2021版新高考地區(qū)高考數(shù)學(xué)人教版大一輪復(fù)習(xí)第2講排列與組合

第2講排列與組合

一、知識(shí)梳理

1.排列'組合的定義

排列的定義按照一定的順序排成一列

從n個(gè)不同元素中取出加(mW")個(gè)元素

組合的定義合成一組

2.排列數(shù)、.n合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)(mW")個(gè)元素的

定義

有不同排列的個(gè)數(shù)所有不同組合的個(gè)數(shù)

n!AW_M(H-1)(〃-2)…(〃—機(jī)+1)

公式AJH—n(n—l)(n加+1)—(〃_機(jī))|C*Amm!

tn

性質(zhì)A”n="-！，0!=-1Cutn=Cnn-m,Cn，"+C〃ni-1=C'〃1,

常用結(jié)論

1.“排列”與“組合”的辨析

排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”.取出元素后交換順序，如果與順序

有關(guān)，則是排列；如果與順序無關(guān)，則是組合.

2.解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.

(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部.

(9)構(gòu)造模型.

(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

二、教材衍化

1.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()

A.144B.120

C.72D.24

解析：選D.“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩

人不相鄰的坐法種數(shù)為Aj=4X3X2=24.

2.用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.8B.24

C.48D.120

解析：選C.末位數(shù)字排法有Aj種，其他位置排法有Aj種，共有A)A?=48(種)排法，

所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48.

3.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是

()

A.18B.24

C.30D.36

解析：選C.選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有CgC!=18種，選出的3

人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有C[q=12種，故3名學(xué)生中男女生都有的選法有C?

CJ+C]C3=3O種.故選C.

2

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()

(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序.()

(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()

(4)若組合式q=c第，則成立.()

(5)A?>=?(n—l)(n—2)""(n—m).()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X(5)X

二、易錯(cuò)糾偏

常見誤區(qū)I(1)分類不清導(dǎo)致出錯(cuò)；

(2)相鄰元素看成一個(gè)整體，不相鄰問題采用插空法是解決相鄰與不相鄰問題的基本方

法.

1.從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組

裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的取法有種.

解析：分兩類：第一類，取2臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有C^Cg種方法；第二

類，取3臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有CgCg種方法.所以滿足條件的不同取法有CgCg

+qq=350(種).

答案：350

2.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品8相鄰，且產(chǎn)品4與產(chǎn)品C不相鄰，則

不同的擺法有種.

解析：設(shè)這5件不同的產(chǎn)品分別為A,B,C,D,E,先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有A,種

擺法，再與產(chǎn)品。，E全排列有種擺法，最后把產(chǎn)品C插空有Cj種擺法，所以共有AgAj

Cj=36(種)不同擺法.

3

答案：36

考點(diǎn)一排列問題(基礎(chǔ)型)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)I理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模

有3名男生、4名女生，在下列不同條

件下，求不同的排列方法總數(shù).

(1)選5人排成一排；

(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；

(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；

(4)全體排成一排，女生必須站在一起；

(5)全體排成一排，男生互不相鄰.

【解】(1)從7人中選5人排列，有A》=7X6X5X4X3=2520(種).

(2)分兩步完成，先選3人站前排，有種方法，余下4人站后排，有A^|種方法，共有

4

A彳?A才=5040（種）.

（3）法一（特殊元素優(yōu)先法）：先排甲，有5種方法，其余6人有Ag種排列方法，共有5XAg

=3600（種）.

法二（特殊位置優(yōu)先法）：首尾位置可安排另6人中的兩人，有A&種排法，其他有Ag種

排法，共有AgA§=3600（種）.

（4）（捆綁法）將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有A?種方法，再將女生全排

列，有Aj種方法,共有Af?Aj=576（種）.

（5）（插空法）先排女生，有A&種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安

排男生，有Ag種方法，共有A3?Ag=l440（種）.

求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列

對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元

插空法

素排列的空當(dāng)中

定序問題

對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法處理

間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

5

1.3本不同的數(shù)學(xué)書與3本不同的語文書放在書架同一層，則同類書不相鄰的放法種

數(shù)為（）

A.36B.72

C.108D.144

解析：選B.3本數(shù)學(xué)書的放法有A/"將3本語文書插入使得語文數(shù)學(xué)均不相鄰的插

法有2Ag種，故同類書不相鄰的放法有2Aq=2X6X6=72（種）.

2.6名同學(xué)站成1排照相，要求甲同學(xué)既不站在最左邊也不站在最右邊，則不同站法

共有種.

解析：法一：（位置優(yōu)先法）先從其他5人中安排2人站在最左邊和最右邊，再安排余下

4人的位置，分為兩步：

第1步，從除甲外的5人中選出2人分別站在最左邊和最右邊，有Ag種站法：

第2步，余下4人（含甲）站在剩下的4個(gè)位置上，有A,種站法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有AgA?=480（種）不同站法.

法二：（元素優(yōu)先法）先安排甲的位置（既不站在最左邊也不站在最右邊），再安排其他5

人的位置，分為兩步：第1步，將甲排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有A1種站法；

第2步，余下5人站在剩下的5個(gè)位置上，有Ag種站法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，

共有A1Ag=480（種）不同的站法.

答案：480

考點(diǎn)二組合問題（基礎(chǔ)型）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)?理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模

6

某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢

查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.

（1）其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？

（2）其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？

（3）恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

（4）至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

（5）至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

【解】（1）從余下的34種商品中，

選取2種有q4=561種取法，

所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.

（2）從34種可選商品中，選取3種，有C當(dāng)種或者一g4=C[=5984種取法.

所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.

（3）從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有qoq5=2100種取法.

所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.

（4）選取2種假貨有種，選取3種假貨有cq5種，共有選取方式qoq5+q5=2ioo

+455=2555（種）.

所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.

（5）法一（間接法）：選取3種的總數(shù)為C;，因此共有選取方式

qs-Q.=6545-455=6090（種）.

所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.

法二（直接法）：共有選取方式C^o+qoC|5+CioC^5=6090（種）.

所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.

7

兩類有附加條件的組合問題的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再

由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”

與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解，通常用

直接法，分類復(fù)雜時(shí)，用間接法求解.

1.(2020?沈陽模擬)某地區(qū)高考改革實(shí)行“3+1+2”模式，“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三

門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門科目，“2”指在化學(xué)、生物、政治、

地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門科目中任意選擇兩門科目，則一名學(xué)生的不

同選科組合有()

A.8種B.12種

C.16種D.20種

8

解析：選C.若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有Cjq=12種組合；若一名學(xué)

生物理和歷史都選，則有C1=4種組合，因此共有12+4=16種組合.故選C.

2.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，求：

（1）甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種？

（2）甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法有多少種？

解：（1）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選

法種數(shù)共有qqq=24（種）.

（2）甲、乙兩人從4門課程中各選2門不同的選法種數(shù)為CgC%又甲、乙兩人所選的2

門課程都相同的選法種數(shù)為q種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為qq-q=30（種）.

考點(diǎn)三排列、組合的綜合應(yīng)用（應(yīng)用型）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)I先選后排法是解答排列、組合應(yīng)用問題的根本方法，利用先選后排法解答

問題只需三步即可完成.

第一步：選元素，即選出符合條件的元素；

第二步：進(jìn)行排列，即把選出的元素按要求進(jìn)行排列；

第三步：計(jì)算總數(shù)，即根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總數(shù).

（1）將標(biāo)號(hào)為1，2,3,4的四個(gè)籃球分

給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小

朋友，則不同的分法種數(shù)為（）

A.15B.20

C.30D.42

（2）將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3

本，則有種不同的分法.

【解析】（1）四個(gè)籃球中兩個(gè)分到一組有q種分法，三個(gè)籃球進(jìn)行全排列有Aj種分法，

標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小朋友有Ag種分法，所以有qAj-A?=36—6=30種分法.

9

(2)先把書分成三組，把這三組分給甲、乙、丙3名學(xué)生.先選1本，有C2種選法；再

從余下的5本中選2本，有Cg種選法；最后余下3本全選，有種選法.故共有

=60種選法.由于甲、乙、丙是不同的3人，還應(yīng)考慮再分配，故共有60Ag=360種分配

方法.

【答案】(1)C(2)360

(1)仔細(xì)審題，判斷是組合問題還是排列問題，要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過

程進(jìn)行分步.

(2)以元素為主時(shí)，先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主時(shí)，先滿足

特殊位置的要求，再考慮其他位置.

(3)對(duì)于有附加條件的比較復(fù)雜的排列、組合問題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，

一般先把復(fù)雜問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本問題，然后應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)

數(shù)原理來解決，一般遵循先選后排的原則.

10

1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去A、8、C三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每

人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的

安排方法種數(shù)為（）

A.8B.7

C.6D.5

解析：選B.根據(jù)題意，分2種情況討論：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時(shí)將丙丁二人安

排到8、C社區(qū)即可，有Ay=2種情況，②乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙丁都

去3社區(qū)，有1種情況，若丙丁中有1人去8社區(qū)，則先在丙丁中選出1人，安排到B社

區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有2X2=4種情況，則不同的安排方法種數(shù)有2+1+4

=7種.故選B.

2.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中

奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.18

C.12D.6

解析：選B.從0,2中選一個(gè)數(shù)字0,則0只能排在十位，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字

排在個(gè)位與百位，共有Ag=6種；從0,2中選一個(gè)數(shù)字2,則2排在十位（或百位），從1,

3,5中選兩個(gè)數(shù)字排在百位（或十位）、個(gè)位，共有A「Ag=12種，故共有Ag+AjA孑=18

種.故選B.

1基礎(chǔ)題組練］

1.（2020?廣西桂林一模）中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》;

現(xiàn)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)各選一本書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》,

乙也沒選《春秋》，則5名同學(xué)所有可能的選擇有（）

A.18種B.24種

C.36種D.54種

II

解析：選D.（1）若甲選《春秋》，則有QA§=18種情況；（2）若甲不選《春秋》，則有

AgAg=36種情況.所以5名同學(xué)所有可能的選擇有18+36=54種.故選D.

2.（2020?湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府

之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場(chǎng)做節(jié)目開場(chǎng)詩詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》

相鄰，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，

且均不排在最后，則后六場(chǎng)開場(chǎng)詩詞的排法有（）

A.72種B.48種

C.36種D.24種

解析：選C.根據(jù)題意，分2步分析：將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定

的兩首詩詞進(jìn)行全排列，共有A^=6種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》

插排在3個(gè)空里（最后一個(gè)空不排），有A§=6種排法，則后六場(chǎng)開場(chǎng)詩詞的排法有6X6=36

種，故選C.

3.（2020?云南昆明模擬）現(xiàn)有6人坐成一排，任選其中3人相互調(diào)整座位（這3人中任何

一人都不能坐回原來的位置），其余3人座位不變，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)有（）

A.30B.40

C.60D.90

解析：選B.根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①從6人中選出3人，相互調(diào)整座位，有

C?=20種選法；②記選出相互調(diào)整座位的3人分別為A,B,C,則A有2種坐法，B,C

只有1種坐法，A,B,C相互調(diào)整座位有2種情況.則不同的調(diào)整方案有20X2=40種，

故選B.

4.六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法

共有（）

A.192種B.216種

C.240種D.288種

解析：選B.第一類：甲在最左端，有A『5X4X3X2X1=12O種方法；第二類：乙

在最左端，有4A?=4X4X3X2X1=96種方法.所以共有120+96=216種方法.

5.如圖，/MON的邊上有四點(diǎn)A/A2,&,A4，ON上有三點(diǎn)品，與，則以

O,A,ByB,嗎中三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為（）

A2,A3,42

12

A.30B.42

C.54D.56

解析：選B.間接法：先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，有Cq種取法，再減去三點(diǎn)共線的

情形即可，即c?一q-q=42.

6.（2020?四川廣安、眉山、內(nèi)江、遂寧一診）某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人參加

座談會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的

3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（）

A.15B.30

C.35D.42

解析：選B.根據(jù)題意，分兩類情況討論：選出的3人中沒有人來自甲企業(yè)，在其他5

個(gè)企業(yè)中任選3個(gè)即可，有Cg=10種情況；選出的3人中有人來自甲企業(yè)，則甲企業(yè)只能

有1人參與，在其他5個(gè)企業(yè)中任選2個(gè)即可，有2XCg=20種情況.則不同的情況共有

10+20=30種，故選B.

7.（2020?河南南陽模擬）把四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1?3號(hào)的盒子中,不允

許有空盒子的放法有（）

A.12種B.24種

C.36種D.48種

解析：選C.根據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1?3號(hào)的盒子中，且沒有

空盒，三個(gè)盒子中有1個(gè)盒子中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)球，則分2步進(jìn)行分

析：①先將四個(gè)不同的小球分成3組，有C^=6種分組方法；②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)

放到3個(gè)盒子中，有A§=6種放法.則不允許有空盒子的放法有6X6=36種.

8.（2020?廣東韶關(guān)調(diào)研）某中學(xué)元旦晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目

甲必須排在節(jié)目乙的前面，節(jié)目丙不能排在最后一位，則該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共

13

有（）

A.720種B.360種

C.300種D.600種

解析：選C.先安排好除節(jié)目丙之外的5個(gè)節(jié)目，有太=60種可能，再安排節(jié)目丙，

有5種可能，共60X5=300種方案.故選C.

9.（多選）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三

門作為選考科目，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為

B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為c’q

c.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為Cg-q

D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為Cjqq

解析：選ABD.對(duì)于A,若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為C＞錯(cuò)誤；對(duì)于B,若物

理和化學(xué)選一門，有Cj種方法，其余兩門從剩余的5門中選，有Cg種選法；若物理和化學(xué)

選兩門，有Cy種選法，剩下一門從剩余的5門中選，有eg種選法，所以總數(shù)為c4q+gq,

錯(cuò)誤；對(duì)于c,若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為cg-g?cg=c?-cg（種），正確；對(duì)

于D,有3種情況：①只選物理且物理和歷史不同時(shí)選，有C]?q種選法；②選化學(xué)，不

選物理，有C|種選法：③物理與化學(xué)都選，有CyQ種選法，故總數(shù)為C]

+CyC[=6+10+4=20（種），錯(cuò)誤.

10.用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有

（）

A.250個(gè)B.249個(gè)

C.48個(gè)D.24個(gè)

解析：選C.①當(dāng)千位上的數(shù)字為4時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有Aj=24（個(gè)）；②當(dāng)千位上

的數(shù)字為3時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有Aj=24（個(gè)）.由分類加法計(jì)數(shù)原理得所有滿足條件的四

位數(shù)共有24+24=48（個(gè)），故選C.

11.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個(gè)紅包，每人最多

搶一個(gè)，且紅包被全部搶完，4個(gè)紅包中有2個(gè)6元，1個(gè)8元，1個(gè)10元（紅包中金額相

同視為相同紅包），則甲、乙都搶到紅包的情況有（）

A.18種B.24種

C.36種D.48種

解析：選C.若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)8元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3

人中的2個(gè)人搶走，有A^A孑=12種；若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)10元的紅包，剩下2

個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有AgAg=12種；若甲、乙搶的是一個(gè)8元和一個(gè)

10元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有A&q=6種；若甲、乙搶

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的是兩個(gè)6元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Ag=6種，根據(jù)

分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C.

12.某密碼鎖共設(shè)四個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位的數(shù)字都可以是1,2,3,4中的任一個(gè).現(xiàn)密

碼破譯者得知；甲所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有三個(gè)相同；乙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有兩個(gè)相同，另兩

個(gè)也相同；丙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有兩個(gè)相同；丁所設(shè)的四個(gè)數(shù)字互不相同.則上述四人

所設(shè)密碼最安全的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析：選C.甲所設(shè)密碼共有CW]C,=48種不同設(shè)法，乙所設(shè)密碼共有5咨=36種不

同設(shè)法，丙所設(shè)密碼共有C?CjAg=144種不同設(shè)法，丁所設(shè)密碼共有Af=24種不同設(shè)法，

所以丙最安全，故選C.

13.（2020?黑龍江哈爾濱三中期末）有3名男演員和2名女演員，演出的出場(chǎng)順序要求2

名女演員之間恰有1名男演員，則不同的出場(chǎng)順序共種.

解析：有3名男演員和2名女演員，演出的出場(chǎng)順序要求2名女演員之間恰有1名男演

員，則先排2名女演員，有A&種方法，然后插入1名男演員，有A、種方法，再把這3個(gè)人

當(dāng)作一個(gè)整體，和其他2名男演員進(jìn)行排列，有A,種方法.再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可

得不同的出場(chǎng)順序有AyA廠Ay=36種.

答案：36

14.從某校4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生參加進(jìn)博會(huì)志愿者服務(wù)，若每個(gè)班級(jí)至少有

一名代表，則各班級(jí)的代表數(shù)有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

解析：由題意，從4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生代表，每一個(gè)班級(jí)中至少有一名代表，

相當(dāng)于7個(gè)球排成一排，然后插3塊隔板把他們分成4份，即中間6個(gè)空位中選3個(gè)插板，

分成四份，共有Cg=20種不同的選法.

答案：20

15.（2020?湖北聯(lián)考）某共享汽車停放點(diǎn)的停車位成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來停

車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享

汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為.

解析：設(shè)停車位有八個(gè)，這3輛共享汽車都不相鄰：相當(dāng)于先將（〃一3）個(gè)停車位排放好，

再將這3輛共享汽車，插入到所成的（"一2）個(gè)間隔中，故有A",種.恰有2輛共享汽車相鄰，

可先把其中2輛捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另一輛插入到將（〃一3）個(gè)停車位排好所

成的（"一2）個(gè)間隔中，故有AgA12種.因?yàn)檫@3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽

車恰有2輛相鄰的概率相等，所以A?2=AgA/,,解得“=10.

答案：10

15

16.（2020?浙江嘉興一中、湖州中學(xué)聯(lián)考）用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字，可以組成

個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，也可以組成個(gè)能被5整除且無重復(fù)數(shù)字的五位

數(shù).

解析：第一個(gè)空：第一步，先確定三位數(shù)的最高數(shù)位上的數(shù)，有CS=5種方法；第二步，

確定另外兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)，有Ag=5X4=20種方法，所以可以組成5X20=100個(gè)無重復(fù)

數(shù)字的三位數(shù).

第二個(gè)空：被5整除且無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)位數(shù)上的數(shù)有2種情況：當(dāng)個(gè)位數(shù)上的

數(shù)字是0時(shí)，其他數(shù)位上的數(shù)有A3=5X4X3X2=120種；當(dāng)個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5時(shí)，先

確定最高數(shù)位上的數(shù)，有C]=4種方法，而后確定其他三個(gè)數(shù)位上的數(shù)有Aj=4X3X2=24

種方法，所以共有24X4=96個(gè)數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)算原理，可得共有120+96=216個(gè)數(shù).

答案：100216

[綜合題組練1

1.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中.若每個(gè)盒子放2

個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1,2的小球放入同一盒子中，則不同的方法共有（）

A.12種B.16種

C.18種D.36種

解析：選C.先將標(biāo)號(hào)為1,2的小球放入盒子，有3種情況；再將剩下的4個(gè)球平均

放入剩下的2個(gè)盒子中，共有。C±A『6種情況,所以不同的方法共有3X6=18（種）.

2.（多選）（2020?山東日照期末）把四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的

盒子中，不允許有空盒子的放法有（）

A.CjQCiQ種B.qA。種

C.CJC3A3種D.18種

解析：選BC.根據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的盒子