第16章 二次根式 講義 2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

?人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)專題01二次根式◆知識(shí)清單◆1．二次根式的概念2．二次根式的性質(zhì)3．二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的乘除運(yùn)算（2）二次根式的加減運(yùn)算（3）二次根式的混合運(yùn)算知識(shí)知識(shí)全歸納考點(diǎn)1二次根式的性質(zhì)（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．考點(diǎn)2二次根式的相關(guān)概念1．二次根式一般地，我們把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)．注意：（1）必須含有二次根號(hào)“，“”的根指數(shù)為2，即“”，我們一般省略根指數(shù)2，寫作“”．（2）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，如和都不是二次根式．（3）二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子．（4）式子a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有雙重非負(fù)性．（5）在具體問(wèn)題中，如果已知二次根式，就隱含a≥0這一條件．（6）形如的式子也是二次根式，b與是相乘的關(guān)系，要注意當(dāng)b是分?jǐn)?shù)時(shí)不能寫成帶分?jǐn)?shù)，例如可寫成，但不能寫成．2．最簡(jiǎn)二次根式被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3．分母有理化二次根式的除法可以用化去分母中的根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行，這種化去分母中根號(hào)的變形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的有理化因式（兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式），化去分母中的根號(hào)．分母的有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)便為宜．4．可合并的二次根式將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并．【注意】判斷被開方數(shù)相同的二次根式是以化為最簡(jiǎn)二次根式為前提的，是過(guò)化簡(jiǎn)來(lái)判斷化簡(jiǎn)前的二次根式是不是被開方數(shù)相同的二次根式．合并的方法與合并同類項(xiàng)類似，把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律，如，其中a≥0．【拓展】幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．同類二次根式與同類項(xiàng)無(wú)論是在表現(xiàn)形式上還是運(yùn)算法則上都有非常類似之處，學(xué)習(xí)時(shí)可對(duì)比來(lái)應(yīng)用．考點(diǎn)3二次根式的運(yùn)算1．二次根式的乘法：（1）．（2）逆用：（3）推廣：①②2．二次根式的除法：（1）（2）逆用：（3）推廣：①②，其中．3．二次根式的加減（1）法則：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．（2）步驟：①將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式；③合并被開方數(shù)相同的二次根式——將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變．（3）注意：①化成最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分．②整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號(hào)法則、添括號(hào)法則在二次根式運(yùn)算中仍然適用．③根號(hào)外的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化為假分?jǐn)?shù)的形式．4．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）．（2）在二次根式的運(yùn)算中，有理數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式乘法法則及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然適用．（3）二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)二次根式或整式．教材教材劃重點(diǎn)1．化簡(jiǎn)二次根式的步驟（1）把被開方數(shù)分解因式（或因數(shù)）；（2）把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；（3）如果因式中有平方式（或平方數(shù)），應(yīng)用關(guān)系式（）把這個(gè)因式（或因數(shù)）開出來(lái)，將二次根式化簡(jiǎn)．2．二次根式運(yùn)算中的注意事項(xiàng)（1）一般將最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式．（2）二次根式的加減：先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并．（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來(lái)．學(xué)霸學(xué)霸愛拓展（（1）若，則a=0，b=0；（2）若，則a=0，b=0；（3）若，則a=0，b=0；（4）若，則a=0，b=0，c=0．題型題型易突破題型1二次根式的定義典例（2023秋?沈丘縣期末）下列式子一定是二次根式的是典例A． B． C． D．【答案】【分析】直接利用二次根式的定義，一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式進(jìn)行判斷即可．【解答】解：，，一定是二次根式，而、和中的被開方數(shù)均不能保證大于等于0，故不一定是二次根式，故選：．【跟蹤練1】（2023秋?射洪市校級(jí)期中）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【跟蹤練2】（2023秋?瓊中縣期末）若和，都是二次根式，則A．、 B．、 C．、 D．，【跟蹤練3】（2023秋?肇東市校級(jí)期末）下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．題型2二次根式有意義的條件典例（2023秋?沈丘縣期末）若有意義，則、的取值范圍不可能是典例A． B． C． D．【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的條件確定被開方數(shù)的符號(hào)，被開方數(shù)大于或等于0則一定有意義，若小于0則沒(méi)有意義，不成立．【解答】解：、當(dāng)，時(shí)，被開方數(shù)，則式子一定有意義；、當(dāng)，時(shí)，被開方數(shù)，則式子一定有意義；、當(dāng)，時(shí)，被開方數(shù)，則式子一定沒(méi)有意義；、當(dāng)時(shí)，被開方數(shù)，則式子一定有意義．故選：．【跟蹤練4】（2023秋?崇明區(qū)期末）若等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【跟蹤練5】（2023秋?河北區(qū)校級(jí)期末）若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．【跟蹤練6】（2023秋?新城區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)，滿足等式，求的立方根．題型3二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)典例（2023秋?睢陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如果實(shí)數(shù)，滿足，那么點(diǎn)在典例A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或坐標(biāo)軸上 D．第二象限或坐標(biāo)軸上【答案】【分析】根據(jù)題意得出、異號(hào)，且，進(jìn)而得出點(diǎn)的位置．【解答】解：由實(shí)數(shù)，滿足，可得、一定異號(hào)，并且，則或者、中有一個(gè)為0或都為0，故點(diǎn)在第二象限或坐標(biāo)軸上．故選：．【跟蹤練7】（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)時(shí)，．【跟蹤練8】（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期末）如果，那么等式成立的條件是．【跟蹤練9】（2023秋?房山區(qū)期末）已知數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．題型4最簡(jiǎn)二次根式典例（2023秋?崇明區(qū)期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是典例A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)開方，再根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．【解答】解：、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)正確；、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【跟蹤練10】（2023秋?金山區(qū)期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．【跟蹤練11】（2023秋?嘉定區(qū)期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．【跟蹤練12】（2023秋?道里區(qū)期末）下列選項(xiàng)中的式子，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．題型5分母有理化典例（2023秋?普陀區(qū)期末）的有理化因式是典例A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)有理化因式的定義：兩個(gè)根式相乘的積不含根號(hào)，即可判斷．【解答】解：，所以的有理化因式是，故選：．【跟蹤練13】（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）的一個(gè)有理化因式是A． B． C． D．【跟蹤練14】（2023秋?黃浦區(qū)期中）下列式子中，是的有理化因式的是A． B． C． D．【跟蹤練15】（2023秋?楊浦區(qū)期中）的有理化因式是．題型6二次根式的乘除典例計(jì)算：典例【分析】直接化簡(jiǎn)二次根式再利用二次根式乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：．【跟蹤練16】計(jì)算．【跟蹤練17】．【跟蹤練18】計(jì)算：．題型7二次根式的加減典例（2023春?鄱陽(yáng)縣期末）．典例【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式．【跟蹤練19】（2022春?雷州市期末）．【跟蹤練20】（2023春?白山期末）計(jì)算：．【跟蹤練21】（2023?清水縣一模）計(jì)算：．題型8二次根式的混合運(yùn)算典例（2023秋?靖邊縣期末）計(jì)算：．典例【答案】．【分析】先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)后合并即可．【解答】解：原式．【跟蹤練22】（2023秋?鹿寨縣期末）計(jì)算：．【跟蹤練23】（2023秋?昌平區(qū)期末）計(jì)算：．【跟蹤練24】（2023秋?白銀期末）計(jì)算：．題型9二次根式的化簡(jiǎn)求值典例（2022春?淮濱縣期末）已知，，求下列代數(shù)式的值：典例（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)已知條件先計(jì)算出，再利用完全平方公式得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算；（2）根據(jù)已知條件先計(jì)算出，，再利用平方差公式得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：（1），，，；（2），，，，．【跟蹤練25】（2022春?合陽(yáng)縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：已知，，求代數(shù)式的值．【跟蹤練26】（2023春?東莞市校級(jí)期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．【跟蹤練27】（2015春?饒平縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．跟蹤練參考答案跟蹤練參考答案1．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的根指數(shù)是2且被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，解答即可．【解答】解：中當(dāng)時(shí)，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；，，是二次根式，共有4個(gè)．故選：．2．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得：，，然后分析、的取值范圍即可．【解答】解：由題意得：，，、為異號(hào)，，，，，故選：．3．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式．【解答】解：．，被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，二次根式無(wú)意義，故此選項(xiàng)不合題意；．，三次根式，故此選項(xiàng)不合題意；．，是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；．，被開方數(shù)有可能是負(fù)數(shù)，二次根式無(wú)意義，故此選項(xiàng)不合題意；故選：．4．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求得答案．【解答】解：若成立，則，故選：．5．【答案】且．【分析】根據(jù)分式有意義時(shí)分母不等于0，二次根式有意義時(shí)被開方數(shù)大于或等于0列式求解即可．【解答】解：，，，，的取值范圍是且．故答案為：且．6．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出的值，進(jìn)而求出的值，再求出的值，即可求出對(duì)應(yīng)的立方根．【解答】解：要有意義，，，，，的立方根是3，的立方根是3．7．【答案】．【分析】根據(jù)，可得，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【解答】解：，，原式，故答案為：．8．【答案】．【分析】根據(jù)解答即可．【解答】解：如果，那么，，解得故答案為：．9．【答案】0．【分析】根據(jù)數(shù)軸得到，，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，合并同類項(xiàng)得到答案．【解答】解：由數(shù)軸可知，，則，，原式，故答案為：0．10．【答案】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：．因?yàn)榈谋婚_方數(shù)含有分母，所以它不是最簡(jiǎn)二次根式，所以選項(xiàng)不符合題意．因?yàn)楹锌梢蚤_方的因數(shù)4，所以它不是最簡(jiǎn)二次根式，所以不符合題意；．因?yàn)楹锌梢蚤_方的因數(shù)4，所以它不是最簡(jiǎn)二次根式，所以不符合題意；．因?yàn)椴缓锌梢蚤_方的因數(shù)，也不含有分母，所以選項(xiàng)符合題意；故選：．11．【答案】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；、，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；故選：．12．【答案】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：、，不是最簡(jiǎn)二次根式；、，不是最簡(jiǎn)二次根式；、，不是最簡(jiǎn)二次根式；、是最簡(jiǎn)二次根式；故選：．13．【答案】【分析】根據(jù)有理化因式的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：的有理化因式可以為．故選：．14．【答案】【分析】利用平方差公式和有理化因式的意義解答即可．【解答】解：，的有理化因式為．故選：．15．【答案】．【分析】利用平方差公式和有理化因式的意義解答即可．【解答】解：的有理化因式是．故答案為：．16．【分析】直接利用二次根式乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：．17．【分析】直接化簡(jiǎn)二次根式再利用二次根式乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：．18．【分析】直接利用二次根式乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式．19．【分析】先把各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：原式．20．【分析】首先對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可求解．【解答】解：原式．21．【分析】直接化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而合并求出即可．【解答】解：原式．22．【分析】先算除法并利用二次根式的性質(zhì)將各項(xiàng)化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式．【解答】解：原式．23．【答案】3．【分析】利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：．24．【答案】．【分析】先利用二次