3.4.3-圓內接四邊形

第三章

圓3.4圓周角和圓心角的關系第3課時圓內接四邊形1課堂講解圓內接四邊形及其對角的性質圓內接四邊形外角的性質2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升

前邊我學習了圓的內接三角形，圓的內接三角形有哪些性質呢？今天我們探究的圓的內接四邊形的性質，我們根據(jù)圓內接三角形的定義，想一想如何給圓內接四邊形下定義呢？1知識點圓內接四邊形及其對角的性質知1－講圓內接多邊形：在圓內相異n個點，按順（或逆）時針的方向連接相鄰的各點，可形成一個n邊形，此n邊形叫作此圓的圓內接多邊形，此圓為多邊形的外接圓.圓心為此n邊形的外心.外心到圓內接多邊形各頂點的距離皆等長(即外接圓的半徑)知1－導

下面，我們探究四邊形與圓的關系.

四個頂點都在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.

如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.知1－講（來自《點撥》）四個頂點都在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓．定義如果圓內接四邊形ABCD的對角線交點恰好是該圓的圓心，則四邊形ABCD一定是()A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形知1－講例1分析：由圓內接四邊形ABCD的對角線交點恰好是該圓

的圓心，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得

四邊形ABCD的四個內角都是直角，即可判定四

邊形ABCD一定是矩形.解：∵圓內接四邊形ABCD的對角線交點恰好是該圓的

圓心，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∴四邊形ABCD一定是矩形.故選B.B下列說法正確的是(

)A．在圓內部的多邊形叫做圓內接多邊形B．過四邊形的四個頂點的圓叫做這個四邊形

的外接圓C．任意一個四邊形都有外接圓D．一個圓只有唯一一個內接四邊形知1－練（來自《典中點》）1B下列多邊形中一定有外接圓的是(

)A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形知1－練（來自《典中點》）2A下列命題中，不正確的是(

)A．矩形有一個外接圓B．弦的垂直平分線一定平分弦所對的弧C．菱形有一個外接圓D．任何一個三角形都有一個外接圓知1－練（來自《典中點》）3C知1－導(1)如圖1，A，B，C，D是⊙O上的四點，AC為⊙O的直徑，∠BAD與∠BCD

之間有什么關系？為什么？(2)如圖2，點C的位置發(fā)生了變化，

∠BAD與∠BCD之間的關系還成立

嗎？為什么？圖1圖2歸納知1－導（來自教材）推論

圓內接四邊形的對角互補.知1－導下面我們對它進行證明.已知：如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形.求證：∠BCD+∠BAD=180°，

∠ABC+∠ADC=180°.知1－導證明：如圖，連接OB，OD.∵與

所對的圓心角之和為360°，∠BCD和∠BAD分別為

和

所對的

圓周角，

∴∠BCD+∠BAD=180°.

同理可證，∠ABC+∠ADC=180°.知1－講如圖，兩圓相交于A，B兩點，小圓經(jīng)過大圓的圓心O，點C，D分別在兩圓上，若∠ADB＝100°，則∠ACB的度數(shù)為(

)A．35°

B．40°C．50°D．80°例2要求∠ACB的度數(shù)，即需要求出∠AOB的度數(shù)(一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，這樣就產(chǎn)生輔助線AO，BO，如圖，連接AO，BO.在小圓中，∠AOB是圓內接四邊形AOBD中∠ADB的對角，因此∠AOB＝180°－∠ADB＝180°－100°＝80°，所以∠ACB＝∠AOB＝40°.導引：B在圓內接四邊形ABCD中，對角∠A與∠C的度數(shù)之比是4：5，求∠C的度數(shù).知1－練（來自《教材》）1設∠A＝4x°，則∠C＝5x°.∵∠A＋∠C＝180°，∴4x°＋5x°＝180°.∴x＝20.∴∠C＝5×20°＝100°解：(中考·杭州)在圓內接四邊形ABCD中，若∠A＝70°，則∠C等于(

)A．20°B．30°C．70°D．110°下列命題：①圓內接平行四邊形是矩形；②圓內接矩形是正方形；③圓內接菱形是正方形；④任意四邊形一定有外接圓．其中真命題有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個知1－練（來自《典中點》）23DB知1－練（來自《典中點》）(中考·蘭州)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為(

)A．45°B．50°C．60°D．75°4C知1－練（來自《典中點》）如圖，兩圓相交于A，B兩點，小圓經(jīng)過大圓圓心O，點C，D分別在兩圓上，若∠ADB＝100°，則∠ACB的度數(shù)為(

)A．35°B．40°C．50°D．80°5B知1－練（來自《典中點》）【中考·龍東】如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦,點P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是(

)A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°6C知2－導2知識點圓內接四邊形外角的性質想一想

如圖，∠DCE是圓內接四邊形ABCD的一個外角，

∠A與∠DCE的大小有什么關系？（來自教材）（來自《點撥》）知2－講推論：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角．已知：如圖，兩個等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，經(jīng)過點A的直線與兩圓分別交于點C，點D，經(jīng)過點B的直線與兩圓分別交于點E，點F.若CD∥EF，求證：(1)四邊形CEFD是平行四邊形；(2).（來自《點撥》）知2－講例3（來自《點撥》）知2－講(1)已知CD∥EF，需證CE∥DF；連接AB，由圓內接四邊形的性質，知：∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝180°，可得∠E＋∠F＝180°，進而可得CE∥DF，由此得證．(2)由四邊形CEFD是平行四邊形，得CE＝DF.由于⊙O1和⊙O2是兩個等圓，因此.導引：（來自《點撥》）知2－講解：(1)連接AB，如圖.∵四邊形ABEC是⊙O1的內接四邊形，∴∠BAD＝∠E.

又∵四邊形ADFB是⊙O2的內接四邊形，∴∠BAD＋∠F＝180°.∴∠E＋∠F＝180°.∴CE∥DF.

又∵CD∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形．(2)由(1)得：四邊形CEFD是平行四邊形，∴CE＝DF.

又∵⊙O1和⊙O2是兩個等圓，∴.總

結知2－講（來自《點撥》）

連接兩圓共同的弦(如本題中連接AB)是解答這類問題的重要輔助線，它將兩圓的有關角聯(lián)系在一起，起到一種橋梁作用．知2－練（來自《典中點》）如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，E是BC延長線上一點，若∠BAD＝105°，則∠DCE＝________．1105°知2－練（來自《典中點》）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，E為AB延長線上一點，∠CBE＝40°，則∠AOC等于(

)A．20°B．40°C．80°D．100°2C知2－練（來自《典中點》）【中考·濰坊】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，延長AB與DC相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為(

)A．50°B．60°C．80°D．85°3C圓內接四邊形的角的“兩種關系”：(1)對角互補，若四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，

則∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)任一外角與其相鄰的內角的對角相等，簡稱圓內

接四邊形的外角等于其內對角．1知識小結已知△ABC內接于⊙O，OD⊥AC于點D，如果