巧作輔助線構(gòu)造全等形（解析版）-八年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角形全等、軸對稱及幾何動(dòng)態(tài)問題思維訓(xùn)練

專題06巧作輔助線，構(gòu)造全等形

構(gòu)造輔助線見角平分線，作垂線

?性質(zhì)類見垂直平分線，點(diǎn)點(diǎn)相連

見等腰，思三線合一

等腰，構(gòu)造新等腰三角形

?平行線

構(gòu)造對頂三角形全等

【典例解析】

[例1]（2020?江蘇江都月考）問題背景:

如圖1：在四邊形ABer）中，AB=AD,ZBAD=120o,NB=NAQC=90。，E,F分別是BC,Co上的點(diǎn),

且/E4F=60。.探究圖中線段BE,EF,Fo之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長尸。到點(diǎn)G.使。G=BE.連結(jié)AG,先證明AABE絲Z?AOG,再證明

∕?AEF^∕?AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是

G

探索延伸:

如圖2,若在四邊形ABC。中，48=AO,/8+/。=180。,EI分別是8C,8上的點(diǎn)，且/EAF=W/BAD,

上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理山;

實(shí)際應(yīng)用:

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30。的4處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。

的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前

進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別

到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

【答案】見解析.

【解析】解：問題背景：

EF=BE+DF,證明如下：

DG=BE

??ABf和AAOG中，＜NB=NADG,

AB=AD

：.ΛABE^∕?ADG(SAS),

：.AE-AG,NBAE=NDAG,

,：ZEAF=-ZBAD,

2

.?.ZGAF=ZDAG+/DAF=NBAE+ZDAF=NBAD-NEAF=NEAF,

：.NEAF=NGAF,

AE=AG

在EF和中，＜/EAF=NGAF,

AF^AF

：.ΔAEF^ΔAGF(SAS),

：.EF=FG,

FG=DG+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF；

故答案為EF=BE+DF.

探索延伸：

上述結(jié)論EF=BE+FD成立,

理由：延長尸〃到點(diǎn)G,使得。G=BE,連接AG,

???NB+NADC=I80。，ZA∞+ZADC=180o,

：.ZB=ZADG1

'：AB=AD,

：.ΛABE^∕?ADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG.

1

YZEAF=—ZBAD

2f

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZDAF+ZBAE=ZBAD-NEAF=L/BAD,

2

：.ZGAF=ZEAFf

y.*：AG=AE,AF=AF,

：.ΔAFG^ΔAFE(SAS),

：.EF=GF1

VGF=DF+DG=DF+BE,

；?EF=BE+FD；

實(shí)際應(yīng)用：

連接EF,延長8尸相交于點(diǎn)G

在四邊形AoBCi4j,

VZAOθ=30o+90o÷(90o-70o)=140o,ZFOE=IOo=—ZAOB,

2

又?：OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90o-30o)+(70o+50o)=60o÷120o=180o,

ΛEF=AE+FB=1.5×(60+80)=210(海里),

即此時(shí)兩艦艇之間的距離210海里.

【變式1-1］（2020?重慶巴南月考）

（1）問題背景：

如圖1,在四邊形ABCz）中，AB=AD,ZBAD=120o,ZB=ZADC=90°,E,F分別是8C,CD上的點(diǎn),

且/E4尸=60。，探究圖中線段BE,EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究此問題的方法是延長FO到點(diǎn)G,使。G=BE,連結(jié)AG,先證明/ABE合44DG,再證明/

AEF^AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

（2）探索延伸：

如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=I80o,E,F分別是8C,CO上的點(diǎn)，NEAF=LNBAD,

2

上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由.

【答案】（1）EF=BE+DFi（2）成立，見解析.

【解析】解：（1）EF=BE+DF,證明如下：

DG=BE

在4ABE和aADG中，＜NB=ZADG

AB=AD

：.?ABE??ADG

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG

?'NEAF=LZBAD

2

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZEAF

：.ZEAF=^GAF

：.?ΛEF^?AGF

.'.EF=GF

.".EF=BE+DF

故答案為：EF=BE+DF.

（2）結(jié)論EF=8E+f>F仍然成立；

理由：延長尸。到點(diǎn)G,使DG=BE.連結(jié)AG,

易證△ABE^/XADG

.'.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

'：ZEAF=-ΛBAD,

2

,ZGAF=ZDAG+ΛDAF=ΛBAE+ZDAF=ΛBAD-ΛEAF=ZEAF,

：.NEAF=NGAF,

AE^AG

在AAE尸和AAGF中，<NEAF=NGAF

AF^AF

：.∕?AEF^ΛAGF（SAS）,

：.EF=FG,

'：FG=DG+DF=BE+DF,

J.EF=BE+DF.

【變式1-2］（2019?山東嘉祥?初二期中）現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見輔助線的做法.在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣

泛的應(yīng)用.截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等.補(bǔ)

短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段.

請用截長法解決問題（1）

（1）已知：如圖1等腰直角三角形ABC中，NB=90°,AD是角平分線，交Be邊于點(diǎn)D.求證：

AC=AB+BD.

A

圖1

請用補(bǔ)短法解決問題(2)

(2)如圖2,已知，如圖2,在ΔABC中，ZB=2ZC,AD是AABC的角平分線.求證：AC^AB+BD.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)證明：在AC上截取AE=48,連接OE,

。是角平分線，

...ZBAD=ZEAD

AB^AE

在4ADB和^ADE中，，/BAD=NEAD

AD^AD

：.^ADB^AADE

，N4ED=∕B=90°,DE=BD

?.?AABC是等腰直角三角形，

二ZC=45o,

二AOEC是等腰直角三角形，

；.ED=CE,

.'.AC^AE+CE^AB+BD

(2)延長A8到F,使AP=AC,連接OF,

?.?A。是AABC的角平分線，

二ZFAD=ZCAD

AF=AC

在△必力和ACAO中，（NFAO=NCAO

AD^AD

Λ?FAD^ACAD,

：./C=/F

VZABC=2ZC,NABC=NF+NBDF,

：.NF=NBDF,

.".BD=BF,

.".AC=AF=AB+BD.

【例2-1］（2020?唐山市豐南區(qū)）如圖，在AABC中，AC=5,中線Ao=7,則AB邊的取值范圍是（）

C.5<AB<19D.9<AB<19

【答案】D.

【解析】延長AD到E,使DE=AD,連接BE

、1

''E

在△AOC和AEDe中，

AD=DE,ZADC=ZBDE,CD=BD

：.叢ADC烏AEDB

：.AC=BE

VAC=5,AD=7

；.BE=5,AE=14

??ΛBEφ,AE-BE<Aβ<AE+βE

.??AB邊的取值范圍是：9<Aβ<19

故答案為：D.

【例2-2］（2020.余干縣月考）（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

在AABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AO的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：

①延長A力到Q,使得。。=4。；

②再連接8Q,把AB、AC、2AO集中在AABQ中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<Λβ<14,則AD的取值范圍是.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線''等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的己知條

件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

（2）請你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明.

（3）思考：已知，如圖2,AO是ZkABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=90°.試探究線段

AO與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明.

E

圖2

【答案】見解析.

【解析】解：(1)延長AO到。，使。。=4)，連接8。,

：A。是AABC的中線，

：.BD=CD,

BD=CD

在AQDB和AADC中，《NBDQ=乙CDA,

DQ=DA

.??QDB^AADC,

：.BQ=AC=5,

在小ABQψ,AB-BQ<AQ<AB+BQ,

Λ4<Aρ<14,

Λ2<ΛD<7,

故答案為：2VAQV7；

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，AQOB四Z?AOC,

,ZBQD=ZCAD,

J.AC//BQ-,

(3)EF=2AD,ADLEF.

理由：延長AC到。使得BQ=AD,連接8Q,

由(1)知，ΔBDQ^?CDA(SAS),

."DBQ=NACD,BQ=AC,

,:AC=AF,

：.BQ=AF,

在AABC中，ABAC+AABC+AACB=180°,

.?N84C+N48C+NO8Q=180。,

.?.N84C+A8Q=180°,

9o

：ZBAE=ZFAC=Wf

ΛZBAC+ZEAF=180o,

工ZABQ=ZEAFf

AB=EA

在ZkABQ和AE4∕7中，］ZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：?∕?ABQ^?EAFf

：.AQ=EF1NBAQ=NAEF,

延長D4交"于尸，

?/NBA￡=90。，

,/BAQ+NEAP=90。，

o

，ZAEF+ZEAP=901

???ZAPE=90°,

：.ADIEFf

FAD=DQ,

ΛAQ=2AD,

,u

.AQ=EFf

t

：.EF=IADi

即：EF=2AD1ADLEF.

【變式2-1］（2019?山西?？迹╅喿x材料，解答下列問題.

如圖1,已知中，AO為中線.延長A。至點(diǎn)E,使DE=AO.在^AOC和aEOB中，AD=DE,

ZADC=ZEDBfBD=CD,所以，AACD/4EBD,進(jìn)一步可得到AC=BE,AC//5E等結(jié)論.

A

A

C

圖1圖2

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長中線''的輔助線來構(gòu)造全等三角形,并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算

或證明題.

解決問題：如圖2,在AABC中，AO是三角形的中線，點(diǎn)f為Ao上一點(diǎn)，且BF=AC,連結(jié)并延長8尸交

AC于點(diǎn)E,求證：AE-EF.

【答案】見解析

【解析】解：如圖，延長Ao至點(diǎn)M使得。M=AC,連接8M,

??z

?.?A。是三角形的中線，

：.Biy=CD,

BD=CD,

在^MBD和小ACD中，＜NBDM=ZCDA,

DM=DA

：.4BDMm叢CDA,

：.AC=BM,NBMD=NCAD,

VBF=AC

JBF=BM

.".ZBMD=ZBFD

'.'ZBFD=ZEFAfZBMD=ZCAD

/.ZEFA^ZEAF,

；.AE=EF.

【變式2-2］（2020.北京朝陽期末）閱讀下面材料：

數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：

如圖，AO為AABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F,AE=EF.求證：AC=BF.

經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：

思路一如圖①,添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADgAGDB,再利用4E=EF可以進(jìn)一步證得NG=/∕?E

=NAFE=NBFG,從而證明結(jié)論.

V

G

圖①

思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE=E尸可證得NG=NB尸G=NAFE=NME,再依據(jù)A4S可以進(jìn)一

步證得AAOCg4GE>B,從而證明結(jié)論.

G

圖②

完成下面問題：

(I)①思路一的輔助線的作法是：；

②思路二的輔助線的作法是：.

(2)請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不

需要寫出證明過程).

【答案】(D①延長4。至點(diǎn)G,使Z)G=AO,連接8G；②作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)G；(2)見解

析

【解析】解：(1)①延長至點(diǎn)G,使OG=AQ,連接8G,如圖①，理由如下：

：A。為AABC中線，

：.BD=CD,

AD=DG

在△ADC和△GDB中，?jZADC=NGDB,

CD=BD

：.?ADC^?GDB(SAS),

JAC=BG,

'：AE=EF,

：.ZCAD^ZEFA,

?'ZBFG=ZG,ZG=ZCAD,

：.NG=NBFG,

：.BG=BF,

：.AC=BF.

故答案為：延長A。至點(diǎn)G,使。G=A/),連接BG；

②作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)G,

理由如下：YBG=BP,

：./G=NBFG,

?：AE=EF,

：.ZEAF=ZEFA,

；NEFA=NBFG,

：.ZG=ZEAF,

NCAD=NG

在4ADCfll?GOB中，＜ZADC=ZGDB,

CD=BD

Λ?ΛDC^?GDB(AAS),

：.AC=BG,

.?.AC=8尸；

故答案為：作BG=B/交4。的延長線于點(diǎn)G；

(2)作8G〃AC交4￡)的延長線于G,則∕G=NC4O,

：A。為AABC中線,

：.BD=CD,

NCAO=NG

在△4。C和△GDB中，＜ZADC=匕GDB,

CD=BD

：.AADgAGDB(AAS),

".AC=BG,

?'AE=EF,

.'.ZCAD=ZEFA,

'：ΛBFG=AEFA,ZG=ZCAD,

：.ZG=ZBFG,

LBG=BF,

：.AC=BF.

【例3-1】（2020.華中科技大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖，AABC中，AB=AC,ZBAC+ZBDC=ISOO.

AA

B?/CB?/C

DD

(1)求證：AO為NBQC的平分線；

(2)若∕D4E=g?NftAC,且點(diǎn)E在B。上，直接寫出BE、DE.

DC三條線段之間的等量關(guān)系

【答案】⑴見解析；⑵DE=BE+DC.

【解析】證明：(1)過A作AG_LB。于G,A凡Le)C于居

二∕AGZ>N尸=90°,

.?.NGA尸+/BOC=180。，

：N8AC+/BOC=I80°,

：.ZGAF=^BAC,

ZGAF-ZGAC=ZBAC-ZGAC,

：.ZBAG=ZCAF,

ZAGB=ZF=90

在^BAG和4CAFψ,?NBAG=NCAF

AB=AC

ΛΔBΛG^ΔCAF(AAS),

：.AG=AF,

：.ΛBDA=ACDA.

(2)DE=BE+DC,理由如下：

過A作NeAH=N8AE,交QC的延長線于H,

.?.ZDAE=ZBAE+ZCAD,

?：NCAH=∕BAE,

.,.ZDAE=ZCAH+ZCAD=ZDAH,

VEAD=ZHAD

在4EAD和^HAD中，＜ADAD

NADE=ZADH

.??EAD^?HAD(ASA),

：.DE=DH,AE=AH,

AB=AC

在△￡48和△HAC中，(NBAE=NCA”,

AE=AH

：.XEAB烏XHAC(SAS),

：.BE=CH,

.,.DE=DH=DC+CH=DC+BE,

：.DE=DC+BE.

故答案是：DE=DC+BE.

【例3-2](2020?無錫市胡城中學(xué)月考)如圖，8。是AABC的外角/A8P的角平分線，DA^DC,DELBP

于點(diǎn)E,若AB=5,BC=3,則BE的長為

【答案】1

【解析】解：過點(diǎn)。作。FL4B于F,

A

：8。是NABP的角平分線,

.,.DE=DF,

BD=BD

在ABDE和ABOF中，＜

DE=DF,

Λ?BDE*4BDF(HL),

LBE=BF,

DADC

在AAO尸和ACOE中，＜

DEDF,

：.ΔADF^ΔCDE（HL）,

：.AF=CE,

"：AF=AB-BF,

CE=BC+BE,

.".AB-BF=BC+BE,

：.ZBE=AB-BC,

VAβ=5,BC=3,

Λ2BE=5-3=2,BE=L

故答案為I.

【變式3-1］（2020.江蘇江都月考）如圖，點(diǎn)P為定角N408的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且NMPN與NAOB

互補(bǔ).若/MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與0A,08相交于〃、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（I）PM

=PN恒成立，（2）OM+ON的值不變，（3）四邊形PMON的面積不變，（4）MN的長不變，

其中正確的為（請?zhí)顚懡Y(jié)論前面的序號）.

【答案】(1)(2)(3).

【解析】解：過尸作PE?LOA于E,PFLOB=^-F.

.?ZEPF+ZAOB=]SO°,

,.,ZMPN+ZAOH^?SO°,

：.ZEPF=ZMPN,

NEPM=NFPN,

VOPZAOB,PElOA:f-E,PF±OB^F,

LPE=PF,

[OP=OP

在APoE和APof?中，V,

PE=PF

.?ΛPOE^?POF,

：.OE=OF,

NMPE=NNPF

在^PEM和4PFN中，＜PE=PF,

NPEM=NPFN

：.4PEMqAPFN,

：.EM=NF,PM=PN,故（1）正確，

??SAPEW=5ΔPNF，

??SWiir-≈PMO,V=SMMlHPEO產(chǎn)定值，故(3)正確,

；0M+0N=0E+ME+0F-NF=20E=定值,故（2）正確,

MN的長度是變化的，故（4）錯(cuò)誤，

故答案為：（1）（2）（3）.

【變式3-2］（2020.四川達(dá)州期末）已知：如圖，BD為AABC的角平分線，且BD=BC,E為8。延長線上

的一點(diǎn)，BE=BA,過E作EF_LAB,F為垂足.下列結(jié)論：①AABQ四△EBC；②NBCE+NBCO=180。；

@AD=AE=EC；@BA+BC=2BF；其中正確的是（）

B.①③④C.①?@D.①②③④

【答案】D

【解析】解：①Y8。為AABC的角平分線，

/.NABD=NCBD,

BD=BC

：.在4A8/）和^EBC中，?ZABD=NCBD,

BE=BA

AABDZAEBC(SAS),①正確；

②?.?B。為AABC的角平分線，BD=BC,BE=BA,

：.NBCD=NBDC=NBAE=NBEA,

,.?AABD之AEBC,

"BCE=NBDA,

：.ZBCE+NBCD=ZBDA+ZBDC=180°,②正確：

③：/BCE=NBDA,NBCE=NBCD+NDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,NBCD=NBEA,

：.NDCE=ZDAE,

.?.△ACE為等腰三角形，

.?.AE=EC,

?：?AθD^?EBC,

JAD=EC,

.,.AD=AE=EC.③正確；

④過E作EG，BC于G點(diǎn),

是NABC的角平分線BO上的點(diǎn)，且EFLAB,

：.EF=EG,

BE=BE

在RtABEG和RtABEF中，〈，

EF-EG

：.Rt△BEG^RtLBEF(HL),

.'.BG=BF,

'?AE—CE

在RtACEG和RtAAFE中，＜，

EF-EG

：.RtACEGgRtAAEF(HL),

JAF=CG,

：.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,④正確.

故答案為O?

【變式3-3](2020,四川成都開學(xué)考試)如圖，AO是，ABC的角平分線，DFLAB,垂足為F,DE=DM,

△AOM和AAED的面積分別為58和40,則,.EQF的面積為()

【答案】C

【解析】解：過點(diǎn)。作DHlACTH

A

：A。是△ABC的角平分線，DFLAB,DHlAC,

：.DF=DH,

在RtADEF和Λz?DMH中，DF=DH,DE=DM,

：.Rt△DEWRtADMH(HL),

?,?S?DEF=S4DMH，

,：∕?ADM和^AED的面積分別為58和40,

.?.△ED尸的面積=LX(58-40)=9.

2

故答案為：C.

【變式3-4](2020?內(nèi)蒙古扎魯特旗期末)已知/BAC的平分線與5C的垂直平分線OG相交于點(diǎn)￡>,OELAB,

DFLAC,垂足分別為E、F,

(1)連接C。、BD,求證：△CDF總ABDE；

(2)若AE=5,AC=3,求BE的長.

【答案】見解析.

【解析】證明：(1)連接。、BD,

平分∕BAE,DELAB,DF±AC,

：.DE=DF,

又?.?OG垂直平分BC9

：.CD=BD,

在放△SF和心"OE中，^維，

：?Rt△CDF冬RmBDE.

(?∏=?∩

⑵在用△AO歹和心AAOE中，法二法

IRlXADMRtAADE(HL)f

：.AE=AF9

?：Ri△CDF^RtLBDE9

：.BE=CF1

9：CF=AF-AC=5-3=2,

：.BE=If,

【習(xí)題專練】

1.（202。南部縣月考）如圖，在AABC中，AB=AC點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AzWC內(nèi)一點(diǎn)，若

NAEB=NCED=90。,AE=BEfCE=DE=2,則圖中陰影部分的面積等于.

【答案】4.

【解析】解：過。作DGLBE于G,過C作CnLAE于F,

???NDGE=∕CFE=90°,

?.'NAEB=NDEC=90°,

OO

.?ZGED+ZDEF=909ZDEF+ZCEF=909

：?ZGED=ZCEFf

?:DE=EC

:AGDEqAFCE,

：.DG=CF9

V5ΔBED=-BE-DGfSABED=LAE?CF,AE=BE,

22

?*?S?BEl尸S&BED，

???。是BC的中點(diǎn)，

?*?5ΔBDgS△EDC=—×2×2=2,

2

?*?S陰影=2+2=4,

故答案為4.

2.（2020?江蘇泰州月考）如圖，四邊形ABC。中，AB=ADfAC=5,ND48=NOCB=90。，則四邊形ABCO

的面積為.

【答案】12.5

【解析】解：過點(diǎn)A作AELAC交8的延長線于E,

???ZZ)+ZABC=180°=ZABE+ZABC,

：.ND=/ABE,

o

VZL>AB=ZCAE=90f

CAD=/EAB,

Λ

?AD=AB1

：.ΔACD^?AEB,

/.AC=AE9即AACE是等腰直角三角形，

???四邊形ABCD的面積與^ACE的面積相等,

'.'SACE=—×5×5=12.5,

Δ2

.?.四邊形ABC。的面積為12.5,

故答案為12.5.

3.（2020?啟東市月考）尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZPfiC=30o,ZPBA=S0,且NA?B=NA^C=22。，則NAPC

的度數(shù)為.

【解析】解：延長AC至F,使AF=A8,連BF,PF,延長AP交BC于Q,交BF于E,

AB=AF

在AAPB和AAPF中，ZPAB=ZPAC,

AP=AP

二l?APB9XAPF,

：.AB=AF,PB=PF,ZAFP=ZABP=SO,

.?.AP垂直平分8F,NBPE=NBAP+NABP=30%NFPE=NCAP+NAFP=30°

二NAEP=NFEP=90°,

：.NPBF=NPFB=60。

,：NPBC=30。

ZCBF=30o=ZPBC,ZBPF=ZBFP=ZPBF=60°,

.三角形8PF是等邊三角形，BC平分NPBF

.?.BC垂直平分PF

：.PC=PF

,NCPF=NCFP=8°

：.ZPPC=38°

，ZAPC=142°；

故答案為：142。.

4.（2020?四川成華期末）（1）如圖1,在.ABC中，AB=4,AC=6,AO是BC邊上的中線，延長AZ）到點(diǎn)E

使DE=AD,連接CE,把AB,AC,2AD集中在..ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；

（2）如圖2,在ABC中，AO是8C邊上的中線，點(diǎn)E,尸分別在AB,AC上，?DELDF,求證：BE+CF

>EF；

（3）如圖3,在四邊形A8C。中，/A為鈍角，/C為銳角，ZB+ZADC=?S0°,DA=OC,點(diǎn)區(qū)廠分別在

BC,AB上，且/EDF=LNAOC,連接EE試探索線段AF,EF,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

2

【答案】(I)1<AD<5;(2)見解析；(3)AF+EC=EF,見解析

【解析】解：(1)：CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

ΛΔCDE^?BDA,

...EC=A8=4,

V6-4<AE<6+4,

Λ2<2AD<10,

Λ1<AD<5,

故答案為：1<A0<5；

(2)延長Eo到H,使DH=DE,連接04,FH.

B

:ABDEQACDH,

：.BE=CH,

?；FDLEH,又DE=DH,

ZEF=FH,

?ΔCF∕∕ψ,CH+CF>FH,

?/CH=BE9FH=EF,

.?.BE+CF>EF;

(3)結(jié)論：AF+EC=EF.

理由：延長BC到“，使C7∕=4F?

???ZΛ+ZBCD=180o,

?/NDCH+NBCD=180。,

：.A=ZDCH,

?：AF=CH,AD=CD9

：.4AFD妾ACHD,

：?DF=DH,ZADF=ZCDH1

：.ZADC=ZFDH,

1

???ZEDF=-ZADC

2f

???ZEDF=-ZFDH

29

.?ZEDF=ZEDH1

YDE=DE,

.?∕?EDF^∕?EDH,

：.EF=EHi

,.?EH=EC+CH=EC+AF,

,EF=AF+EC.

5.(2020?武漢市期中)在.ABC中，。是BC的中點(diǎn)，E9F9分別在AB,AC上.S.DELDF,連EF.

(1)如圖1,AB=AC,ZBAC=90o,求證：NDEF=45。；

(2)如圖2,求證：BE+CF>EF.

圖1圖2

【答案】見解析.

【解析】解：連接AD

???△A6C為等腰宜角三角形,

oo

ΛZB=ZC=45,ZBAZ>ZCAD=45,AD-LBC9

???點(diǎn)力是BC中點(diǎn),

：.AD=BD=CDf

VZEDF=90o,即NAOE+N4QF=90°,

ZADE+ZBDE=ZADB=90o,

???ZADF=ZBDE1

Λ?BD^?ADF,

：.DE=DF,/EQ尸=90°,

.?.NQEF=45°；

(2)延長E。至G,使ED=DG,連接FG和CG,

,."FDlED,

：.NFDE=NFDG=90。,又FD=FD,

；.AFDEgAFDG,

：.EF=FG,

?:點(diǎn)D為BC中點(diǎn),

：.BD=CD,又ED=DG,ZEDB=ZCDG,

.?.△8。Eg△CDG,

.'.BE=CG,

在4CFG中，CG+CF>FG,

.?BE+CF>EF.

6.（2020?北京海淀期中）已知，如圖：AO是aABC的中線，AEVAB,AE=AB,AFLAC,AF=AC,連結(jié)

EF.試猜想線段4。與E尸的關(guān)系，并證明.

EJ

【答案】EF=2AD,EFLAD-,見解析

【解析】猜想：EF=2AD,EF±AD.

證明：延長AO到M,使AO=DM,連接MC,延長D4交EF于N,

3

W

：.AD=DM9AM=2ADf

AO是ZkABC的中線，：?BD=CD,

AD=DM

在AABD和^MCD中，ZADB=ZMDCi

BD=CD

：.?ABD^?Λ∕CD,

IAB=MC,NBAD=NM,

VAB=AEt：.AE=MC,

VAE±ΛB,AF±AC,ΛZEΛB=ZMC=90o,

φ.?ZMC÷ZBAC+ZEAB+ZEAF=360o,

ΛZBAC+ZE4F=180o,

「ZCAD+ZM+ZMCA=180°,

/.ZCAD+ZBAD+ZMCA=180°,

即NBAC+NMCA=180。，

：.AEAF=AMCA.

AF=AC

在△4E戶和中，］ZEAF=ZMCA,

AE=CM

????AEF^ACMAf

：?EF=AM,ZCAM=ZFf

：.EF=2AD；

?/NCAF=90。,

???ZCAM÷ZMΛ^=90o,

?：NCAM=∕F,

.?ZF+ZFAN=90°,

：.NANF=90°,

.?EF±AD.

7.（2020?四川成都）已知，如圖Af）為AABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角

形ABE和等腰三角形ACRSLAE=AB,AF=AC,連接E居NEAF+NBAC=180。

（1）如圖1,若NABE=63°,NBAC=45。，求N∕?C的度數(shù)；

（2）如圖1請?zhí)骄烤€段EF和線段AO有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論：

（3）如圖2,設(shè)E/交A8于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)R,延長FC,EB交于點(diǎn)M,若點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，且

NBAE=70。,請?zhí)骄?ACB和NCAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

卸圖2??

【答案】見解析.

【解析】解：⑴???AE=AB,

/.NAEB=NABE=63。，

ΛZEAB=54o,

?：ZBAC=45o,NEAF+/BAC=180°,

o

/.ZEAB+2ZBAC+ZFAC=180f

Λ54o+2×45o+ZMC=180°,

ΛZMC=36o;

(2)EF=2AD;理由如下：延長A。至從使DH=AD,連接BH,

小

、I

、I

、I

；H

「AO為△ABC的中線,

：.BD=CD,

BD=CD

在ZkBA//和△COA中，,NBDH=NCDA,

DH=AD

；.ABDH絲ACDA,

HB^=AC=AF,NBHD=NCAD,

J.AC//BH,

ΛZAfiW+ZBAC=180°,

'：ZEAF+ZBAC=?S0o,

.".ZEAF=ZABH,

AE=AB

在^ABH和4EAF中,<ZEAF=ZABH,

AF=BH

AABH馬XEAF,

：.EF=AH=2AD↑

（3）ZACB--ZCAF=55o理由如下：

2i

由（2）得，AD=?EF,又點(diǎn)G為EF中點(diǎn),

2

.".EG=AD,

由（2）AABH冬AEAF,

：.ZAEG=ZBAD,

AE=AB

在AEAG和AABO中，<NABG=NBAD,

EG=AD

Λ?EAG^?ABD,

.".ZEAG=ZABC=IOO,

VZEAF+ZBAC=180°,

二ZEAB+2ZBAC+ZCAF=180°,

即：70o+2ZBAC+ZCAF=180°,

.?.ZBAC+-ZCAF=55o,

2

N8AC=55。-—ZCAF,

2

,.?ZABC+ZACB+ZBAC=ISO0,

NBAC=180。-ZABC-/ACB=180。-70。-ZACB-IlOo-ZACB,

：.ZACB--NCAF=55。.

2

8.（2020?湖北黃石期末）如圖1,AABC中，AB=AC,ZBAC=90o,CO平分NACB,BElCD,垂足E在

C。的延長線上.請解答下列問題：

(1)圖中與/QBE相等的角有：；

(2)直接寫出3E和CO的數(shù)量關(guān)系；

(3)若AABC的形狀、大小不變，直角三角形8EC變?yōu)閳D2中直角三角形BED,ZE=90°,且NEQB=；

ZC,OE與AB相交于點(diǎn)尸.試探究線段BE與尸￡＞的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)'：HELCD,

：./E=90。，

：.AE=ABAC,又NEDB=NADC,

：.NDBE=ZACE,

：CD平分乙4CB,

.?./BCO=NACE,

：.ZDBE=ZBCD,

故答案為：NACE和/BC。；

(2)延長8E交CA延長線于尸,

YC。平分∕AC8,

.,.NFCE=NBCE,

ZFCE=ZBCE

在ACM和ACEB中，＜CE=CE,

ZCEF=ZCEB

Λ?CEF^?CEB(AS4),

IFE=BE,

ZACD=ZABF

在AAC3和AAB尸中，＜AC=AB,

NCAD=NBAF=90°

Λ?ΛCD^?AβF(ASA),

：.CD=BF,

：.BE=LCD；

2

(3)BE=—DF

2

過點(diǎn)。作。G〃CA,交8E的延長線于點(diǎn)G,與AE相交于，,

?,DG∕∕AC,

：.ZGDB=ZC,ZBHD=ZA=90o,

'：NEDB=~ZG

2

.?.ZEDB=ZEDG=?ZC,

2

BELED1

jNBEO=90。，

：,/BED=NBHD,

?：NEFB=∕HFD,

：?/EBF=ZHDF,

AB=AC,NBAC=90。,

???NC=NABC=45。，

?：GD//AC,

ΛZGDB=ZC=45o,

ΛZGDB=ZABC=45o,

：.BH=DH,

ZHBG=ZHDF

在△3G〃和△0/7/中，IBH=DH,

NBHG=NDHF=90°

.?∕?BGH^∕?DFH(ASA)

：.BG=DF1

ZBDE=ZGDE

在ABOE和AGOE中，＜DE=DE,

NBED=NGED=90°

:,ABDEqAGDE(ASA)

ZBE=EG,

.11

JBE=-BG=-