2023年成人高考高起專《數(shù)學(xué)》（理科）真題及答案

2023年成人高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

高起專數(shù)學(xué)(理)

一、選擇題;(本大題17小題，每小題5分，共85分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。)

(A)

1,設(shè)集合M=eeRI2=l,N=eR]3=,貝

A(1)B.(-1)C.(-1,1)D.空集

2.函數(shù)y=sin(x+ll)的最大值是()

A.11B.lC.-1D.-ll

3.設(shè)a是第一象限角,sina=l/3廁sin2a=(C)

A.4/9B.E$C,C6D.2/3

4設(shè)log2c=a,則Iog2(2ac2)=()

A2a2+1

B2a2-1

C.2a-1

D.2a+1

、“V2

5.設(shè)甲：Sinx=2乙：Cosx=2,則()

A.甲是的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

c.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

6.下列函數(shù)中，為增函數(shù)的是()

A.y=3

B.y=c2

C.y=-x2

D.y=-x3

7.已知點(diǎn)MQ,2),N(2,3)則直線MN的斜率為()

A5/3B.1C.-lD.-5/3

8,(l+i)2=2

A.-2

B.2

C.-2i

D.2i

9.若向量a=(l,-l),b=(l,x)且a+b=2廁x二

A.-4B,-lC.1D,4

10.(X3+l/4)4展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

A.4B,3C.2D.l

11.向量a=(l,l,0),b=(l,2,3),則a,b=

A.2B.3C.6D,8

12在等比數(shù)列{aj中,a2=l,公比q=2,則a$={}

A.1/8B.l/4C.4D.8

13.函數(shù)f(x)=-x2+2x的值域是()

A.(0,+8)

B.(1,+00)

C.(-co,l)

D.(-<?,0)

14設(shè)函數(shù)

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

18.過點(diǎn)(2,0)作圖x2+y2=16的切線，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2

19.曲線y=在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是2X+Y-3=0

20.函數(shù)y=-x2+ax圖像的對(duì)稱軸為x-2,則a=4

21.九個(gè)學(xué)生期末考試的成績?yōu)?9,63,88,94,99,77,89,81,85,這九個(gè)學(xué)生成績中

的中位數(shù)為85

三、解答愿，(本大題共4小題，共49分，解答應(yīng)寫出推理，演算步驟)

22..記AABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=60°,b2=ac,求A

已知AABC的角B=60°,b2=ac?

解：根據(jù)余弦定理，有：

bA2=aA2+cA2-2ac\cosB

因?yàn)锽=60。，所以\cosB=l/2

代入上式，得：

bA2=aA2+cA2-ac

又因?yàn)閎A2=ac,所以aA2+cA2=ac

所以a=c

根據(jù)正弦定理，有：

sinA=a\sinB

因?yàn)閍=c,所以sinA=sinC

因?yàn)锳+C=180°-B=120°,所以A=C

23.已知等差數(shù)列｛an｝中，a,+a3+as=6,a2+a4+a6=12,求｛aj的首項(xiàng)與公差

解：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a,公差為d。根據(jù)題意，已知al+a3+a5=6,a2+a4+a6=12。

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可以得到an=al+(nT)d,其中n為項(xiàng)數(shù)。

將n分別代入1、2、3、4、5、6,得到以下式子：

al二a

a2=a+d

a3=a+2d

a4=a+3d

a5=a+4d

a6=a+5d

將這些值代入已知條件，可以得到：

al+a3+a5=a+(a+2d)+(a+4d)=3a+6d=6--(1)

a2+a4+a6=(a+d)+(a+3d)+(a+5d)=3a+9d=12―(2)

將式子(1)和式子(2)組成一個(gè)方程組：

3a+6d=6

3a+9d=12

通過消元法或代入法求解上述方程組，可以得到a二-2和d二2。

因此，等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為-2,公差為2。

24,已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1

(1)求C的方程

(2)若A(1,m)(m>0)為C上一點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求C上另一點(diǎn)B的

坐標(biāo)，使得OALOB

解：(1)由于焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p,已知焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,我們可以得到p=L

將p代入拋物線的方程y2=2px,即可得到C的方程為y2=2x。

(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xi，yi)。由于OALOB,可以得到向量0A與向量0B的點(diǎn)積為0。

點(diǎn)A(1,m),點(diǎn)B(xi，yx).所以有向量OA?向量OB=0,即(1,m)-(Xi，yi)=0.

根據(jù)點(diǎn)積的定義，可以得到Lx】+my=0,將點(diǎn)A的坐標(biāo)(Lm)和上述方程整理，可

得：Xi+m-yi=0。

由于點(diǎn)B在拋物線C上，滿足C的方程y2=2x。將點(diǎn)B的坐標(biāo)(X1,yx)代入C的方程可以

得到y(tǒng)i2=2xi.

綜合以上兩個(gè)方程組成的方程組：

Xi+m-yi=0

y/=2xi

可以通過求解方程組來確定點(diǎn)B的坐標(biāo)。將xi的值代入到第一個(gè)方程，可以解出力的值。

然后再將外的值代入到第二個(gè)方程，解得xi的值。

22

具體計(jì)算過程就是將xi+my=0帶入y/=2xi中，得到myi=2xlo代入m=y/x］，得到

(yi/xi)2.y」=2xi，化簡得到y(tǒng)i4=2xj。這時(shí)我們可將yj=2xj變形為的/%)3=1/2。令t=xi/yi，

那么t3=1/2=>(2t)3=l=>8t3=1。解出t的值為t=l/2o

因此，t=Xi/yi=l/2.將t代回方程Xi+m-yi=0中，得到xx+(y/2)=0,整理得到即yi=

-2xio

所以坐標(biāo)為(xi，yx)=(xi，-2xi)o

綜上所述，C上滿足條件OALOB的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xi，yl=(Xi，-2x-。

25.已知函數(shù)f(x)=(x-4)(x2-a)

(1)求f'(x)

(2)產(chǎn)(-1)=8,求f(x)在區(qū)間［0,4］的最大值與最小值

解：⑴已知函數(shù)f(x)=(x-4)(x2-a)

求f'(x)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f(x)=(x-4),(x2-a)+(x-4)(x2-a),

其中，(x-4)'=l,(x2-a)'=2x-a

所以，f'(x)=l(x2-a)+(x-4)(2x-a)

化簡得：f'(x)=x3-(3a+4)x+4a

根據(jù)題意，f,(-l)=8,KP(-l)3-(3a+4)*(-l)+4a=8

化簡得：a=-l

將a代入f(x),⑵根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)f'(x)>0

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減

所以，當(dāng)x3+x+2>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x3+x+2<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減

根據(jù)求導(dǎo)法則，我們可以得到函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,4］的導(dǎo)數(shù)：

f'(x)=X3+X+2=(x+l)(x2+l)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，我們可以得到函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,4］的單調(diào)性：

當(dāng)0<=x<=l時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)l<x<=4時(shí)，f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

根據(jù)函數(shù)的極值定理，當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0