華師一附中2024屆高三《數(shù)列》每日一題 試卷帶答案

一、多選題1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，將數(shù)列{an}和{bn}中的項(xiàng)按照從小到大的順序排列構(gòu)成新的數(shù)列{cn}，則()=16B．?dāng)?shù)列{cn}中bn與bn+1之間共有2n1項(xiàng)2a}是等比數(shù)列*，ne**)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公2n4．在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC紙片中，取邊BC的中點(diǎn)M1，在該紙片中剪去以BM1為斜邊的等腰直角三角形P1BM1得到新的紙片K1，再取M1C的中點(diǎn)M2，在紙片K1中剪去以M1M2為斜邊的等腰直角三角形P2M1M2得到新的紙片K2，以此類推得到紙片K3，K4，??,Kn，??,設(shè)Kn的周長(zhǎng)為L(zhǎng)n，面積為Sn，則() n+1n2nn2n1n二、填空題5．在xOy平面上有一系列點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函n}的前n項(xiàng)之和為Sn，則S20=.三、解答題且2b2是3b1與b3的等差中項(xiàng).(1)求：數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.n(3)若對(duì)于數(shù)列{an}、{bn}，在ak和ak+1之間插入bk個(gè)2(k=**)，組成一個(gè)新的數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2024.8．已知函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且f(x)=x2-x+b，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足an+log3n=log3bn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；(3)令dn=，若cn=3d-λ(-2)n(λ為非零整數(shù)，n=**試確定λ的值，使得對(duì)任意n=**，都有cn+1>cn成立.9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，滿足2an+Tn=1（n=**）.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn，證明：-+n+1<Sn<+ln-.n(1)求證：數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；=nλn-1，其中λ>0，若對(duì)任意m,n=**，總有bm-cn>成立，求λ的取值范圍.【分析】先根據(jù)已知條件求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.n又因?yàn)閿?shù)列{bn}是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以bn=2n.16，故選項(xiàng)A正確；數(shù)列{an}是由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列，bn,bn+1都是偶數(shù)，所以bn與bn+1之間包含的奇數(shù)個(gè)數(shù)為=2n-1個(gè)，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)閎n=2n，前面相鄰的一個(gè)奇數(shù)為2n-1，=2k-1，解得k=2n-1，所以數(shù)列{cn}從1到2n共有2n-1+n，也即c2n-1+n=2n=bn，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；所以{cn}前1022項(xiàng)中包含{bn}的前10項(xiàng)，{an}的前1012項(xiàng)，=2023，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】注重等差數(shù)列等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，強(qiáng)化計(jì)算能力.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式及其性質(zhì)，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)n>2由為定-，根據(jù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性；對(duì)C，S29 mm2結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍14+a17<0，所以a15所以{2a}是以2a為首項(xiàng)，2d為公比的等比數(shù)列，故A正確.d(n-1)d2=d(n-1)d2=n+a12n(n-1)d2-，,為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為29，故C錯(cuò)誤. mm2a+a a+a 2>,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)，所以故選：AD.Smm>【分析】根據(jù)“歐拉函數(shù)Ψ(n)(ne**)”的定義對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】n不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)2113242546276849648C選項(xiàng)，由列表分析可知，對(duì)于2”，“不超過(guò)正整數(shù)2”，且與2”互質(zhì)的正整數(shù)”為：”，1)}是等比數(shù)列，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，有列表分析可知，對(duì)于3”，“不超過(guò)正整數(shù)2”，且與2”互質(zhì)的正整數(shù)”為：”1”””1所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD【分析】畫出圖形依據(jù)裁剪規(guī)律可得Kn+1比Kn多了兩條邊+1Mn,+1Mn+1，少了線段MnMn+1，即可得到Ln+1Ln=n1，即A正確，Sn+1比Sn少了一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形，可得SnSn+1=，C錯(cuò)誤；再分別利用A和C中的結(jié)論，由累加法計(jì)算可得BD正確.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示規(guī)律：對(duì)于A，易知Kn+1比Kn多了兩條邊+1Mn,+1Mn+1，少了線段MnMn+1；=x,MnMn+1=，對(duì)于B，利用A中結(jié)論由累加法可得， + 22+...+ 2n1對(duì)于C，Sn+1比Sn少了一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形，=xx2對(duì)于D，利用B中結(jié)論由累加法可得，n4n4++...+434n 1(11)2 1(11)11一4一1nn1)故選：ABDn1)41nn1)故選：ABDn1)4【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于由裁剪規(guī)律得出Ln+1,Ln以及Sn,Sn+1之間的遞推規(guī)律，再利用累加法由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得結(jié)果.20【分析】根據(jù)題意可知兩相鄰圓的半徑滿足22xn一xn+22xn一xn+1+yn一yn+1nn+1，展開(kāi)且代一步得出數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消求出S20即可。22xn一xn+1+22xn一xn+1+yn一yn+1n2nyn+12nnn1*)2041.(2)證明見(jiàn)解析n即可得；（2）推導(dǎo)可得{bn}是以b1=2為首項(xiàng)，q=16為公比的等比數(shù)列，代入通項(xiàng)公式可得cn=43，再根據(jù)：cn>4n3，累加求和證明即可.nnnn，：=an=ann}是遞增數(shù)列，24n20241n14n3n=**n=**.，2n)2:原不等式得證.nn;(3)4104【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算可得；（2）結(jié)合兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷的前項(xiàng)中兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，然后分組和錯(cuò)位相減求和可得；（3）求出{an}的項(xiàng)數(shù)和總共有多少個(gè)2，利用分組求和可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q子1452又由2b2是3b1與b3的等差中項(xiàng)，所以2x2b2=3b1+b3，n1di22n2n1242n39P35兩式相減得，-8Pn=2.(-3)+2(-3)3+…+2(-3)2n-1-(2n)(-3)2n+1，-8P則Pn-31-(-3)2n1-9||||2++…+-8+…+236=2①,2n222②①-②相減可得，n9n（3）根據(jù)題意可得，a1,2,2,2,a2,2,2,2,2k所以{an}共有7項(xiàng)，共有2017個(gè)2，n 2nnn3n3bn得到bn=n.32n2，然后利用錯(cuò)位相減法求Tn；（3）由題意得cn=3nλ(2)2，將cn+1>cn恒成立轉(zhuǎn)化為(1)n.λ>n1恒成n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.∴Sn=n2n.nn3na2n2（ne**242n2，①9T2462n.②24622nnnλ(2)2.n恒成立，即要(-1)n.λ>-n-1恒成立.下面分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)討論：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ<n-1恒成立.又n-1的最小值為1，∴λ<1.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ>-n-1恒成立.又-n-1的最大值為-，∴λ>-.又λ為非零整數(shù)，∴λ=-1時(shí)，使得對(duì)任意nE**，都有cn+1>cn成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小問(wèn)的解決關(guān)鍵是分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)討論，如此才能處理n.λ>-n-1恒成立的問(wèn)題.(2)證明見(jiàn)解析nn等比數(shù)列，可利用首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.【詳解】（1數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，滿足2an+Tn=1（nE**n-1，b1數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，∴bn=4x2n-1=2n+1.n+1，解得Tn12n+2n+-1 nn2)3) nn2)3)