2022-2023學(xué)年山東省青島市高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期末

高三數(shù)學(xué)試題

本試題卷共6頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

i-2

1.復(fù)數(shù)1+i的虛部為()

3.33

A.—iB.-C.---

222

2.若(〃+x)3+(q—x)4的展開式中含有/項(xiàng)的系數(shù)為18,則。=()

3332

A2B.-C.二或一2D.——或

222

-2

3.已知集合A={(x,y)|爐+，-2工=0},5={(x,y)|y=4(％+1),若

則O

A.--<A:<—B.-V3<^<V3

33

C.—D.kz6或kW-也

33

4.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，

它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將一個正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐,

共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則該

多面體中具有公共頂點(diǎn)的兩個正三角形所在平面的夾角正切值為()

A.4B.1C.y/2D.272

5.“加=1”是“函數(shù)/(尤)=!7邙為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/(x)=2sin?x+o)(0<e<7r)的部分圖像如下圖所示，將/(x)的圖像向

左平移展個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖像，則函數(shù)y=g(x)+g]?的最小值為()

97

A.-4B.一一C.一一D.0

44

7.為了解甲、乙兩個班級學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，從兩個班學(xué)生的物理成績(均為整數(shù))中

各隨機(jī)抽查20個，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖(用頻率分布直方圖估計總體平均數(shù)時，每個區(qū)

間的值均取該區(qū)間的中點(diǎn)值)，關(guān)于甲、乙兩個班級的物理成績，下列結(jié)論正確的是()

A.甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù)B.乙班成績75百分位數(shù)為79

C.甲班的中位數(shù)為74D.甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計

值

8.已知定義域?yàn)閇0』的“類康托爾函數(shù)滿足：①V0<1,/(^)</(x2)；

②/(x)=2噌｝③仆)+/(1)=1.則圭卜()

1111

A.—B.—C.---D.---

3264128256

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得0分.

9.通過長期調(diào)查知，人類汗液中A指標(biāo)的值X服從正態(tài)分布N(10,2.52).則()

參考數(shù)據(jù)：若則P(XW/Z+CT)=0.6827；

尸(/z-2o-<X</z+2cr)=0.9545.

A.估計100人中汗液A指標(biāo)的值超過10的人數(shù)約為50

B.估計10()人中汗液A指標(biāo)的值超過12.5的人數(shù)約為16

C.估計100人中汗液A指標(biāo)的值不超過15的人數(shù)約為95

D.隨機(jī)抽檢5人中汗液A指標(biāo)的值恰有2人超過10的概率為4

10.已知對任意平面向量4B=(x,y),把A8繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到向量

AP=(xcos0-^sin0,xsin0+>vos0)，叫做把點(diǎn)5繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)

尸.已知平面內(nèi)點(diǎn)4（2,1）,點(diǎn)3（2+7,1—。，,q=2及，AB-O4〉0,點(diǎn)8繞點(diǎn)A沿

7T

逆時針方向旋轉(zhuǎn)；角得到點(diǎn)P,則（）

3

A.網(wǎng)=2及B.AB=（-2,2）

C.8的坐標(biāo)為（4,一1）D.P的坐標(biāo)為（3+6,6）

/T22

11.己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為竽的橢圓C：T+方=1（。＞02＞0）的左，右焦點(diǎn)分

別為K，B，。與曲線、=8院恰有三個交點(diǎn)，則（）

A.橢圓c的長軸長為百

B.。的內(nèi)接正方形面積等于3

C.點(diǎn)W在C上，WF,1WF2,則△口，片居的面積等于1

D.曲線C與曲線y=J%—41nx+21n2-1沒有交點(diǎn)

12.已知數(shù)列｛叫和間滿足％=1，4=0,1=H+1,2b向=》一$1.

貝1J（）

A.a2-2b2=^B.數(shù)歹式4+22｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛%-2d｝是等差數(shù)列D.

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13已知sina+sin夕=1,cosa+cos/=,則cos（c-/7）=.

14.將8塊完全相同的巧克力分配給A,B,C,。四人，每人至少分到1塊且最多分到3塊,

則不同的分配方案共有種（用數(shù)字作答）.

15.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線。：產(chǎn)=2*（。＞0）的焦點(diǎn)為/,過口的直線交C于A,

B兩點(diǎn),A,8中點(diǎn)。在x軸上方且其橫坐標(biāo)為1,|AB|=3,則直線AB的斜率為.

16.已知球。的半徑為2,圓錐W的頂點(diǎn)和底面圓周上的點(diǎn)均在球。上，記球心。到圓錐W

底面的距離為/?,圓錐W的底面半經(jīng)為L則（1）的最大值為；（2）圓錐W體

積的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

17.在_ABC中，sinB-sinC-cosA+2sinA-sinC-cosB=3sinA-sinB-cosC,內(nèi)角A,B,

。的對邊分別記為“，b,c.

(1)求---；—的值：

c

(2)求cosC的最小值.

18.如圖1所示，在」45C中，點(diǎn)E,尸在線段A8上，點(diǎn)。在線段BC上，

AE=EF=FB=\，CE=2,DF=\,CEJ.AB.^hACE,ABOF分別沿CE,OF折起

至點(diǎn)A,B重合為點(diǎn)G,形成如圖2所示的幾何體W,在幾何體W中作答下面的問題.

(1)證明：平面￡FG_L平面CEFD；

(2)求點(diǎn)。到平面CFG的距離.

19.記數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S,，%=1,.給出下列兩個條件：條件①：數(shù)列｛凡｝

和數(shù)列｛S,,+4｝均為等比數(shù)列；條件②：2%+2"-&+…+2/=3,…試在上面的兩個條件

中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩間的解答：

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

2/1

(2)記正項(xiàng)數(shù)列｛2｝的前幾項(xiàng)和為7；，"=。2，b2=%，47；=%也M,求X[(一1)'她+」?

/=1

20.由〃個小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有加行和〃列.每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，

放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為〃，放紅球的概率為％p+q=L

(1)若〃2=2,p=q=g,記y表示100輪放球?qū)嶒?yàn)中“每一列至少一個紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)

計數(shù)據(jù)如表：

ni2345

y7656423026

求y關(guān)于“的回歸方程Iny=加+夕，并預(yù)測〃=10時，y的值；(精確到1)

12

(2)若〃2=2,〃=2,/?=-,q=-,記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨

機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)求事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，并證明：>i.

工王弘一反?95

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：3=氣-------------,a=y-bx,t%/ny=53,h^=3.8.

￡然反2T

1=1

2

21.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線/：y=Ax+〃?(加00)與雙曲線C：f一底=]p>o)的漸

近線交于A,B兩點(diǎn)，與橢圓。:土+>2=1交于E,尸兩點(diǎn).當(dāng)左2=1()時，

2-

2(OA+Q3)=3(OE+Ofj.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動直線/與C相切，證明：AOLB的面積為定值.

22.已知函數(shù)/(x)=xlnx+1最小值和g(x)=ln(l+x)-or的最大值相等.

e

(1)求。；

2

(2)證明：ln%>eT——；

ex

「qm+l.

1，

(3)已知“？正整數(shù)，證明：1+--------->e2m+2.

2m(m+1)

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試

高三數(shù)學(xué)試題

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得0分.

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】BCD

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】1##0.5

14.【答案】19

15.【答案】0

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟.

17.在^中，sinB-sinC-cosA+2sinA-sinC-cosB=3sinA-sinB-cosC,內(nèi)角A，B,

C的對邊分別記為。，b,c.

（1）求I+,2忙的值;

c

（2）求cosC的最小值.

【答案】（1）3；

⑵

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理化簡計算可得/+2〃=3c2,從而代

入礦+；2a,即可求解出答案；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論化簡表示得

C-

cosC=—+—,再利用基本不等式即可求解cosC的最小值.

3b6a

【小問1詳解】

由正弦定理邊角互化可得，

be-cosA+2ac-cosB=3ab-cosC，

Iz十士m殂,b2+c2-a2-a2+c2-h2?.a2+b2-c2

由余弦定1理得，be----------------+2ac-----------------=3ab----------------

2bclaclab

化簡得/=3（）+“一巧,

22

從而得3c2-。2-2〃=0,gpa2+2b2=3c2,

【小問2詳解】

由余弦定理得，

因?yàn)樵冢珹BC中。，人均大于0,

,,COSA±>EZ2/1.

C=3h+6a273b6a=3

ah

當(dāng)且僅當(dāng)丁二丁，即〃=2/時取等號，

3b6a

所以cosC的最小值為也.

3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊

的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定

理.應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時，注意角的限制范圍.

18.如圖1所示，在_ABC中，點(diǎn)￡,尸在線段A8上，點(diǎn)O在線段BC上，

AE=EF=FB=\，CE=2,DF=\,CE1AB：^^ACE,ABOF分另ij沿CE,OF折起

至點(diǎn)A,B重合為點(diǎn)G,形成如圖2所示的幾何體W,在幾何體W中作答下面的問題.

(1)證明：平面￡FG_L平面CEFD；

(2)求點(diǎn)。到平面CFG的距離.

【答案】(1)證明過程見詳解

⑵—

19

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可證。尸1平面EFG,利用面面垂直的判定即可證明；

(2)點(diǎn)D到平面CGF的距離為人，利用體積相等VD_CGF=VGYDF，計算即可求解.

【小問1詳解】

由題意知：DFAEF，DF1FG,

因?yàn)镋FcFG=F,且E￡FGu平面ERG,所以。尸1平面瓦G,

又因?yàn)閡平面CEFD,所以平面EFG1平面CEFD.

【小問2詳解】

由題意可知：￡FG是邊長為1的正三角形，取EE的中點(diǎn)P，連接GP,則有GP_L￡b,

且GP力,

2

由（1）知平面EFG_L平面CE7X）,且平面EFGc平面CEED=EE

,所以GP_L平面CEFD,

由（1）知：DF上平面EFG,因?yàn)镃EiiDF,所以CE_L平面EPG,

又因?yàn)镋F=EG=1，CE=2,所以CF=CG=JL

在406/中，過點(diǎn)。作CQLGR,則。為GF的中點(diǎn)，

所以C°=A/CG2_GQ2=平，所以S?。-=gGP-CQ=gxlx^=平，

又因?yàn)镾°F=；￡）F-EF=gxlxl=g,設(shè)點(diǎn)。到平面CGE的距離為人，

則%-CGF=%-CDF，也即?S,GCF/=GSC*GP,所以L晅xk'L走，

3334322

所以。=叵，即點(diǎn)。到平面CGE的距離為亙.

1919

19.記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，/=1,.給出下列兩個條件：條件①：數(shù)列｛q｝

和數(shù)列｛S,+4｝均為等比數(shù)列；條件②：2飛+2”-&+…+2/=〃4.一試在上面的兩個條件

中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩間的解答：

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

2〃

（2）記正項(xiàng)數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為1,，乙=4,b2=%，47；,=2?%，求￡[（-1）'她+J

/=]

【答案】(1)%=2"T

(2)4/+12〃

【解析】

【分析】(1)選擇條件①：先由｛S,,+q｝為等比數(shù)列結(jié)合等比中項(xiàng)列出式子，再設(shè)出等比

數(shù)列｛4｝的公比，通過等比數(shù)列公式化簡求值即可得出答案；

選擇條件②：先由2".+2"'4+…+2a.=，町向得出

2"a,+2"-'^+???+22=2(n-1)(n>2),兩式做減即可得出凡刊=2%22),

再驗(yàn)證〃=1時即可利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出答案；

(2)通過4北=也,心田得出47；1=〃_/么(〃22),兩式相減結(jié)合已知即可得出

b^-b,^=4(n>2),即數(shù)列也｝的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別都成公差為2的等差數(shù)列，將

E[(T)刈4+J轉(zhuǎn)化即可得出答案.

/=1

【小問1詳解】

選條件①：

數(shù)列｛S“+q｝為等比數(shù)列，

.'.(S2+6(,)-=(S,+t7))(S3+<2,)>

即(2?,+?2)'=2。](2〃]+4+%)，

?；%=1,且設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為q,

；.(2+q)~=2(2+q+q~),

解得q=2或q=0(舍)，

an=a”"-'=2"-'，

選條件②：

2"4+2"?a,+???+2a“=ncin+t(J),

2"T4+2>24+…+4_]=(〃_1)%(〃22),

即2Z+2n■&+…+22%_|=2（"_1）（（〃之2）②,

由①②兩式相減得：2%^nall+l-2（H-l）a?（/i>2）,

即a“+］=2a"（〃N2）,

令2""+2"-'a2+…+2??=na?+,中〃=1得出。2=2%也符合上式，

故數(shù)列｛4｝為首項(xiàng)q=1,公比夕=2等比數(shù)列，

則a“=a聞"T=2-',

【小問2詳解】

由第一問可知，不論條件為①還是②，都有數(shù)列｛%｝為首項(xiàng)4=1,公比4=2的等比數(shù)歹ij,

即an=2"-',

則/?|—a?=2,Z?2=—4,

乜=小%.③，

?也―（心2）.④，

由③④兩式相減得：4（③-射）=外鼠-％由（〃之2）,

即做之2）,

數(shù)列也｝為正項(xiàng)數(shù)列，

則%-%=4（〃22）,

則數(shù)列｛a｝的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別都成公差為2的等差數(shù)列，

2/12〃

Z［（T）4九」=42［（-1）'（］=4（一（+（一不+4+—匕t+J），

；=Ii=\

即W［（T）'〃4+J=4（4+a+%++%,）,

;=1

數(shù)列也｝前2〃項(xiàng)中的全部偶數(shù)項(xiàng)之和為：4〃+"x2="+3〃，

/=1

20.由““個小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有加行和〃列.每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，

放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為。，放紅球的概率為q,p+q=l.

(1)若加=2,p=q卷記y表示100輪放球?qū)嶒?yàn)中“每一列至少一個紅球''的輪數(shù)，統(tǒng)

計數(shù)據(jù)如表：

n12345

y7656423026

求y關(guān)于〃的回歸方程Iny=歷+々，并預(yù)測〃=10時，y的值；(精確到1)

12

(2)若機(jī)=2,〃=2,p=-,q=~,記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨

機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)求事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，并證明：(1——

k

Zx/一反?95

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：$----------,a=y-bx,Z%/ny=53,而不=3.8.

方玉2-反2T

/=1

【答案】(1)Iny=-0.4"+5；3.

32

(2)分布列見解析；—.

25

(3)1—(1—p?；證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)公式，即可求得回歸方程，繼而求得預(yù)

測值；

(2)確定X的取值可能為0,1,2,根據(jù)條件概率的概率公式求得每一個值對應(yīng)的概率，即

可得分布列，繼而求得期望；

(3)求得每一列都至少一個紅球的概率，根據(jù)對立事件的概率公式可得事件“不是每一列都

至少一個紅球,，發(fā)生的概率，再求得“每一行都至少一個白球”的概率，結(jié)合兩事件的關(guān)系

可得其概率大小關(guān)系，即可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

1+2+3+4+5

由題意知〃==3,

5

卒5x7由53.5x3x3.84_

故Z?=—................=------------=——=-0.4,

s24-255-4510

-5xn

i=[

所以a=3.8+0.4*3=5，

所以線性回歸方程為：1限=-0.4〃+5,

所以，估計〃=10時，lny=l,，y=eH3.

【小問2詳解】

12

由題意知：m—2,n=2,p=—>q=—，

33

則X的取值可能為0,1,2,

記“含紅球的行數(shù)為4”為事件供=0,1,2),記“每列都有白球”為事件8,

所以"=。)=尸卬5)=第二呂1

25，

P(X=1)=P(AIB)=^^C；p，+C；p2,16

251

P(AB)C'(pq)28

P(X=2)=P(aiB)=22

P(B)1一屋I225'

所以X的分布列為:

X012

1168

p

252525

所以數(shù)學(xué)期望為E（X）=Ox'-+"+2x&32

252525

【小問3詳解】

證明：因?yàn)槊恳涣兄辽僖粋€紅球的概率為（i—p"'y,

記“不是每一列都至少一個紅球”為事件A,所以尸（4）=1-（1-。?,

記”每一行都至少一個白球”為事件8,所以P（B）=（1-

顯然，A^B,所以P（4）WP（B）,

即1—（1—pm）"＜（1-q"）'",所以（1—（1—/N1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答要首先能正確的理解題意，弄清楚題目的要求是什么，比如第二

文中的條件概率的計算，要弄清每種情況的含義，第三問難點(diǎn)在于正確計算出“不是每一列

都至少一個紅球,，以及“每一行都至少一個白球”的概率，并能進(jìn)行判斷二者之間的關(guān)系，

從而比較概率大小，證明結(jié)論.

2

21.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線

近線交于A,B兩點(diǎn)，與橢圓。:三+y2=1交于E,尸兩點(diǎn).當(dāng)=1（）時,

2-

2（OA+OB）^3（OE+OF）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若動直線/與C相切，證明：二。43的面積為定值.

2

【答案】（1）x2-^-=\

3

（2）二。鉆的面積為定值石，證明見解析

【解析】

【分析】⑴設(shè)A（%］，x）,3（%2，%），石（七，為），尸（知必），由題意有

3

x,+x2=-（x3+x4）,直線/與雙曲線的漸近線聯(lián)立方程組，求得罰+々，直線/與橢圓聯(lián)

立方程組，利用韋達(dá)定理求得七+%，根據(jù)方程解出匕，得雙曲線C的方程.

（2）根據(jù)（1）中解得的A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的面積，由直線/與C相切，聯(lián)立

方程組消元后判別式為0,化簡后得定值.

【小問1詳解】

設(shè)A（M，y）,B[x2,y2）,石（七,為），尸（如乃）

3

因?yàn)?(OA+OB)=3(OE+OF),所以玉+x2=-(x3+x4).

y=kx+mm加mZkm

y^bx，得X=口同理可得％2=一｝；—T'所以玉+%2=萬一R，

I）\K.UK

y-kx+m

4km

222

由，x21得。+2公)x+4kmx+2m-2=0,所以X,+*4=—

—+y=11+2公

12,

乙3/1IJK/7ZrrCCn,AE/rF-

所以，2,2=一，c,2即3公一3從=1+2/,由％2=10,解得。=也,

b2-k21+2公

所以雙曲線C的方程為f—工=].

3

【小問2詳解】

雙曲線的漸近線方程為y=土島,

'-m-V3m2TI

由（1）得A

ZAOB=—f

、k-￡k-53

2m4m2

\OB\-

k—>/3(2+6)2

So"=(|。川,|。加sin/A08=gx=

y=kx+m

由*得(3-%2"-2切a"-3=0,

2

3

因?yàn)橹本€/與雙曲線C相切，所以A=422m2+4（3—公）（機(jī)2+3）=0,即〃22=42一3,

所以SAOAB6為定值.

22

【點(diǎn)睛】三一W=l(a>0/>0)的漸近線方程為'=土，x,而雙曲線

與一齊=1(。>0,。>0)的漸近線方程為丁=±￡尤(即*=±?丫)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.

2.解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，

然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.強(qiáng)化有關(guān)直線與橢

圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的

面積等問題.

22.已知函數(shù)/(x)=x\nx+-的最小值和g(x)=ln(l+x)-ar的最大值相等.

e

(1)求。；

2

(2)證明：——；

ex

--im+l.

1—

(3)己知團(tuán)是正整數(shù)，證明：1+—7----->e2M+2.

2/n(m+1)

【答案】(1)a=l

(2)證明過程見解析(3)證明過程見解析

【解析】

【分析】Q)先求定義域，再求導(dǎo)，得到j(luò)=o,由8'("=占一。，分

與a>0兩種情況，得到aWO時無最大值，當(dāng)a〉0時，得到g(x)Wa-ln。-1,構(gòu)造

=a-In〃-1(a>0),求導(dǎo)得到其單調(diào)性，〃(a)?〃(l)=0,從而確定a=1；

211

(2)要證明lnx>er——，只需證xlnx+—>矍一”一一，由(1)知：/W>o,當(dāng)且僅當(dāng)

exee

X=J時，等號成立，故只需證疣-*-，40,且等號成立的條件與X=L不同，

eee

設(shè)p(x)=xe-*—L求導(dǎo)得到單調(diào)性，求出Mx)Wp(l)=eT-'=O,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時

ee

等號成立，證畢；

，二111

(3)要證明不等式，只需證In1+--―->———了，構(gòu)造

2m(m+l)2(m+1)一

n1A

8(x)--ln(l+x)---,X=-------------------G0，一，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到所以

m

(p——7----r=In1+——7----r---------7

+(2m(m+l)J2(加+1)-

【小問1詳解】

由題意得：/(X)的定義域?yàn)?0,+8)，8(尤)的定義域?yàn)?-1,+8),

因?yàn)?,(x)=lnx+l,

所以當(dāng)時，/'(x)<0,/(x)在j上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(：,+oo)時，r(x)<0,/(x)在xeg,+oc)上單調(diào)遞增，

所以j=0,

又因?yàn)間