線段的垂直平分線和角平分線的復(fù)習(xí)

線段的垂直平分線和角平分線的復(fù)習(xí)REPORTING目錄垂直平分線與角平分線基本概念垂直平分線相關(guān)定理與推論角平分線相關(guān)定理與推論垂直平分線與角平分線在幾何圖形中應(yīng)用解題技巧與策略總結(jié)練習(xí)題與答案解析PART01垂直平分線與角平分線基本概念REPORTINGWENKUDESIGN垂直平分線是一條直線，它通過(guò)線段的中點(diǎn)并且與線段垂直。定義垂直平分線上的任意一點(diǎn)到線段兩端的距離相等。性質(zhì)垂直平分線定義及性質(zhì)角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角。這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角平分線定義及性質(zhì)性質(zhì)定義垂直平分線和角平分線都是幾何學(xué)中的基本概念，它們都與距離和角度有關(guān)。關(guān)系垂直平分線是針對(duì)線段而言，它將線段平分為兩部分，并且與線段垂直；而角平分線是針對(duì)角而言，它將一個(gè)角平分為兩個(gè)相等的角。此外，它們的性質(zhì)也有所不同，垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，而角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。區(qū)別兩者關(guān)系與區(qū)別PART02垂直平分線相關(guān)定理與推論REPORTINGWENKUDESIGN定理內(nèi)容到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。推論與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的兩條線互相垂直平分。垂直平分線判定定理垂直平分線垂直并且平分其所在線段。性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。030201垂直平分線性質(zhì)定理輸入標(biāo)題02010403典型例題解析1.題目：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。操作：連接AD，∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC（等腰三角形的三線合一），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）。操作：連結(jié)AP，由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=∠C=30°，即可得∠BAP=∠CAP=90°，又∵∠BPE+∠EPC=∠CPF+∠EPC，∴∠BPE=∠CPF，∴△BPE∽△CFP。當(dāng)三角板的兩邊分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F時(shí)，求證：△BPE∽△CFP。PART03角平分線相關(guān)定理與推論REPORTINGWENKUDESIGN0102角平分線判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，稱作三角形內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。角平分線可以得到兩個(gè)相等的角。角平分線性質(zhì)定理1.題目已知，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F．求證：BE=CF．解析連接BD、CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD=CD，再利用HL定理證明出Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出結(jié)論。2.題目在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，且DE=DF．求證：△ABC是等腰三角形．解析根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”可得點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”以及平角的性質(zhì)證明∠B=∠C即可。01020304典型例題解析PART04垂直平分線與角平分線在幾何圖形中應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN垂直平分線可應(yīng)用于求解三角形中的線段長(zhǎng)度，如利用垂直平分線的性質(zhì)求解三角形的高、中線等。角平分線在三角形中可用于求解角度和線段長(zhǎng)度，如利用角平分線定理求解三角形中的角度和邊長(zhǎng)。垂直平分線和角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)心）可用于求解三角形的內(nèi)切圓半徑以及與內(nèi)切圓相關(guān)的性質(zhì)。在三角形中應(yīng)用在平行四邊形中，垂直平分線可用于證明對(duì)角線互相平分，進(jìn)而證明平行四邊形的性質(zhì)。角平分線在四邊形中可用于求解角度和線段長(zhǎng)度，如利用角平分線性質(zhì)求解四邊形中的角度和邊長(zhǎng)。垂直平分線和角平分線的交點(diǎn)（旁心）可用于求解四邊形的外接圓以及與外接圓相關(guān)的性質(zhì)。在四邊形中應(yīng)用在多邊形中，垂直平分線可用于求解多邊形的中心（質(zhì)心）以及與中心相關(guān)的性質(zhì)，如多邊形的對(duì)稱性等。角平分線在多邊形中可用于求解角度和線段長(zhǎng)度，如利用角平分線性質(zhì)求解多邊形中的角度和邊長(zhǎng)。垂直平分線和角平分線的交點(diǎn)在多邊形中可用于求解多邊形的內(nèi)切圓和外接圓以及與這些圓相關(guān)的性質(zhì)。在多邊形中應(yīng)用PART05解題技巧與策略總結(jié)REPORTINGWENKUDESIGN

觀察圖形特征，選擇合適方法觀察線段的位置關(guān)系判斷線段是否平行、相交或重合，從而選擇合適的解題方法。分析線段的長(zhǎng)度關(guān)系比較線段的長(zhǎng)短，確定垂直平分線或角平分線的位置。識(shí)別特殊圖形如等腰三角形、直角三角形等，利用特殊圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化問(wèn)題。若已知某些角度，可以直接利用角度關(guān)系求解，避免復(fù)雜的計(jì)算。利用已知角度若已知某些線段的長(zhǎng)度，可以直接利用長(zhǎng)度關(guān)系求解，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。利用已知長(zhǎng)度在坐標(biāo)系中，若已知某些點(diǎn)的坐標(biāo)，可以直接利用坐標(biāo)運(yùn)算求解。利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)利用已知條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程03多做練習(xí)，提高熟練度通過(guò)大量的練習(xí)，熟練掌握垂直平分線和角平分線的性質(zhì)和解題方法，提高解題效率。01總結(jié)常見(jiàn)圖形中的規(guī)律如等腰三角形三線合一、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等，掌握這些規(guī)律可以快速解題。02總結(jié)解題方法根據(jù)不同的圖形特征和已知條件，總結(jié)不同的解題方法，形成解題思路。總結(jié)規(guī)律，提高解題效率PART06練習(xí)題與答案解析REPORTINGWENKUDESIGN題目已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3)和B(6,7)，求線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)。解析根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，M的橫坐標(biāo)為(2+6)/2=4，縱坐標(biāo)為(3+7)/2=5，所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,5)。練習(xí)題一：求線段中點(diǎn)坐標(biāo)在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求∠C的度數(shù)，并判斷△ABC的形狀。題目根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可求得∠C=180°-45°-60°=75°，由于∠A、∠B、∠C均不等于90°，且∠A≠∠B≠∠C，所以△ABC為銳角三角形。解析練習(xí)題二：判斷三角形形狀練習(xí)題三：證明四邊形性質(zhì)題目四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：EF垂直平分AC。解析連接AE、CE，由于AB=CD，AD=BC，BD=BD，所以△ABD≌△CDB，從而∠ABD=∠CDB，又因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以AE=CE，