上海市高一下開學(xué)考試卷（測試范圍：三角）（解析版）

上海市高一下開學(xué)考試卷考試時間：90分鐘試卷滿分：100分測試范圍：三角一．填空題（共12小題）1．（2021春?奉賢區(qū)期中）角可以換算成弧度．【分析】利用等于弧度，計算即可．【解答】解：，所以可以換算成弧度．故答案為：．【點評】本題考查了角度制化為弧度制的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．的值為．【分析】直接利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查二倍角公式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)化簡求值，考查計算能力．3．已知，，則．【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式以及余弦函數(shù)的倍角公式即可得到結(jié)論．【解答】解：，，平方得，即，，，則，解得，，，，，，，則，故答案為：【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式以及余弦函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．4．（2021?黃浦區(qū)開學(xué)）若，則．【分析】由兩角和及兩角差的余弦公式展開整理，可得代數(shù)式的值．【解答】解：因為，又因為；故答案為：．【點評】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及兩角和，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021秋?石首市校級月考）已知扇形的周長為8，中心角為2弧度，則該扇形的面積為4．【分析】設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的弧長，利用周長公式，求出半徑，然后求出扇形的面積．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為，弧長為，面積為，圓心角為，由于弧度，可得，由于扇形的周長為，所以，解得，弧長，所以扇形的面積為．故答案為：4．【點評】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022?奉賢區(qū)校級開學(xué)）已知，則．【分析】將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計算得解．【解答】解：，兩邊平方可得：，，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2021?黃浦區(qū)開學(xué)）在中，若，則．【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：中，，，又，．故答案為：．【點評】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023?漢濱區(qū)校級模擬）已知，若，則的最小值為．【分析】根據(jù)題意，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式，將已知等式化簡整理，可得，進而得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最小值．【解答】解：根據(jù)題意，可得：，由，可知，因此，所以，即，可得，整理得．因為，，所以，，所以，而，故，可得的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．9．（2022春?詔安縣校級期中）已知中，，，若為鈍角三角形，則的取值范圍是，，．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，推得，再結(jié)合余弦定理，即可求解．【解答】解：在中，，，則，即，，，，則角為鈍角或角為鈍角，若角是鈍角，則，即，故，若角是鈍角，則，即，解得．綜上所述，的取值范圍是，，．故答案為：，，．【點評】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．10．（2022春?鄭州期中）如圖所示，在平面四邊形中，已知，，，，則的最大值為56．【分析】由余弦定量求得，再由余弦定理表示出，的關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式得最大值．【解答】解：中，，中，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為56．故答案為：56．【點評】本題考查余弦定理在三角形中的應(yīng)用，屬中檔題．11．（2021?焦作模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，則的最小值為．【分析】由已知結(jié)合二倍角公式及正弦余弦定理進行化簡，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因為，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，即最小值．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理及基本不等式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2021?黃浦區(qū)開學(xué)）在中，若存在△，滿足，則稱△是的一個“友好三角形”，若等腰三角形存在“友好三角形”，則其頂角大小為．【分析】設(shè)等腰三角形中，，由新定義可得，，，，則，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡求值即可．【解答】解：不妨設(shè)等腰三角形中，，且，均為銳角，由已知可得，，，，則，且，均為銳角，所以（舍，或，所以，解得．故答案為：．【點評】本題以新定義為載體，考查三角函數(shù)的化簡求值，考查轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題）13．（2022?奉賢區(qū)校級開學(xué)）下列終邊相同的角是A．與， B．與， C．與， D．與，【分析】根據(jù)奇數(shù)與偶數(shù)的表示法即可得出．【解答】解：與都表示奇數(shù)，與，表示終邊相同的角．故選：．【點評】本題考查了奇數(shù)與偶數(shù)的表示法、終邊相同的角，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2020秋?鳳凰縣校級月考）已知為銳角的內(nèi)角，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．充要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【分析】銳角三角形內(nèi)角的范圍，通過與的關(guān)系，由充要條件的定義判斷即可．【解答】解：為銳角的內(nèi)角，則，，所以；，成立；所以為銳角的內(nèi)角，則“”是“”的充分必要條件．故選：．【點評】本題考查充分必要條件的判斷，訓(xùn)練掌握三角形內(nèi)角的正弦函數(shù)值與角的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．（2021?黃浦區(qū)開學(xué)）在中，已知，則下列結(jié)論正確的為A． B． C． D．【分析】根據(jù)，化簡可得，再逐項分析即可得到答案．【解答】解：，，又，，即，，對于，，不一定等于1，選項錯誤；對于，，當(dāng)時等號成立，選項錯誤，對于，，不一定等于1，選項錯誤；對于，，選項正確．故選：．【點評】本題主要考查三角恒等變換，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（2021?黃浦區(qū)開學(xué)）在中，內(nèi)角、、所對邊邊長分別為、、，若，則的大小是A． B． C． D．【分析】由正弦定理化簡已知等式可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求得的值，可得：，，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正切函數(shù)公式可得，解得，分類討論可求的值．【解答】解：，由正弦定理可得：，分，可得：，分可得：，，，，分解得：，或，分當(dāng)，舍去；當(dāng)，，當(dāng)，則，則，，矛盾，綜上，．分故選：．【點評】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正切函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）17．已知，且，，求與．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進而利用二倍角公式即可求解．【解答】解：因為，可得，又，，所以，所以，，所以．【點評】本題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18．（2021?黃浦區(qū)開學(xué)）已知，均為銳角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【分析】根據(jù)平方關(guān)系和是銳角即可得出，再利用基本關(guān)系式即可得出，利用兩角和的正切公式即可得出，利用基本關(guān)系式可得，，利用兩角和的余弦公式展開即可得出．【解答】解：（1）法一，，，．，解得．聯(lián)立，解得．．法二：令，那么，由得：（2）由（1）可得．【點評】本題中考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正切公式、兩角和的余弦公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．19．（2021?黃浦區(qū)開學(xué)）在中，、、分別為角、、所對應(yīng)的邊，已知，，．（1）求的值；（2）在邊上取一點，使得，求的值．【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理可求得的值；（2）根據(jù)平方關(guān)系求得，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系得解．【解答】解：（1）由余弦定理可得，，，由正弦定理可得，，則；（2），且為鈍角，，．【點評】本題考查正余弦定理在解三角形中的運用以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（2022?閔行區(qū)校級開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，，是位于不同象限的任意角，它們的終邊交單位圓（圓心在坐標(biāo)原點于，兩點．（1）已知點，將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)到，求點的坐標(biāo)；（2）若角為銳角，且終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)過后，終邊交單位圓于，求的值；（3）若，兩點的縱坐標(biāo)分別為正數(shù)，，且，求的最大值．【分析】（1）設(shè)，，可得，利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式即可求解；（2）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得和的值，再利用兩角和差的三角公式，即可求得的值；（3）由題意，角和角一個在第一象限，另一個在第二象限，再利用任意角的三角函數(shù)的定義、兩角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式求得的最大值．【解答】解：（1）點，將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)到，設(shè)，，所以，可得，，的坐標(biāo)為，．（2）角為銳角，且終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)過后，終邊交單位圓于，，且，求得，則，，則．（3）角和角一個在第一象限，另一個在第二象限，不妨假設(shè)在第一象限，則在第二象限，根據(jù)題意可得、，且，，，，，即，平方可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故當(dāng)時，取得最大值為．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，兩角和差的三角公式，基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．21．（2022?閔行區(qū)校級開學(xué)）某個公園有個池塘，其形狀為直角三角形，，米，米．（1）現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在、、上取點、、，并且，，（如圖，游客要在內(nèi)喂魚，希望面積越大越好．設(shè)（米，用表示面積，并求出的最大值；（2）現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個走廊，方便游客通行，分別在、、上取點、、，建造正走廊（不考慮寬度）（如圖，游客希望周長越小越好