2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編五：立體幾何選擇題理

專題05立體幾何（選擇題）（理）

近三年高考真題

知識點(diǎn)1：三視圖

1.（2023?乙卷（理））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表

B

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體是由兩個(gè)直四棱柱組成的兒何體.

故選：D.

2.（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：c加）是（）

1

*1*2-X1*，1K-2->i1山

正視圖側(cè)視圖

◎

俯視圖

「22n16

A.22萬B.8萬C.—71D.—71

33

【答案】C

【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺，

所以幾何體的體積為：-X—xl3+^xl2x2+-(22x^-4-12X7T+V22x^xl2x^-)x2=—

23

故選：C.

3.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示,該四面體的表面積為()

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

7

俯視圖

A.-+—B.3+6C.-+V3D.3+—

2222

【答案】A

【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，

%_L底面ABC,ABLAC.PA=AB=AC=\,

則AP8C是邊長為0的等邊三角形，

則該四面體的表面積為S=3xLxlxl+」x應(yīng)=衛(wèi).

2222

故選：A.

4.（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：。"），則該幾何體的體積（單位：切力是（）

3夜

D.3近

【答案】A

【解析】由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為直四棱柱，底面四邊形/WCD為等腰梯形,

其中A8//8,由三視圖可知，延長4）與3c相交于一點(diǎn)，且">_LBC,

且AB=20,CD=42,M=l-等腰梯形的高為\AZ)2-(絲色夜、2V2

則該幾何體的體積卜=與（五+2正）

2

故選：A.

知識點(diǎn)2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積

5.（2023?乙卷（理））已知圓錐PO的底面半徑為百，O為底面圓心，PA,為圓錐的母線，ZAOB=120°,

若的面積等于為8,則該圓錐的體積為（）

4

A.7iB.迷兀C.31D.3指兀

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為人，即PO=",取A3的中點(diǎn)E,連接PE、OE,

由于圓錐PO的底面半徑為G，即04=03=6，

而ZAOH=120。，故,AB=-JOA2+OB2-2OA-OB-cos120°=J3+3+3=3,

同時(shí)。E=OAxsin30°=正，

2

中，PA=PB,E為AB的中點(diǎn)，則有依1.回，

又由的面積等于型，即=迪，變形可得尸E=逑，

4242

而PE=J^+*,則有/+?=幺，解可得/?=#,

V444

故該圓錐的體積丫=’乃x（G）%=幾%.

3

故選：B.

6.（2022?新高考1）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知

該水庫水位為海拔148.5,〃時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0初?2；水位為海拔157.5〃?時(shí)，相應(yīng)水面的面積為

180.0A/.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔1485〃上升到157.56時(shí)，

增加的水量約為（占=2.65）（）

A.1.0xl09/n3B.1.2xl09^3C.1.4x10"4D.1.6xl09^3

【答案】C

【解析】140m2=140x1()6加2,180^2=180x1()6^2,

140xlO6+180xl06+V140X106X180X106

根據(jù)題意，增加的水量約為x(157.5-148.5)

3

(140+180+60^7)X10-X9

3

?(320+60X2.65)X106X3=1437X106?1.4X109W3.故選：C.

7.（2022?北京）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是AABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合

T={Q&S\PQ?5],則T表示的區(qū)域的面積為（）

A.2—B.TVC.27tD.

4

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)P在面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)O，連接Q4,則。4=2x38=26，

3

所以。尸=VPA2-（2A2=736-12=2瓜,

由JPQ2-O產(chǎn)=:25-24=1,知T表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，

所以其面積S=開.

故選：B.

8.（2023?天津）在三棱鏈P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=-PC,線段P3上的點(diǎn)N滿足PN=-PB,

33

則三棱錐P-AMN和三棱錐2-A8C的體積之比為（）

1214

A民

9-9-3-D.9-

【答案】B

【解析】在三棱錐P-A8C中，線段PC上的點(diǎn)〃滿足PM=1PC,線段上的點(diǎn)N滿足PN=2P8,

33

所以5Ami=-S1sp隹，

o

設(shè)N到平面以C的距離4，8到平面A4c的距離4，則4=§4，

11122

則二棱錐P-AMN的體積為&展銖-M”=咚梭錐N-A/W=34隊(duì)”下XgSvAc=§匕梭錐

7

故三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為一.

9

故選：B.

9.（2023?甲卷（理））在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，43=4,PC=PD=3,ZPC4=45°,

則AP8C的面積為（）

A.2&B.3拒C.4夜D.50

【答案】C

【解析】解法一：四棱錐中，底面MCZ）為正方形，

又PC=PD=3,ZPCA=45°,

：.根據(jù)對稱性易知ZPDB=APCA=45°,

又底面正方形ABCD得邊長為4,.?.BD=40,

.?.在AP8￡）中，根據(jù)余弦定理可得：

PB=J（4>/2）2+32-2x4忘x3x曰=M,

又BC=4,PC=3,.,.在APBC中，由余弦定理可得：

16+9-171._?2&

cosZ.PCB=--------=一，/.sinZ/PDCB=---,

2x4x333

11oFy

.-.APBClWffi^^-xBCxPCxsinZPCB=-x4x3x^-=4V2.

223

解法二：如圖，設(shè)P在底面的射影為〃，連接“C,

R

//A

B了

jr

設(shè)NPCH=e,ZACH=a,且&€(0,5),

則4/8=45。-a,或4/8=45。+。，

2

易知cosNPC￡>=-,又NPC4=45。，

3

則根據(jù)最小角定理（三余弦定理）可得:

cosZPCA=cos0cosa

cosZPCD=cos0cosZ//CD'

[72AfV20

——=cos0cosa——=cos0cosa

<2或,2

22

—=cos^cos(45°-a)—=cos0cos(450+a)

cos(45°-a)_272或cos(45°+a)_272

cosa3cosa3

coscr+sina4-cosa-sina4

----------二一或-----------=-

coscr3cosa3

「?tana='或tana=」，又as(0,—),

332

131

/.tana=-,cosa=—；=,sincr=—=,

3x/10V10

，旦之儂。，.3”號

2M3

再根據(jù)最小角定理可得:

cosZPCB=cos^cos(45°+a)=

:.sinNPCB=巫,又BC=4,PC=3,

3

11Q

.-.APBC^M^-xBCxPCxsinZPCB=-x4x3x—=472.

223

故選：C.

10.（多選題）（2023?新高考n）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,鉆為底面直徑，ZAPS=120°.PA=2,

點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45。，則（）

A.該圓錐的體積為;rB.該圓錐的側(cè)面積為4G乃

C.AC=2叵D.AR4c的面積為6

【答案】AC

【解析】取AC中點(diǎn)￡>,則。r）J_AC,PD1AC,

由二面角的定義可知，二面角P-AC-O的平面角即為NHX>=45。，

對于A,A/VU?中，由于己4=m=2,ZAPB=\20°,

則PO=1,AO=6,

則8=1,V=--37T-\=7r,選項(xiàng)A正確.

3

對于3,=萬x上x2=2代，選項(xiàng)5錯(cuò)誤.

對于C,AC=2j^=1=2夜，選項(xiàng)C正確.

對于￡>,PD=無,S4PAC=-XV2X2V2=2,選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱

柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

A.23B.24

【答案】D

【解析】如圖，該組合體由直三棱柱A/T>-8HC和直三棱柱>4￡S-E?GC組成，且ABC￡>為正方形,

設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為/,

作“M_LC3于M,因?yàn)镃H=B〃=3,NCHB=120°,

所以CM=BM=空，HM=-,BC=AB=3&

22

方法①：四個(gè)形狀相同的三棱錐（/-A￡B、I-BCH,I-CDG、/-ADF）的體積之和，加上正四棱錐

/-ABCD的體積：

在直三棱柱中，平面責(zé)7C,則AB_LHW,

由BC=B可得HM±平面ADCB,

正四棱錐/-ABCZ）的高等于的長，

33N/327匕rB8=；x36x3Gx|=?,

V[-AEB=—x—x3百X—X---=

3222~8

該組合體的體積V=匕-畫X4+—X4+—=27：

oZ

方法②：兩個(gè)直三棱柱體積相加，再減去重疊部分（正四棱錐/-ABC0的體積:

在直三棱柱/VT>-3〃C中，/記_1平面3"。，則

由AB'、8c=B可得HMJ_平面ADCB,

正四棱錐/-/WCD的高等于〃河的長，

VI-ABCD=1x3>/3x3^x|=y,嚏―長=g乂3仃x|x36=9,

該組合體的體積V=VAFD_BHCx2-V；_ABCO=2x--—=27.

故選：D.

12.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為四，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（)

A.2B.2aC.4D.4夜

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)母線長為/,

因?yàn)閳A錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑,

則有2%&=萬",解得/=2點(diǎn),

所以該圓錐的母線長為2夜.

故選：B.

13.（多選題）（2022?新高考H）如圖，四邊形MCD為正方形，EO_L平面鉆8,FB//ED,

AB=ED=2FB.記三棱錐E-ACD,F-ABC,尸-ACE的體積分別為匕，匕，匕，則（）

A.匕=2匕B.%=VC.K=K+匕D.2匕=3Vj

【答案】CD

【解析】設(shè)AB=ED=2FB=2,

14

Vt=-xSMCDx\ED\=-,

^=^5M8Cx|rai=|)

如圖所示，

E

連接網(wǎng)＞交AC于點(diǎn)M,連接￡做、FM.

貝EM=屈，EF=3,

故SAEW=^Xy/3Xy/6=^~,

V

3=^SAEMFxAC=^x^^x2y/2=2,

故C、。正確，A、3錯(cuò)誤.

故選：CD.

14.（2021?新高考H）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（

A.20+12>/3B.28及C.—D.空正

33

【答案】D

【解析】解法一：如圖A8CO-A46R為正四棱臺，/R=2，A4=4,A4,=2.

4-?

在等腰梯形4用84中，過A作可得4后=下一=1，

A￡=JAV-AE2=口^1=6.

連接AC?AC1，

AC=j4+4=20,4c?=J16+16=4a,

過A作AG_LAG，46=4血；2血二血,

AG=yjAA；-A.G2=V4^2=V2,

.??正四棱臺的體積為：

2222

_2+4+V2X4；；

3

2872

3

解法二：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖,

該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,

該棱臺的記h=02-（2夜一夜了=垃，

下底面面積￡=16,上底面面積邑=4,

則該棱臺的體積為:

V=1/?(5,+S2+=(16+4+V64)=^y^.

知識點(diǎn)3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷

15.（2023?上海）如圖所示，在正方體ABS-A耳G"中，點(diǎn)P為邊AG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終

C.AD,D.8c

【答案】B

【解析】對于A,當(dāng)P是AG的中點(diǎn)時(shí)，3P與。。是相交直線;

對于B,根據(jù)異面直線的定義知，BP與AC是異面直線；

對于C,當(dāng)點(diǎn)P與C1重合時(shí)，8P與A￡>|是平行直線；

對于O,當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，8P與8c是相交直線.

故選：B.

16.（2022?上海）如圖正方體ABCO-ABC0中，尸、。、R、S分別為棱A3、BC、BB1、8的中點(diǎn),

聯(lián)結(jié)AS,BtD.空間任意兩點(diǎn)M、N,若線段MN上不存在點(diǎn)在線段AS、BQ上，則稱MN兩點(diǎn)可視,

則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)R可視的為（）

A.點(diǎn)、PB.點(diǎn)6C.點(diǎn)RD.點(diǎn)。

【答案】D

【解析】線段腦V上不存在點(diǎn)在線段AS、BQ上,即直線MN與線段AS、片。不相交,

因此所求與R可視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段A$、BQ相交，

對A選項(xiàng)，如圖，連接AP、PS>D、S,因?yàn)槭?、S分別為A3、8的中點(diǎn)，

S四點(diǎn)共面，.,?，尸與AS相交，錯(cuò)誤;

對8、C選項(xiàng)，如圖，連接RB、DB,易證R、B、。四點(diǎn)共面,

對￡>選項(xiàng)，連接QQ,由A選項(xiàng)分析知A、仄、P、S四點(diǎn)共面記為平面AQPS,

2?平面4。1尸$,Q任平面AAPS，且ASu平面ARPS,點(diǎn)&，

..2Q與AS為異面直線，

同理由3,C選項(xiàng)的分析知2、B「B、。四點(diǎn)共面記為平面R43O,

Re平面Rg30,Q任平面且8Qu平面￡>田8￡>,盡Q史BQ,

..R。與烏。為異面直線，

故。。與AS，烏。都沒有公共點(diǎn)，.I。選項(xiàng)正確.

故選：D.

17.（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面,

則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【解析】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，

每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），

相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2,

故選：B.

18.（2021?浙江）如圖，已知正方體438-ABCQ,M,N分別是A。，R8的中點(diǎn)，則（）

A.直線A。與直線R8垂直，直線MN//平面ABC?

B.直線AQ與直線R8平行，直線MN_L平面BOR旦

C.直線AQ與直線。出相交，直線A/N//平面ABCD

D.直線與直線。石異面，直線MV_L平面8。2M

【答案】A

【解析】連接AR，如圖：

由正方體可知,AiDLAB,平面ABA，

:.AQ工RB,由題意知MN為△的中位線，:.MN/IAB,

又-T4BG￥?ABCD,MNU平面A8C￡>,:.MN//平面ABCD.r.A對;

由正方體可知與平面80.相交于點(diǎn)。，RBu平面BDR,D^D,B,

二.直線4。與直線R8是異面直線，.?.3、C錯(cuò);

MN//AB,AB不與平面8￡>￡>出垂直，；.MN不與平面BDR四垂直，二。錯(cuò).

19.（多選題）（2021?新高考H）如圖，下列正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為

正方體的頂點(diǎn)，則滿足MNLOP的是（）

【答案】BC

【解析】對于A,設(shè)正方體棱長為2,設(shè)MN與OP所成角為，,

iR

則tan6="；------=、一，.?.不滿足故A錯(cuò)誤;

2

2

對于3,如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

則N(2,0,0),M(O,0,2),P(2,0,1),0(1,1,0),

MN=Q,0,-2),。尸=(1,-1,1),

MNOP=Q,滿足MN_LOP,故8正確；

對于C,如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

則M(2,2,2),N(0,2,0),0(1,1,0),P(0,0,1),

MN=(—2,0,—2),OP=(—\,—1,1),

MNOP=0,滿足MV_LOP,故C正確；

對于￡),如圖，

作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

則M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,1,2),0(1,1,0),

MN=(0,—2,2),OP=(1,0,2),

MNOP=4,不滿足MV_LOP,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

知識點(diǎn)4：線線角、線面角、二面角

20.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可

以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，

兩個(gè)面是全等的等腰三角形.若A8=25m,8c=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平

面與平面A8CC的夾角的正切值均為恒，則該五面體的所有棱長之和為()

C.117mD.125m

【答案】c

【解析】如圖，過E做平面A3CD,垂足為。，過E分別做EGLBC,EA7，,垂足分別為G,M,

連接OG,OM,

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為NEMO和NEGO,

所以tanNEMO=tanNEGO=半.

因?yàn)镋O_L平面ABC。，BCu平面488,所以EO_L5C,

因?yàn)镋GLBC,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以8c上平面EOG,因?yàn)镺Gu平面EOG,所以8CLOG,.

同理：OMIBM,又8MJ.3G,故四邊形OMBG是矩形，

所以由3c=10得。0=5,所以EO=4J所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=y/EO2+OC2=^(>/14)?+52=>/39

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=>JEG2+BG2=^(V39)：+52=8,

又因?yàn)镋F=AB-5-5=25-5-5=15,

所有棱長之和為2x25+2x10+15+4x8=117m.

故選：C

21.（2023?乙卷（理））已知AABC為等腰直角三角形，AS為斜邊，^ABD為等邊三角形，若二面角C-9-。

為150。，則直線8與平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.也C.—D.-

5555

【答案】C

【解析】如圖，取回的中點(diǎn)E,連接CE,DE,

則根據(jù)題意易得ABLDE,

二面角。-鉆-。的平面角為/?！辍?gt;=150。,

ABVCE,ABYDE,KCEQDE=E,

.?.A3_L平面又A3u平面ABC,

平面AEDJL平面反C,

:.CD在平面ABC內(nèi)的射影為CE,

直線8與平面ABC所成角為ZDCE,

過。作垂直CE所在直線，垂足點(diǎn)為〃，

設(shè)等腰直角三角形ABC的斜邊長為2,

則可易得CE=1,DE=C，又NDEH=30。,

DH=—,EH=3,...c”=1+3=2,

2222

心

tanNDCE=—=-2-=—.

CH55

2

故選：C.

22.（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱ABC-A4G，AC=AA,,E,尸分別是棱3C,AC上的點(diǎn).記瓦'

與A4,所成的角為a,EE與平面ABC所成的角為力，二面角尸-3C-A的平面角為7,則（）

AiG

B

A.a剝5yB.阿hyC."剝r(jià)aD.a效勿P

【答案】A

【解析】正三棱柱ABC-A8IG中，AC=AAt,

???正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1,

如圖，過尸作產(chǎn)G_LAC,垂足點(diǎn)為G,連接GE,則AA//FG,

GF

.?口與⑨所成的角為㈤"G=a,^a=—=GE,

又GE￡[O,1],/.tanae[O,1],

GF1

.?.砂與平面ASC所成的角為NEEG=￡,且tan〃=?—=——e[l,+oo),

GEGE

tanp..Iana,...①，

再過G點(diǎn)作GH_L3C,垂足點(diǎn)為H,連接HF,

又易知bG_L底面ABC,BCu底面AfiC,

fiC±FG,又尸Gf|G”=G,.?.3C_L平面G//F,

GFI

.?.二面角尸—8C—A的平面角為NGHb=y,J3.tan/=—=——,又G“￡[0,

GHGH

tanyGt~~?+00)，/.tan/..lana,…②，

又GE..GH,/.tand,tan/,…③，

由①(gX^Wtano^iJtan/?tan/,又a,0,Xe[0,與,y=tanx在[0,合單調(diào)遞增,

「.a轟出y,

故選：A.

F

ACi

B

23.（多選題）（2022?新高考I）已知正方體ABC。-A4GA,則（）

A.直線B6與D4,所成的角為90。

B.直線BG與。所成的角為90。

C.直線BG與平面BBQQ所成的角為45。

D.直線BG與平面A88所成的角為45。

【答案】ABD

【解析】如圖，

連接B|C,由A4//OC,A4=OC,得四邊形D4,81C為平行四邊形，

可得D4.//BC，BC|_LBC，.?.直線BQ與3A所成的角為90°，故A正確；

Ag_L8G，BQ工B、C,AB[BC=B],_L平面。AgC,而C4,u平面D418c,

：.BC{LC\,即直線BQ與CA所成的角為90。，故8正確；

設(shè)AG「SR=O,連接BO,可得GO_L平面即NC|BO為直線8cl與平面B8QQ所成的角,

sin=空?=[,.?.直線BG與平面所成的角為30。，故C錯(cuò)誤；

BC、2

C￡_L底面ABCD,;.NG8C為直線8G與平面ABCD所成的角為45。，故。正確.

故選：ABD.

知識點(diǎn)5：與球相關(guān)問題

24.（2021?天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為三兩個(gè)圓錐

3

的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.3乃B.4萬C.94D.12萬

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)球O的半徑為R,由題意，~^=—,

33

可得R=2,則球。的直徑為4,

兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,，Aa=l,BO,=3,

由直角三角形中的射影定理可得：產(chǎn)=1x3,B|Jr=V3.

這兩個(gè)圓錐的體積之和為丫=1?rx（右）葭（1+3）=4萬.

3

故選：B.

25.（2021?新高考U）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球

靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000b”（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的

距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O,半徑/?為64OOA〃的球，其上點(diǎn)A的緯度是指Q4與赤道平面所成角的

度數(shù).地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信號覆蓋地球

表面的表面積S=2%，（］_cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，

地球靜止同步軌道

貝IjOP=36000+6400=42400,那么cosa=--------=—；

4240053

衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積S=2萬/(1-cosa),

那么，S占地球表面積的百分比為2萬產(chǎn)(1一；°5。)=吏_一42%.

4乃,106

故選：C.

26.(2022?新高考I)已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3蒯30則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18,—JB.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接AC與班>交于點(diǎn)E,連接PE,則

球心O在直線PE上，連接OA,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為“，高為h,

在RtAPAE中，PAi=AE2+PE2,BPI2=(-)2+h2=-a2+h2,

22

,球O的體積為36萬，.?.球O的半徑R=3,

在RtAOAE中，OA2=OE2+AE2,即R?=(〃-3)2+(且)？，

2

—a2+h2—6/J=0,—a2+li1=6h>

22

;.F=6h,又.3蒯3上,-gih-,

22

ii7

該正四棱錐體積V(/z)=-a2h=-(\2h-2h2)h=--hJ+4h2,

V\h)=-2h2+8/z=2/J(4-h),

39

.?.當(dāng)士,,/z<4時(shí)，V'(h)>0,VS)單調(diào)遞增;當(dāng)4〈鼠=時(shí),V'(h)<0,"(/?)單調(diào)遞減，

22

即該正四棱錐體積的取值范圍是—J,

43

故選：C.

p

27.（2022?新高考H）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3G和4百，其頂點(diǎn)都在同一球面上，

則該球的表面積為（）

A.100萬B.128萬C.144萬D.192萬

【答案】A

【解析】當(dāng)球心在臺體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為=3,下底面所在平

2sin600

面截球所得圓的半徑為46=4,如圖，

2sin600

設(shè)球的半徑為R,則軸截面中由幾何知識可得JR?7?-JR2-42=1,解得R=5,

該球的表面積為4萬尸=4^X25=1001.

當(dāng)球心在臺體內(nèi)時(shí)，如圖，

此時(shí)JR2-32+，店-42=1,無解.

綜上，該球的表面積為1007r.

故選：A.

28.（2021?甲卷（理））已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,AC=BC=l,

則三棱錐O-45C的體積為（）

【答案】A

【解析】因?yàn)锳CL3C,AC=BC=\,

所以底面ABC為等腰直角三角形，

所以AABC所在的截面圓的圓心。|為斜邊AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)Q，平面ABC,

在RtAABC中，AB=>JAC2+BC2=41,則AO1=],

在RtAAOO|中，OQ=JOAZ—AO；=①,

故三棱錐O—ABC的體積為丫="5枷104=gx；xlxlx￥=^1.

故選：A.

29.（多選題）（2023?新高考I）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：，〃）的正方體容器（容器壁

厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99