2019版高中全程練習(xí)方略配套資料：幾個(gè)著名的不等式及利用不等式求最大值

第三節(jié)幾個(gè)著名的不等式及利用不等式求最大(小)值…………高考指數(shù):★★內(nèi)容要求ABC算術(shù)－幾何平均不等式、柯西不等式及排序不等式√利用不等式求最大(小)值√1.幾個(gè)著名的不等式(1)柯西不等式①柯西不等式的代數(shù)形式:

設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)≥________，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)成立.②柯西不等式的向量形式:

設(shè)為平面上的兩個(gè)向量，則_____________，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)成立.(ac+bd)2ad=bc③柯西不等式的一般形式：設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai,bi(i=1，2，…，n)為任意實(shí)數(shù)，則≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(當(dāng)ai=0時(shí)，約定bi=0，i=1，2，…，n).(2)三角形不等式：設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3為任意實(shí)數(shù)，則≥________________.(3)排序不等式：設(shè)兩組實(shí)數(shù)a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn,且它們滿足：a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,若c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一個(gè)排列，則和數(shù)a1c1+a2c2+…+ancn在a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn同序時(shí)最大，反序時(shí)最小，即：________________≥a1c1+a2c2+…+ancn≥__________________,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)成立.(4)n個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式：如果a1,a2,…,an為正數(shù),n>1且n∈N*，則這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)是_______________,這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)是__________，基本不等式是________________________.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立.它表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均．【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知x,y,z均為正數(shù)且x+y+z=1.若，則：x=_________,y=__________,z=____________.(2)設(shè)a、b、c都是正數(shù)，試用不等號(hào)連接:______a＋b＋c.【解析】(1)∵(x+1+y+1+z+1)(12+12+12)≥(

)2,∴4×3≥(

)2，∴

,當(dāng)且僅當(dāng)

,即x=y=z=

時(shí),上式取到等號(hào).由已知

，∴x=y=z=

.

(2)不妨設(shè)a≥b≥c>0，∴ab≥ac≥bc，

.由排序不等式，知

，即

≥a＋b＋c.答案:

(1)

(2)≥2.利用不等式求最大(小)值(1)運(yùn)用算術(shù)-幾何平均不等式求最大(小)值;(2)運(yùn)用柯西不等式求最大(小)值.【即時(shí)應(yīng)用】(1)設(shè)a，b∈R，若a2＋b2＝5，則a＋2b的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)________.(2)已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_________．【解析】(1)由柯西不等式知(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，∴(a＋2b)2≤5×5＝25，∴－5≤a＋2b≤5.即a＋2b的最大值為5，最小值為-5.(2)2x＋

＝2(x－a)＋

＋2a≥2＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥.答案:(1)5-5(2)

運(yùn)用著名不等式證明不等式【方法點(diǎn)睛】利用幾個(gè)著名不等式證明不等式的思路(1)用算術(shù)－幾何平均不等式與柯西不等式證明不等式時(shí)，可直接應(yīng)用其結(jié)論，也可將要證的不等式拆成若干個(gè)不等式的和或積．(2)利用排序不等式證明不等式的關(guān)鍵是找出符合條件的兩組數(shù)，只要找到了這兩組數(shù)，問(wèn)題就迎刃而解了.

【例1】設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：.

【解題指南】從本題特征分析,不能直接運(yùn)用平均不等式或柯西不等式證明,可將其分成兩式之和,先對(duì)前三項(xiàng)運(yùn)用平均不等式,再與第四項(xiàng)結(jié)合,又一次運(yùn)用平均不等式證明.本題也可綜合利用排序不等式與平均不等式證明.【規(guī)范解答】方法一：因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得即,所以，而,所以

.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c且abc=,即a=b=c=時(shí)等號(hào)成立.方法二：設(shè)a≤b≤c,則,,=.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立.【反思·感悟】在證明不等式時(shí),如果兩次運(yùn)用了平均不等式,那么必須考慮其等號(hào)是否同時(shí)成立.【變式訓(xùn)練】已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，證明：a3+b3+c3≥.【證明】

利用柯西不等式(a2+b2+c2)2=()2≤［］(a+b+c)=(a3+b3+c3)(a+b+c)2(∵a+b+c=1),又因?yàn)閍2+b2+c2≥ab+bc+ca,在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2+b2+c2得：(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2).∵(a2+b2+c2)2≤(a3+b3+c3)(a+b+c)2≤(a3+b3+c3)·3(a2+b2+c2).故a3+b3+c3≥.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，等號(hào)成立.【變式備選】設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，(1)判定b+c-a,a+b-c,c+a-b的符號(hào)；(2)求證：≥a+b+c．【解析】(1)因?yàn)閍,b,c為三角形的三邊，所以b+c-a>0,c+a-b>0,a+b-c>0.(2)=·［(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)］≥＝(a+b+c)2=a+b+c. 運(yùn)用著名不等式求最值【方法點(diǎn)睛】運(yùn)用著名不等式求最值的注意問(wèn)題(1)用算術(shù)—幾何平均不等式求最大(小)值，要注意“一正、二定、三相等”．(2)用柯西不等式求最大(小)值，一要?jiǎng)?chuàng)造使用定理的條件，二要注意等號(hào)成立的條件．【例2】已知正數(shù)x，y,z滿足x+y+z=1.(1)求證：;(2)求4x+4y+的最小值.【解題指南】本例第(1)題等價(jià)于求

的最小值,因其分母分別為y+2z,z+2x,x+2y,其和恰為3(x+y+z),故運(yùn)用柯西不等式證之;第(2)題的特征是正數(shù)x，y、z均在指數(shù)上,根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則,才能轉(zhuǎn)化成和的形式,故運(yùn)用平均不等式求之.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閤>0,y>0,z>0，所以由柯西不等式得［(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)()≥(x+y+z)2,又因?yàn)閤+y+z=1，所以

≥.(2)由平均不等式得4x+4y+

≥3因?yàn)閤+y+z=1,所以x+y+z2=1-z+z2=

,故4x+4y+

≥

,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

,z=

時(shí)等號(hào)成立，所以4x+4y+

的最小值為

.【反思·感悟】1.使用算術(shù)—幾何平均不等式，必須正確把握不等式的結(jié)構(gòu)：一端為和式，另一端為積式；2.柯西不等式是非常重要的不等式，其結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)述為“平方和的積”不小于“積的和的平方”.【變式訓(xùn)練】已知正數(shù)x,y,z滿足5x+4y+3z=10.(1)求證:≥5;(2)求的最小值.【解析】(1)根據(jù)柯西不等式，得［(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)］()≥(5x+4y+3z)2,因?yàn)?x+4y+3z=10,所以=5.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).(2)根據(jù)平均不等式,得

,當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2+z2時(shí),等號(hào)成立.根據(jù)柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)≥2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.綜上,≥2·32=18.當(dāng)且僅當(dāng)x=1,時(shí),等號(hào)成立.所以

的最小值為18.【變式備選】用柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.【證明】