新教材高中數(shù)學人教A版學案8-6-3第1課時平面與平面垂直的判定

8．6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定[目標]1.理解二面角及其平面角的定義并會求一些簡單二面角的大小；2.理解兩平面垂直的定義；3.掌握兩個平面垂直的判定定理并能應用判定定理證明面面垂直問題．[重點]兩個平面垂直的判定定理及應用．[難點]二面角及其平面角的定義的理解；求二面角．要點整合夯基礎知識點一二面角及其平面角[填一填]1．二面角2．二面角的平面角(1)滿足條件：如圖，射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角，則平面角∠AOB應滿足的條件為：①O∈l；②OA⊥l；③OB⊥l.(2)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(3)取值范圍：二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.[答一答]1．二面角是一個角嗎？其平面角是否只有一個？提示：不是，二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面構成的空間圖形．不是，其平面角有無數(shù)個．知識點二平面與平面垂直[填一填]1．定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β.2．畫法：兩個互相垂直的平面，通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直．如下圖(1)(2)所示．3．判定定理文字語言：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．符號語言：l⊥α，l?β?α⊥β.圖形語言：如圖所示．[答一答]2．面面垂直的判定定理的條件有幾個，減少一個條件定理是否還成立？提示：判定定理有兩個條件，若去掉一個條件，則定理不一定成立．3．當開啟房門時，為什么房門轉到任何位置時，門所在平面都與地面垂直？提示：因為房門無論轉到什么位置，都始終經(jīng)過與地面垂直的門軸，根據(jù)兩個平面垂直的判定定理知，門所在平面都與地面垂直．4．過一點有多少個平面與已知平面垂直？為什么？提示：過一點有無數(shù)個平面與已知平面垂直，雖然過一點有且只有一條直線和已知平面垂直，但是經(jīng)過這條垂線的所有平面都和已知平面垂直．典例講練破題型類型一二面角的概念及求法[例1]如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C平面角的度數(shù)；(2)求二面角B-PA-D平面角的度數(shù)；(3)求二面角B-PA-C平面角的度數(shù)．[分析](1)證明平面PAD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再證明該角滿足平面角的定義，最后在三角形中求角的大?。甗解](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C平面角的度數(shù)為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D平面角的度數(shù)為90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C平面角的度數(shù)為45°.清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點.求二面角的大小的方法為：一作，即先作出二面角的平面角；二證，即說明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關鍵是“作”.[變式訓練1]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B解：如圖，取A1C1的中點O連接B1O、BO.由題意知B1O⊥A1C1又BA1＝BC1，O為A1C1所以BO⊥A1C1所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB設正方體的棱長為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B-A1C1-B1的正切值為eq\r(2).類型二平面與平面垂直的判定[例2]如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求證：平面PDC⊥平面PAD.[證明]∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.判定兩平面垂直的常用方法：1定義法：即說明兩個平面所成的二面角是直二面角；2判定定理法：其關鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；3性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面.[變式訓練2]如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E為AB的中點．求證：平面DD1E⊥平面CD1E證明：在矩形ABCD中，E為AB的中點，AD＝2，AB＝4，所以DE＝CE＝2eq\r(2)，因為CD＝4，所以CE⊥DE，因為D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CE，因為D1D∩DE＝D，所以CE⊥平面D1DE，又CE?平面CED1，所以平面DD1E⊥平面CD1E.

類型三線面垂直、面面垂直的綜合應用[例3]如圖所示，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D為AB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D-AP-C的正弦值；(3)若M為PB的中點，求三棱錐M-BCD的體積．[分析]本題的題設條件有三個：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中點，PD＝DB＝10.解答本題(1)，只需證線面垂直，進而由線面垂直證明面面垂直，對于(2)首先應找出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小題的關鍵是用等體積法求解．[解](1)證明：∵D是AB的中點，△PDB是正三角形，AB＝20，∴PD＝eq\f(1,2)AB＝10，∴△PAB為直角三角形且∠APB＝90°，∴AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC?平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角．由(1)知BC⊥平面PAC，則BC⊥PC，∴sin∠BPC＝eq\f(BC,PB)＝eq\f(2,5).(3)∵D為AB的中點，M為PB的中點，∴DM∥PA，故DM＝5eq\r(3)，由(1)知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC.∵S△BCM＝eq\f(1,2)S△PBC＝2eq\r(21)，∴VM-BCD＝VD-BCM＝eq\f(1,3)×5eq\r(3)×2eq\r(21)＝10eq\r(7).本題是涉及線面垂直、面面垂直、二面角的求法等諸多知識點的一道綜合題，解決這類問題的關鍵是轉化：線線垂直?線面垂直?面面垂直.[變式訓練3]如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB，PB的中點．(1)求證：DE∥平面PAC；(2)求證：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角P-AB-C的大?。猓?1)證明：因為D，E分別是AB，PB的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面PAC，DE?平面PAC，所以DE∥平面PAC.(2)證明：因為PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PC⊥AB.又因為AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，又因為PB?平面PBC，所以AB⊥PB.(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即為二面角P-AB-C的平面角，因為PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二面角P-AB-C的大小為45°.課堂達標練經(jīng)典1．自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件(D)A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β2．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則二面角A-B1D1-BA.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(6),4)D.eq\f(\r(7),4)解析：如圖所示，連接AC交BD于點O，取B1D1的中點E，連接AE，OE，則AE⊥B1D1，OE⊥B1D1，所以∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角．又正方體的棱長為1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(6),2).又OE＝BB1＝1，所以cos∠AEO＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(6),3)，即二面角A-B1D1-B的余弦值為eq\f(\r(6),3)，故選A.3．在空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.4.在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右圖所示，則在三棱錐P-ABC的四個面中，互相垂直的面有3對．解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC.∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可證：平面PAB⊥平面PAC.5．如圖，在四面體A-BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求證：平面ABD⊥平面BCD.證明：如圖，取BD的中點E，連接AE，CE.由AB＝AD＝CB＝CD，知AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC為二面角A-BD-C的平面角．在△ABE中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE2＝AB2－BE2＝eq\f(1,2)a2，同理CE2＝eq\f(1,2)a2，所以AE2＋CE2＝a2＝AC2，所以∠AEC＝90°.所以平面ABD⊥平面BCD.——本課須掌握的三大問題1．證明兩個平面垂直的主要途徑：(1)利用面面垂直的定義；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．2．證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)的，因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的．3．求二面角的大小關鍵是要找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計算．學科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂不能正確找出二面角的平面角而致錯開講啦求二面角的大小的關鍵是作出二面角的平面角，這就需要緊扣它的三個條件，即這個角的頂點是否在棱上；角的兩邊是否分別在兩個平面內(nèi)；這兩邊是否都與棱垂直．在具體作圖時，還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：線面的垂直，圖形的對稱性，與棱垂直的面等．[典例]在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(3)，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，求二面角P-CD-B的大?。甗分析]抓信息，找思路．[錯解]如圖所示，過A在底面ABCD內(nèi)作AE⊥CD于E，連接PE，AC.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE.又∵PE?平面PAE，∴CD⊥PE，∴∠PEA為二面角P-CD-B的平面角．(以下略)[錯因分析]點E的位置應首先由已知的數(shù)量關系確定，而不是盲目地按垂線法直接作出．在找二面角的平面角時，一般按照先找后作的原則，避免盲目地按垂線法作二面角的平面角．[正解]過點A作AF⊥BC于點F，可求BF＝eq\f(1,2)，AF＝eq\f(\r(3),2)，CF＝eq\f(3,2)，則AC＝eq\r(AF2＋CF2)＝eq