存優(yōu)化和外部存儲設(shè)備的利用。窗函數(shù)：在進(jìn)行FFT變換之前，有時(shí)需要將信號應(yīng)用于窗函數(shù)。這可以減少頻譜泄漏并提高頻率分辨率。選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)和窗函數(shù)大小可以提高分析的準(zhǔn)確性。零填充：在FFT變換中，可以使用零填充來增加頻率分辨率。但是，過多的零填充可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增加并出現(xiàn)假峰現(xiàn)象。因此，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求選擇適當(dāng)?shù)牧闾畛溟L度。快速傅里葉變換在頻譜分析中扮演著至關(guān)重要的角色。它允許我們快速將時(shí)間域信號轉(zhuǎn)換到頻域，并提取信號的頻率成分和幅度信息。通過使用FFT，我們可以方便地分析信號的頻譜特性和頻率內(nèi)容，從而更好地理解和處理信號。在未來的應(yīng)用中，隨著技術(shù)的不斷發(fā)展和計(jì)算能力的提高，F(xiàn)FT將會(huì)在更多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并為科學(xué)研究和技術(shù)開發(fā)提供更多幫助。快速傅里葉變換（FastFourierTransform，F(xiàn)FT）是一種高效的計(jì)算方法，它能夠快速地求解離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT）以及其逆變換。在信號處理領(lǐng)域，傅里葉變換是一種將時(shí)域信號轉(zhuǎn)換到頻域的強(qiáng)大工具，能夠幫助我們更好地理解和分析信號的特性。快速傅里葉變換的應(yīng)用廣泛，包括但不限于頻譜分析、濾波、調(diào)制解調(diào)等?？焖俑道锶~變換是一種計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的高效算法，它基于分治的思想，將計(jì)算過程劃分為多個(gè)較小的子問題，通過遞歸的方式進(jìn)行求解。這種方法大大降低了計(jì)算的復(fù)雜性，使得大規(guī)模數(shù)據(jù)的計(jì)算成為可能。頻譜分析：傅里葉變換將時(shí)域信號轉(zhuǎn)換到頻域，使我們能夠方便地觀察到信號的頻率成分。通過快速傅里葉變換，我們可以實(shí)時(shí)地分析處理大規(guī)模的信號數(shù)據(jù)。濾波：在信號處理中，濾波是一種重要的操作。通過在頻域上對信號進(jìn)行操作，然后使用逆傅里葉變換將信號轉(zhuǎn)換回時(shí)域，我們可以實(shí)現(xiàn)信號的濾波。調(diào)制解調(diào)：在通信系統(tǒng)中，調(diào)制解調(diào)是常見的操作。通過將信號轉(zhuǎn)換到頻域，然后進(jìn)行相應(yīng)的操作，我們可以實(shí)現(xiàn)信號的調(diào)制和解調(diào)。快速傅里葉變換作為一種高效的計(jì)算方法，在信號處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。通過使用快速傅里葉變換，我們可以更方便、更深入地理解和分析信號的特性。隨著科技的發(fā)展，我們可以期待快速傅里葉變換將在更多的領(lǐng)域發(fā)揮其重要作用。庫利－圖基快速傅里葉變換算法（Cooley-Tukey算法）是最常見的快速傅里葉變換算法。這一方法以分治法為策略遞歸地將長度為N=N1N2的DFT分解為長度分別為N1和N2的兩個(gè)較短序列的DFT，以及與旋轉(zhuǎn)因子的復(fù)數(shù)乘法。這種方法以及FFT的基本思路在1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey合作發(fā)表AnalgorithmforthemachinecalculationofcomplexFourierseries之后開始為人所知。但后來發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上這兩位作者只是重新發(fā)明了高斯在1805年就已經(jīng)提出的算法（此算法在歷史上數(shù)次以各種形式被再次提出）。庫利－圖基快速傅里葉變換算法是將序列長為N的DFT分區(qū)為兩個(gè)長為N/2的子序列的DFT，因此這一應(yīng)用只適用于序列長度為2的冪的DFT計(jì)算，即基2-FFT。實(shí)際上，如同高斯和庫利與圖基都指出的那樣，庫利－圖基算法也可以用于序列長度N為任意因數(shù)分解形式的DFT，即混合基FFT，而且還可以應(yīng)用于其他諸如分裂基FFT等變種。盡管庫利－圖基算法的基本思路是采用遞歸的方法進(jìn)行計(jì)算，大多數(shù)傳統(tǒng)的算法實(shí)現(xiàn)都將顯示的遞歸算法改寫為非遞歸的形式。另外，因?yàn)閹炖瓐D基算法是將DFT分解為較小長度的多個(gè)DFT，因此它可以同任一種其他的DFT算法聯(lián)合使用。離散傅立葉變換的復(fù)雜度為（可引用大O符號）。快速傅立葉變換的復(fù)雜度為，分析可見下方架構(gòu)圖部分，級數(shù)為而每一級的復(fù)雜度為，故復(fù)雜度為。在FFT算法中，針對輸入做不同方式的分組會(huì)造成輸出順序上的不同。如果我們使用時(shí)域抽?。―ecimation-in-time），那么輸入的順序?qū)?huì)是比特反轉(zhuǎn)排列（bit-reversedorder），輸出將會(huì)依序排列。但若我們采取的是頻域抽?。―ecimation-in-frequency），那么輸出與輸出順序的情況將會(huì)完全相反，變?yōu)橐佬蚺帕械妮斎肱c比特反轉(zhuǎn)排列的輸出。我們可以將DFT公式中的項(xiàng)目在時(shí)域上重新分組，這樣就叫做時(shí)域抽?。―ecimation-in-time），在這里將會(huì)被代換為旋轉(zhuǎn)因子（twiddlefactor）。我們可以將DFT公式中的項(xiàng)目在頻域上重新分組，這樣就叫做頻域抽?。―ecimation-in-frequency）。利用庫利－圖基算法進(jìn)行離散傅立葉拆解時(shí)，能夠依需求而以2,4,8…等2的冪次方為單位進(jìn)行拆解，不同的拆解方法會(huì)產(chǎn)生不同層數(shù)快速傅里葉變換的架構(gòu)，基底越大則層數(shù)越少，復(fù)數(shù)乘法器也越少，但是每級的蝴蝶形架構(gòu)則會(huì)越復(fù)雜，因此常見的架構(gòu)為2基底、4基底與8基底這三種設(shè)計(jì)。2基底-快速傅立葉算法（Radix-2FFT）是最廣為人知的一種庫利－圖基快速傅立葉算法分支。此方法不斷地將N點(diǎn)的FFT拆解成兩個(gè)'N/2'點(diǎn)的FFT，利用旋轉(zhuǎn)因子的對稱性借此來降低DFT的計(jì)算復(fù)雜度，達(dá)到加速的功效。而其實(shí)前述有關(guān)時(shí)域抽取或是頻域抽取的方法介紹，即為2基底的快速傅立葉轉(zhuǎn)換法。以下展示其他種2基底快速傅立葉算法的連線方法，此種不規(guī)則的連線方法可以讓輸出與輸入都為循序排列，但是連線的復(fù)雜度卻大大的增加。4基底快速傅立葉變換算法則是承接2基底的概念，在此里用時(shí)域抽取的技巧，將原本的DFT公式拆解為四個(gè)一組的形式：在這里再利用的特性來進(jìn)行與2基數(shù)FFT類似的化減方法，以降低算法復(fù)雜度。在庫利－圖基算法里，使用的基底（radix）越大，復(fù)數(shù)的乘法與存儲器的訪問就越少，所帶來的好處不言而喻。但是隨之而來的就是實(shí)數(shù)的乘法與實(shí)數(shù)的加法也會(huì)增加，尤其計(jì)算單元的設(shè)計(jì)也就越復(fù)雜，對于可應(yīng)用FFT之點(diǎn)數(shù)限制也就越嚴(yán)格。在表中我們可以看到在不同基底下所需的計(jì)算成本。在DFT的公式中，我們重新定義x=T,=T，則DFT可重寫為=FN?x。FN是一個(gè)N×N的DFT矩陣，其元素定義為ij=WNij(i,j∈)，當(dāng)N=8時(shí)，我們可以得到以下的F8矩陣并且進(jìn)一步將其拆解。在拆解成三個(gè)矩陣相乘之后，我們可以將復(fù)數(shù)運(yùn)算的數(shù)量從56個(gè)降至24個(gè)復(fù)數(shù)的加法。底下是8基底的的SFG。要注意的是所有的輸出與輸入都是復(fù)數(shù)的形式，而輸出與輸入的排序也并非規(guī)律排列，此種排列方式是為了要達(dá)到接線的最優(yōu)化。在2/8基底的算法中，我們可以看到我們對于偶數(shù)項(xiàng)的輸出會(huì)使用2基底的分解法，對于奇數(shù)項(xiàng)的輸出采用8基底的分解法。這個(gè)做法充分利用了2基底與4基底擁有最少乘法數(shù)與加法數(shù)的特性。當(dāng)使用了2基底的分解法后，偶數(shù)項(xiàng)的輸出如下所示。以上式子就是2/8基底的FFT快速算法。在架構(gòu)圖上可化為L型的蝴蝶運(yùn)算架構(gòu)，如圖5所示。為了改進(jìn)Radix2/8在架構(gòu)上的不規(guī)則性，我們在這里做了一些修改，如下表.。此修改可讓架構(gòu)更加規(guī)則，且所使用的加法器與乘法器數(shù)量更加減少，如下表所示。在這里我們最小的運(yùn)算單元稱為PE（ProcessElement）,PE內(nèi)部包含了2/8基底、2/4基底、2基底的運(yùn)算，簡化過的信號處理流程與蝴蝶型架構(gòu)圖可見圖6基底的選擇越大會(huì)造成蝴蝶形架構(gòu)更加復(fù)雜，控制電路也會(huì)復(fù)雜化。因此ShoushengHe和MatsTorkelson在1996提出了一個(gè)2^2基底的FFT算法，利用旋轉(zhuǎn)因子的特性：。而–j的乘法基本上只需要將被乘數(shù)的實(shí)部虛部對調(diào)，然后將虛部加上負(fù)號即可，這樣的負(fù)數(shù)乘法被定義為'簡單乘法'，因此可以用很簡單的硬件架構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。利用上面的特性，22基底FFT能用串接的方式將旋轉(zhuǎn)因子以4為單位對DFT公式進(jìn)行拆解，將蝴蝶形架構(gòu)層數(shù)降到log4N，大幅減少復(fù)數(shù)乘法器的用量，而同時(shí)卻維持了2基底蝴蝶形架構(gòu)的簡單性，在性能上獲得改進(jìn)。2^2基底DIFFFT算法的拆解方法如下列公式所述：然后套用CommonFactorAlgorithm（CFA）如上述公式所示，原本的DFT公式會(huì)被拆解成多個(gè)，而又可分為BF2I與BF2II兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)，分別會(huì)對應(yīng)到之后所介紹的兩種硬件架構(gòu)。一個(gè)16點(diǎn)的DFT公式經(jīng)過一次上面所述之拆解之后可得下面的FFT架構(gòu)可以看出圖6的架構(gòu)保留了2基底的簡單架構(gòu)，然而復(fù)數(shù)乘法卻降到每兩級才出現(xiàn)一次，也就是次。而BF2I以及BF2II所對應(yīng)的硬件架構(gòu)如圖7：其中BF2II硬件單元中左下角的交叉電路就是用來處理-j的乘法。其中圖8下方的為一7比特寬的計(jì)數(shù)器，而此架構(gòu)的控制電路相當(dāng)單純，只要將計(jì)數(shù)器的各個(gè)比特分別接上BF2I與BF2II單元即可。下表將2基底、4基底與22基底算法做一比較，可以發(fā)現(xiàn)22基底算法所需要的乘法氣數(shù)量為2基底的一半，加法棄用量是4基底的一半，并維持一樣的存儲器用量和控制電路的簡單性。如上所述，22算法是將旋轉(zhuǎn)因子視為一個(gè)簡單乘法，進(jìn)而由公式以及硬件上的化簡獲得硬件需求上的改進(jìn)。而借由相同的概念，ShoushengHe和MatsTorkelson進(jìn)一步將旋轉(zhuǎn)因子的乘法化簡成一個(gè)簡單乘法，而化簡的方法將會(huì)在下面講解。在2基數(shù)FFT算法中的基本概念是利用旋轉(zhuǎn)因子的對稱性，4基數(shù)算法則是利用的特性。但是我們會(huì)發(fā)在這些旋轉(zhuǎn)因子的對稱特性中出現(xiàn)。─并沒有被利用到。主要是因?yàn)榈某朔ㄟ\(yùn)