2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點突破12 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題（七大題型）（解析版）

重難點突破12導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題

目錄

導(dǎo)數(shù)中的“距離，，問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離、兩點間的距

離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值.方法之一是轉(zhuǎn)化化歸，將動點間的距離問題轉(zhuǎn)化

為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)求解最值.

題型一：曲線與直線的距離

例1.（2023?浙江?高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)"x）=（x-r）2+（31nx-3f）:其中feR,若存在吃,使得

“鏟得成立，則實數(shù)率的值為.

【答案】10

［解析］設(shè)=3InX,g(x)=3x,

則/(x)=(x-/)2+(31nx-3f)2可看做h(x)圖象上任意一點尸與g(x)=3x圖象上點的距離的平方,

設(shè)函數(shù)版x)過點尸(x0,31nx。)的切線/平行于直線y=3x.

則〃'(x)=3,令2=3,解得%=1,.?.切點尸(1,0).

x/

39

點尸到直線y=3%的距離d=礪,此時/(/)=_,

9

，存在為二1，使存F)47,

過點P且與直線y=3x垂直的直線方程為：),=-g(x-i).

y=3x

13

聯(lián)立1“，解得》=用產(chǎn)指.

y=--(x-\)1010

1139包=J_=10

即UR,知￡,亍)時，存在%=1使得為:；；成立，此時.1.

1010101()歷

故答案為：10

例2.(2023?湖南衡陽?高三衡陽市八中階段練習(xí))已知實數(shù)4也C,4滿足〃=21na,d=2c+i,則

(a_c)2+(6_d)2的最小值______.

【答案】|

【解析】由題意可得(a-c)2+0-dp可以表示兩點(。力)與(c,d)之間距離的平方

Hlb=2lna,d=2c+\

可以看成是函數(shù)y=2mr,y=2x+l

即函數(shù)y=2/nr在(a,b)的切線與函數(shù)y=2*+l平行時求出最小值

2=2解味[a=0\

則a

2lna=b

此時d=T==￡5

V4+15

故(a-c)2+(6-d)2的最小值為q

例3.(2023?遼寧錦州?高二校聯(lián)考期中)若實數(shù)4也°,4滿足卜+/一31114+9—4+2)2=0,則

(a-c)2+(b-d)2的最小值為

【答案】8

【解析】實數(shù)。、b、c、"滿足：

（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0,

:.b+a2-3lna=0，設(shè)匕=丫，a=x,則有：y=Mnx-x2,且c-d+2=0,設(shè)。=X，d=y,則有：y=x+2,

...（a-c）2+S-d）2就是曲線y=3/肛與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，

3

對曲線y=3加v-x?求導(dǎo)：V（x）=--2x,

x

與y=x+2平行的切線斜率k=l=±3-2x,解得：x=l或x=-3=（舍）,

x2

把x=l代入y=3以-f,得：y=-l,即切點為

11+1+21

切點到直線y=x+2的距離:~jr~=2&,

（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8.

故答案為：8.

變式1.（2023.江西鷹潭?高二統(tǒng)考期末）若實數(shù)。，b,c,4滿足卜+/-41na|+|2c-4+2|=0,則

（4-4+伍-1）,的最小值為一.

【答案】5

【解析】由k+“2-41n《+|2c-d+2|=0,得人+片一41na=2c-d+2=0,

所以（a-4+（。-1）?表示直線2x-y+2=0上點尸到曲線y=41nxr?上點Q距離的平方，

4

由>'=一一2x,令y'=2,解得x=l或x=-2<0(舍),

x

|2+l+2p

得Q(L-l),所以所求最小值為=5,

故答案為：5.

變式2.（2023?江蘇蘇州?高二蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）實數(shù)“，4c,"滿足:

(e"—"+(C-</-2)2=0,則(a-c)2+(6-4)2的最小值為

9

【答案】y/4.5

【解析】由題設(shè)可得6=e",c=d+2,

Sk(a-c)2+0-4/)2=(a-</-2)2+(eM-J)2,

設(shè)A(a,e"),B(d+2,d),則(a-d—2『+(e"=|A*,

即函數(shù)y=e'的圖象的點A與直線y=x-2上的點B的連線段的平方,

而y'=e，，令e、=l,則x=0,此時），=e”對應(yīng)的函數(shù)值為1,

故函數(shù)y=e，的圖象在(0,1)處的切線為y=x+l,

\AB\的最小值即為平行線y=x+l,y=x-2之間的距離，

此距離為《=孚，故|A砰的最小值為，

9

故答案為：j

變式3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=V-2皿+吃-601*+10/的最小值是則。的值是

【答案】0.3*3

【解析】函數(shù)f(x)=x2-lax+e6*-6ae"+10a2

=(x2-20r+a2)+(e6A-6ae3r+9tz2)

=(x-a)2+(e3x-3a)2,

可得fM表示兩點(xd，),5,3a)的距離的平方，

即有函數(shù)>=y=3x圖象上的兩點距離的最小值的平方為《，

設(shè)直線y=3x+r與函數(shù)尸針的圖象相切，

—

設(shè)切點為(ml”),可得3=3，％解得機=0,則e3"，=l,

即有切點為(0,1),

貝1](0-。)2+(1-3。尸=\,

3

解得a端,

則〃的值為0.3.

故答案為：0.3.

變式4.(2023?湖南常德?高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-a)2+(hu2-2“『，其中

,4

x>0,awR,存在/,使得成立，則實數(shù)。=.

【答案】1/0.2

【解析】設(shè)P(x,ln/),Q(a,2a),設(shè)/=|加匕則/“)=/,

而點P在曲線y=21nx(x>0),點。在直線y=2x上，

當(dāng)過曲線〉=2也道X>0)上的一點加(如為)的切線與直線y=2x平行時，

點M（x。，%）至IJ直線y=2x的距離取得最小值

由VLF=-=2,可得%=1,所以M（1,O）,

|2|244

4（1,0）到直線y=2x的距離d=次;+；2=飛，則d"，即/（幻二恒成立，

44

由題意可知存在與€犬，使得〃與）4丁貝廳（％）=《

過點M（1,O）垂直于y=2尤的直線為產(chǎn)

1\x=-

由“'=-5（1）,可得，?,則壯!，，則

J=2x24I,'）5

故答案為：—

變式5.（2023?湖北孝感?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)C（“,b）=+（lna-l-l）2（a>0/eR）,當(dāng)a,b變

化時，則C（“力）的最小值______.

【答案】夜

【解析】由Q（a,/?）=yj（a-b）2+（\na-b-i）2（a>0,6eR）可知，此式表示點3,Ina）與點仍為+1）間的距離，

而點（4,1114）在曲線丫=1門上，點（。,。+1）在直線丫=工+1上，

所以問題轉(zhuǎn)化為求直線丫=x+1與曲線y=Inx間的最小距離，

將直線y=x+l向下平移恰好與曲線相切時，所平移的距離為所求的距離，

設(shè)直線y=x+i向下平移與曲線相切時的直線方程為y=》+機，

設(shè)切點為（為，%）,y=-,則一=1,得%=i,

Xx0

所以%=lnx（）=0,切點為（1,0）,

所以切線方程為y=x-i,

此時直線y=x+l與尸XT間的距離為專=&,

故答案為：V2

題型二：曲線與點的距離

例4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若點&『,0）與曲線y=e，上點P的距離的最小值為26,則實數(shù)r的值為

/In2八.In2C.3+qcoIn3

A.4-----B.4-----D.3+—

3232

【答案】D

【解析】先設(shè)切點B,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實數(shù)，的值.因為26>1,所以，>0,由題意得以

A為圓心，26為半徑的圓與曲線y=e、相切于點B,設(shè)8(/e"),則在B點處切線的斜率為e"，所以

-------ex*=-1

X-f（王一/）2—（%一/）-12=0

&x「t）2+ey=26

X1—tv0X1—t——3,(e")~=3/.Xj=—In3,/=~In3+3,D.

例5.(2023?全國?高三專題練習(xí))若點A(0,f)與曲線y=lnx上點8距離最小值為26，則實數(shù)r為

A.In24-3B.In34-2C.—In3+3D.—In2+2

22

【答案】C

【解析】設(shè)點5的坐標(biāo)為(肛Inm),根據(jù)直線AB與曲線y=lnx在點B處的切線垂直，得到，關(guān)于機的表達(dá)

式，再利用兩點間的距離公式結(jié)合|鉆|的最小值為26,求出加的值，即可得出實數(shù)，的值.設(shè)點8的坐標(biāo)為

(/n,ln/n),對函數(shù)y=lnx求導(dǎo)得y，=',

由題意可知，直線AB與曲線y=lnx在點B處的切線垂直，貝，

—m

得/=>+Inzn,

由兩點間的距離公式得|AB|==加+川,

由于|A目的最小值為26，即/+布=12,m>0,解得機=&，因此，，=3+ln百=3+gln3.

故選：C.

例6.(2023?河北石家莊?石家莊二中校考模擬預(yù)測)設(shè)點A?,0),P為曲線y=e，上動點，若點4尸間距離

的最小值為卡，則實數(shù)f的值為()

I-_cln2-cln3

A.y/5B.-C.2H------D.2H------

222

【答案】C

【解析】設(shè)P(x,e"),則|AP「=(xT)2+e”,記8(》)=02*+。-。2,

g'M=2e2x+2(x-t),易知g'(x)=2e2、2(xT)是增函數(shù),且g'3的值域是R,

&'(x)=0的唯一解%,且尤時，g'(x)<0,x>x()時,g'(x)>0,g|Jg(x)mi?=g(x0),

2x,

由題意g(x())=+(x°—f)~=6,而g'(Xo)=2e~"+2(x0—f)=。，x0—t=-e',

e2x,'+eiXo=6>解得e2%=2,.

.In2

^+x0=2+—.

故選：c.

題型三：曲線與圓的距離

例7.(2023?福建龍巖?高三統(tǒng)考期末)己知P為函數(shù)y=lnx圖象上任意一點，點。為圓/+卜-02-1『=1上

任意一點，則線段尸。長度的最小值為一.

【答案】ey/e2+\-1

【解析】由圓的對稱性可知，只需滿足圓心(0,e2+l)到y(tǒng)=lnx圖象上一點的距離最小值

設(shè)y=lnx圖象上的一點為(巾,/”機)(加>0)

貝廠」

X

即有切線斜率為上=,

m

―-e~一1

可得---------=-m

m

：.zn2+lnm-e1-1=0,

設(shè)g(m)=n?+Inm—e2-1

/(間=2"?+—>0,

g㈣遞增

又g(e)=。

可得〃?=e處點(e,l)到Q的距離最小，為“6_0)2+(j2_1)2=?7771

則線段尸。長度的最小值為

例8.(2023?上海?高二專題練習(xí))對于平面曲線S上任意一點尸和曲線7上任意一點Q,稱1尸。1的最小值

為曲線S與曲線T的距離.已知曲線S:y=6和曲線T：y=Jl-*-3)2,則曲線S與曲線7的距離為()

A.--1B.—C.72-1D.2

22

【答案】A

【解析】由題意得：

2

設(shè)2(占,4),。(々,^1-(X2-3))

222

貝U|PQ「=(x2-x,)+(71-(X2-3)-^)

—+xJ_+1——3)+Xj—2小1-(X)-3)~?

2

=x)-2X}X2+6X2+玉一8-一3)2

=—

(6—2%|)(x23)—2Jl-(x,-3)~,yj~x^+%~-5x,+10

根據(jù)柯西不等式:(片+層)(c2+J2)>(ac+bd)2

于是\ac+bd\</(a?+后)卜2+/)

ac-\-bd>-J/+/)卜2+/)

于.是|PQ|2=(6—24)(々_3)_2/_(。_3)2.惠+xj_5~+10

2

N-J(6-2X1)"+4%[?-3)~+]-(/-3)+x}—5x1+10

=-2yjx；-5X|+94-X|2-5%|+9+1

令Qx；-55+9=t，則t=J卜?+]>

故|PQ「=/_2r+[=?_l)22--1"|=>|Pe|>--1

、2J2

^(.d=\PQ\.=--1

I2

故選：A

例9.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知點。為函數(shù)/(x)=lnx的圖象上任意一點，點。為圓

上任意一點，則線段尸。長度的最小值為()

、e-y/e2-TB2\le2+1-e

e2e

【答案】B

【解析】依題意，圓心為0卜+50),設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,lnx),

貝|J|尸C『=x-^e+-j+(lnx)2=x2-2fe+-jx+fe+-j+ln2x,

令〃(x)=(，則"(x)=1，

當(dāng)X￡(O,e)時，//(x)>0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡(e,+8)時，”(“<0,函數(shù)/2(x)單調(diào)遞減，

所以〃(x)4Me)=L故叱一1<0,

exe

所以xe(O,e)時，x—e<0且?一：<0,

所以xe(O,e)時,g<x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(e,物)時，令f(x)=2(x-e)+2((T),則Q?(〈,

12工2—1

令e(x)=x?—lnx+l,xw(e,+oo),則”(x)=2x――=~—>0>

XX

所以函數(shù)e(x)在xe(e,+oo)匕單調(diào)遞增，

則9(x)>9(e)=e~>0,即/(犬)=」---------->0,xe(e,+oo)>

所以x?e,")時，f(x)單調(diào)遞增,即g'(x)單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(e)=0,故當(dāng)xe(e,+8)時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

所以g(xL=g(e)=/+l，

故|PC|的最小值為、耳二也互，

vee

則線段PQ的長度的最小值為一1-1="正￡.

Ve222e

故選：B.

變式6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知點P為函數(shù)/(x)=lnx+e(x>2)圖像上任意一點，點。為圓

x-(e+g+l[]+丁=1上任意一點，則線段PQ的長度的最小值為()

Ay/1+e?(1+e)-eDJ2e~+1—e

A.-------------------------D.---------------------

ee

CJe~+1—eDe--]

ee

【答案】A

【解析】設(shè)PHln;v+e),又圓x-fe+l+lH+/=1的圓心為M(e+/+l,0

令g(x)=PM2=(x-e-----1)2+(lnx+e)2(x>2),

e

，/、-?1.、2e21nx/?、

g(x)—2x—2(eH—F1)4----1---------(x>2),.

exx

h(x)=2x-2(e+-+1)+—+V(x>2),

exx

〃(x)=2-3+^^=2(^+l?n”-e)(尤>為,

XXX

令(p{x}=x24-1-Inx-e(x>2),

19r2_1

0'(x)=2x-±=^^,x>2時，/(x)>0,

XX

到工)=X2+1-111;1:-6在(2,+00)上單調(diào)遞增，9(x)>以2)=4+l-ln2-e>0,即〃(x)>0

所以田x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，即g3在(2,+8)上單調(diào)遞增，而g〈e)=O.

g'(x)<0,解得2<x<e；g'(x)>0,解得X>e,

；.g(x)在(2,e)遞減,在(e,+8)遞增，

，g(x『g(e)=y+Q+e)=空號出，

e

則線段PQ的長度的最小值為更三辿2_1,

e

故選：A.

變式7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知點P為函數(shù)/(*)=，的圖象上任意一點，點。為圓(x-l)2+y2=l上

任意一點，則線段PQ長度的最小值為()

A.72-1B.1C.72D.73-1

【答案】A

【解析】

由圓的對稱性可得只需考慮圓心〃(1,0)到函數(shù)f(x)=e*圖象上一點的距離的最小值.

設(shè)〃x)圖象上一點N(見e"'),令/(*)圖象上一點NG〃,e")的切線為/

由fM的導(dǎo)數(shù)為廣⑴=e',即切線/的斜率為后=em,

當(dāng)MVIZn-J',圓心M(1,O)到函數(shù)/(x)="圖象上一點的距離最小,

此時￡=-e-"',即有e2"'+，w-l=0,

由g(x)=e2*+x-l,可得g，(x)=2e2，+l>0,g(x)遞增，乂g(0)=0,

所以“7=0,N(O,1),

所以點(o,D到點。的距離最小，且為近，

則線段PQ的長度的最小值為0-1,

故選：A.

題型四：曲線與拋物線的距離

例10.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)9(〃,。)=^(a-i>)2+^lna-—J+—(a>0,beR),當(dāng)a,b變化時，9(“力)

的最小值為.

【答案】五-1.

I'_7>2y<2

【解析】<p(a,b)=J(a-b)~+Ina-■—+—,

函數(shù)表示點A?Ina)和8卜?)的距離加上8的縱坐標(biāo)，

畫出/(x)=lnx和y=、-的圖像，如圖所示：

故AB+BCuAB+BO—lnAB+BF—lVAF-l,當(dāng)A3尸共線時等號成立.

設(shè)g(x)=x2+(lnx—l『，則g'(x)=2"x1+2x,g'⑴=。，

當(dāng)x>l時，2見匕>-2,故g'(x)=2處1+2x〉0,函數(shù)單調(diào)遞增；

XX

當(dāng)0<x<l時，2蛆二!■<一2,故g'(x)=2如二+2x<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

XX

g(x)min=g(l)=2'lfeAF-l<>/2-l.

綜上所述：8(4,6)的最小值是0-1.

故答案為：72-1.

例11.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)D=J(x-"y+卜,"GJ+a+2淇中”2.71828,則D的最小值為

A.y/2B.GC.72+1D.6+1

【答案】C

【解析】分析：由“x一a)?+(e*-2&)表示兩點C(x,e')與點4(〃,2&)的距離，而點A在拋物線丁=4x上，

拋物線的焦點尸(1,0),準(zhǔn)線為％=-1,則。表示A與C的距離和A與準(zhǔn)線的距離的和加上1,由拋物線的定

義可得。表示A與C的距離和加上1,畫出圖象，當(dāng)尸,AC三點共線時，可求得最小值.

由題意Q=J(x-a)2+(e'-2歷+〃+2,

illy](x-a)2+(e'-2yfa)表示兩點C(x,ex)與點A(a,2&)的距離，

而點A在拋物線y2=4x上，拋物線的焦點F(LO),準(zhǔn)線為x=-l,

則。表示A與C的距離和A與準(zhǔn)線的距離的和加上1,

由拋物線的定義可得。表示A與C的距離和加上1,

由圖象可知EAC三點共線時，且。尸為曲線)，=e，的垂線，此時。取得最小值，

即〈為切點,設(shè)(機,e'"),

p,u_0

由^—-em=-l,可得〃?+

m-1

設(shè)g(w)=/n+e2m,則g(m)遞增,且g(0)=l,可得切點0(0,1),

即有|尸。卜/巾=及，則。的最小值為a+1，故選C.

例12.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)。=J(x-a)2+(lnx-T+^+i，(ae/?),則。的最小值為

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【解析】由題可得：設(shè)/(x)=lnx,g(x)=!x2,所以。為g(x)上任意一點到/(x)上任一點及拋物線焦點的距

4

離之和，所以距離表達(dá)式為Jf+(lnx-l)2、令/z(x)='+(lnx-l)2,/z'(x)=2x+皿?，顯然在［0,1］遞減，

［l，w)遞增所以力O'%"=力⑴=2,故Jf+(lnx-l)2最小值為72

題型五：曲線與曲線的距離

例13.(2023.黑龍江哈爾濱―高三哈爾濱三中?？计谥?設(shè)點戶在曲線丫=111(》-1)上，點。在曲線)'=靖-'上，

則歸。的最小值為.

【答案】V2

【解析】由于曲線y=ln(x-l)是由y=lnx向右平移1個單位得到的，y=e*T是由y=e*現(xiàn)右平移1個單位

得到的，所以|PQ|的最小值可以看成曲線V=Inx上的點與y=e，上的點間的最小值，

因為y=e，與y=Inx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對稱，

所以所求的最小值為曲線y=，上的點A到直線y=*的最小距離的2倍，

設(shè)與直線y=x平行的直線與曲線y=e，相切于點仞

因為y=e*,由*=1，得%>=。，

所以切點”(0,1),

所以點A到直線y=x的最小距離為〃=阜=變，

V22

所以歸。的最小值為血，

故答案為：亞

例14.(2023?四川成都?高二棠湖中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)點尸在曲線y=ge*上，點。在曲線y=ln(2x)上，

則IPQI的最小值為.

【答案】>/2(l-ln2)

【解析】函數(shù)y=ge'與函數(shù)y=ln(2x)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱.

11-ex-X

函數(shù)y=上的點尸口:1)到直線y=x的距離為/2

22d=~jr

設(shè)函數(shù)g(x)=ge*-x,則g'(x)=ger-l

因為當(dāng)x<ln2時，g'(x)<0,當(dāng)x>ln2時，g'(x)>0

所以當(dāng)x=ln2時，5Wmin=l-ln2>0

所以|最小值為2dmM=V2(l-ln2).

故答案為：V2(l-ln2)

例15.(2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中?？计谥?設(shè)點尸在曲線y=lnx上，點。曲線y="上，則歸0

的最小值為.

【答案】夜

【解析】因為曲線丫=，與曲線y=lnx互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于，=工對稱，

所以可先求點「到直線y=x的距離的最小值，

設(shè)曲線y=爐上斜率為1的切線方程為y=x+6,

由>=,，可得y，=e;令，=1,解得x=0,所以切線的坐標(biāo)為(0,1),

所以切線(0,1)到直線y=X的距離為d=?=也，

&2

所以伊。的最小值為24=&.

故答案為：血.

變式8.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)點尸在曲線y=e2*，2+i上，點Q在曲線y=i+in&7i上，則|PQ的

最小值為.

［答案］何"M2)

2

【解析】令f(x)=e2("D、8(》)=E，1口'分別向上平移一個單位可得卜=62"2+1、y=i+in?7T,而f(x)

與g(x)關(guān)于V=x對稱，

...當(dāng)兩條曲線在P、。處的切線均與y=x+】平行時，p、。關(guān)于y=x+i對稱，『。|有最小，對應(yīng)曲線平移到

/(x)、g(x)后，p、。關(guān)于y=x對稱即可,

?,?令￡=x+1>0,貝lJ/(x)=相(力=e2t,

，,、3ln2.../ln2、1In21、

??根(力=2e-=1有，=--—,則皿--—)=即nil尸(一一—,

JIn2

P至ljy=x的距離,_5+可?_同n2+l),

^/2~~4

應(yīng)(In2+1)

\PQ\=2d=

2

故答案為：-^(ln2+1).

2

變式9.(2023?遼寧葫蘆島?高二統(tǒng)考期末)設(shè)點尸在曲線產(chǎn)V+1(北0)上，點。在曲線丫=?^1&21)上，

則IPQI的最小值為.

【答案】逑

4

【解析】由y=x：+l,得：V=y_l,x=±J71所以，尸犬+1(箕。)與廣47!互為反函數(shù).

它們的圖像關(guān)于y=x對稱.

。在曲線y=d+i(xzo)上，點。在曲線y=GT上，

設(shè)網(wǎng)用/+1),01,5/7^1),

要使IPQ的距離最小，則。應(yīng)在y=』+1(x20)上，

又尸，。的距離為尸或。中一個點到y(tǒng)=x的最短距離的兩倍.

以。點為例，。點到直線y=x的最短距離

d=O=72=72

所以當(dāng)4TT=!，即x=。時"取得最小值述，

則IPQ的最小值等于2、迷=逑.

84

變式10.(2023?黑龍江大興安嶺地?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)點P在曲線y="(a>e)上，點。在曲線y=10g〃X

上，若|PQ|n“n4逆，則”的取值范圍是.

e

【答案】，,+8)

【解析】由函數(shù)y="(a>e)和J=10gaX互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線丫=8對稱，

可先求得點點尸到直線y=x的距離為d,

設(shè)曲線y=a'(a>e)上斜率為1的切線方程為y=x+d

因為y=/lna,令a*lna=l，可得優(yōu)=/一,BP=log,,--,

\na\na

即切線的坐標(biāo)為(log,,「一，J—)

inaIn。

?los---1--------1-

乂由切點到直線y=x距離為,“Inaina,

d=―—

因為|PQ|jW冬旦，所以2ds2立,即°"ln〃Ina亞,即loga'j-----—工一，

,n,n------7=-----3—ln〃inae

eeV2e

因為a>e,可得Ina>1,0<」—<l』og"」—<0,

InaIna

112HU1In---GHF111]1,2

所以■;----log--<-即1Ina<2,HP--------In--W-,

Inainae;------;----3一Inaln?mae

In〃Inae

12

令---=?0<f<1),則，一〃n/K一,

\nae

令g(，)=『Tln1,(()<f<1),可得g'?)=_lnf>0,

所以g(。在區(qū)間(0,1)卜.為單調(diào)遞增函數(shù)，

1111?91

因為g(-)=---ln-=-，所以不等式,—"nd一等價于g(r)4g(一),

eeeeeee

貝即OvJ-sL,所以InaNe,解得aNe"

eInae

故實數(shù)。的取值范圍是［e，,+a>).

故答案為：［，,+8).

變式11.(2023?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測)A8分別是函數(shù))，=e'T和y［圖象上的點，若AB與x軸平

行，則|A邳的最小值是()

l-ln2rl+ln2

A.-----B.------

22

「3-ln2n3+ln2

C.-----D.------

22

【答案】B

【解析】因為A5與-軸平行,設(shè)A3方程為y=m,("00),

y—m[y=m

i，可得..j即A(ln"+1,根)，

{y=e[x=lnm+l

y=m[y=m

由/-7,可得{2「即例/+1,加)，

y=yjx-l[X=〃2+1

所以|AB|=/n2+l-(ln/n+l)=/n2-Inm,

1,丫2_]

設(shè)/(x)=x2-lnx,(x>0),則f'(x)=2x--=—~-

XX

當(dāng)xe(0，￥)時，/'(x)<0，/(x)在(0,乎)上單調(diào)遞減,

當(dāng)凈田)時，/^x)>0,“X)在(0,爭上單調(diào)遞增，

故選：B

變式12.(2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)點尸在曲線y=；e(E上，點。在曲線y=ln(2x-2)上，則|尸。

的最小值為()

A.l-ln2B.夜(l-ln2)

C.I+In2D.72(1+In2)

【答案】B

【解析】令r=x-l,則y=；e',y=ln2r這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于，=x對稱.

所以y=ge('f與y=ln(2x-2)的圖象可以看成是由y=ge',y=ln2f這兩個函數(shù)圖象向右平移個單位得

到的.

所以|的最小值即為曲線y=；e'與y=In2f上兩點的最小值.

曲線y=ge'上的點到直線y=x的距離為[臼

2127d=HT

設(shè)=>0),則r(0=^e,-i.

由尸(r)=ge'-120可得rNIn2,由尸(r)=ge‘一l<0可得0<t<ln2

所以/⑺=ge'—&>0)在(0,In2)上單調(diào)遞減，在(In2,收)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)t=ln2時，函數(shù)f(f)mM=In2,所以"而“=二^

由圖象關(guān)于y=x對稱得：|PQ|的最小值為241M=2xL^=&(l-ln2).

故選：B

題型六：橫向距離

YI

例16.(2023?重慶永川?高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谥?已知函數(shù)〃x)=，，g(x)=ln]+；的圖象

分別與直線y=M">())交于48兩點，則|AB|的最小值為()

[3

A.2B.2+ln2C.e2+-D.2e-ln-

22

【答案】B

【解析】因為函數(shù)f(x)=e*,g(x)=ln5+g的圖像與直線，=機分別交于4,B兩點，

‘、(}?

所以A(ln〃z,m),B2e2,/n,其中2丁一5>皿%，且〃2>0，

所以|AB|=2e，n"一In機，

令=2e2-Inx(x>0)'

則/f(x)=2e2_1令〃(x)=o得：x=l.

所以易得：時，”(x)>0；0<x<5時，"(x)<0；

即函數(shù)Mx)在(o,￡)上單調(diào)遞減，在(；,+"上單調(diào)遞增，

因此/i(x"/(；)=2+ln2,即|A四的最小值為2+ln2.

故答案為：B.

例17.(2023?黑龍江佳木斯?高二佳木斯一中?？计谥?直線分別與直線y=3x+3,曲線y=2x+lnx交

于A,B兩點，則IA31的最小值為

B.1D.4

【答案】A

【解析】設(shè)4不。)，8(和。)，貝IJ3玉+3=2々+111%2，/?Xj=-(2x2+lnx2-3),

=1(x-lnx2)+l,令y=；(x-lnx)+l,則y'=；

\AB\=X2-X12J函數(shù)在(0，l)上單調(diào)遞減,在(L+8)

4

上單調(diào)遞增，，k=1時，函數(shù)的最小值為I,故選A.

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

4

例18.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線。1：丁2=戊(￥>()/>0)在點加(：2)處的切線與曲線。2：尸爐

相切，若動直線分別與曲線C1、G相交于A、B兩點,則|4卻的最小值為

ln3+lln3-l-l+ln2l-ln2

B.------C.------D.------

322

【答案】D

1

y2=tx{y>0)y=匹:k

【解析】

x

y'=ee"='=:.\--x0=2-e*e%x0+1-e*=0

4L。4

^f(x)=exx+l-ex,f\x)=exx>0恒成立，故］(無)單調(diào)遞增,又"0)=0故%=0j=4

22i1

r

故=7i—I"。，令y=—Ina,y=———=0=>a=>/2ymin=y(V2)=——In>/2>0

442a2

BA8|mM=l黑,選口

變式13.（2023?黑龍江哈爾濱,哈爾濱市第一中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)"x）=/-lnxxW乎，函數(shù)

\7

g（x）=x—直線y=f分別與兩函數(shù)交于A、B兩點、,則|鈿|的最小值為（）

A.!B.1C.-D.2

22

【答案】A

【解析】設(shè)Aq,。，8?,。，則r=x：-inX1,r=x2-1,消去，得々=T-ln±+；.

所以|4叫=卜2-%|=x"lnx1+g-X1,其中王士#.

令-inx+g-x,x>g

....\c12x2-x-\(2x+l)(x-l)

則h1fr(x}=2x----1t=---------=1----------L,

XXX

當(dāng)孝<X<1時，〃(x)<o,當(dāng)X>1時，〃'(x)>0.

故M力在乎』上為減函數(shù)，在(1，+8)上為增函數(shù),

所以=所以|A5|的最小值為?

故選：A.

變式14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=e2，，g（x）=lnx+；的圖像分別與直線y=方交于A,B

兩點，則IA例的最小值為（）

2+ln2

A.1B”cD.e--

2

【答案】c

【解析】由題意，A(；lnb,q,“-旬，其中eT>glnb,且b>0,

_111

貝ij//(x)=eX2一三=0時，解得x=],

所以0<xv；時，〃'(x)<0；X〉]時，

則〃(外在(o,g)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，|A8L.=手，

故選：C.

變式15.(2023?江蘇?高二專題練習(xí))函數(shù)/(x)=e‘，g(x)=ln]+；的圖象與直線y=帆分別交于A,8兩

點，則|A8|的最小值為()

13

A.e'H—B.2e—In—C.2+In2D.2

22

【答案】C

【解析】由/(x)=e*="nj得x=lnm,

x1

由8(力=1115+5=，〃可得工二26叮，

1

所以|AB|=2e2-Inm

?W_1i

設(shè)/2(加)=2:二一111帆，相>。，貝ij/(〃7)=2e2--,

記E(〃?)=2e"5-'，貝ij/(相)=2e"2+4>。恒成立，

mm"

所以t(m}=即h'(m]=2e*-2?在(0,+。)上單調(diào)遞增，

tnm

且〃'1[=2e0-2=0,

所以當(dāng)時，<0；當(dāng)機>：時，/?4m)>0,

所以/?(〃?)=In〃L2e"'W在(0，；)上單調(diào)遞減,在(g,+8)上單調(diào)遞增,

所以〃(機)面“="[5='I'M；=2+In2,所以|A8|的最小值為2+In2,

故選：C.

變式16.(2023