1.4充分條件與必要條件兩課時學案-高一上學期數(shù)學人教A版

充分條件與必要條件學習目標1．通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系．2．通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系．3．讓學生體會充分條件與必要條件在表達數(shù)學命題和論證數(shù)學結論中的作用，從而培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．知識點一命題、真命題、假命題的概念1．用語言、符號或式子表達的,可以的陳述句叫作命題,其中的語句叫作真命題,的語句叫作假命題.2.中學數(shù)學中的許多命題可以寫成“若，則”“如果，那么”等形式，其中稱為命題的，稱為命題的.知識點二充分條件、必要條件的概念1.下列“若，則”形式的命題中，哪些是真命題?哪些是假命題?(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形;(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等;(3)若，則;(4)若平面內兩條直線和均垂直于直線，則.一般地，“若，則”為真命題，是指.這時，我們就說，由可以推出，記作，并且說，是的條件，是的條件．如果“若，則”為假命題，那么由條件不能推出結論，記作，此時，我們就說不是的條件，不是的條件．【對充分條件的理解】(1)充分條件是某一個結論成立應具備的條件，當命題具備此條件時，就可以得出此結論．(2)只要具備此條件就足夠了，當命題不具備此條件時，結論也有可能成立，【對必要條件的理解】“是的必要條件”的理解：若有，則必有；而具備了，不一定有.知識點三判定定理與充分條件的關系思考：命題“若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形”給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件是“四邊形的兩組對角分別相等”。這樣的充分條件唯一嗎?如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎?事實上，下列命題均為真命題①_____________________________________，則這個四邊形是平行四邊形；②_____________________________________，則這個四邊形是平行四邊形； ③_____________________________________，則這個四邊形是平行四邊形。所以，“四邊形的”“四邊形的”“四邊形的”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件。而命題①②③均是平行四邊形的判定定理。一般地，對給定結論，使得成立的條件是不唯一的；數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個____________條件．知識點四性質定理與必要條件的關系思考：命題“若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等”給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件是“這個四邊形的兩組對角分別相等”。這樣的必要條件唯一嗎?如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的必要條件嗎?④若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的____________________；⑤若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的_____________________； ⑥若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的______________________。所以，“四邊形的”“四邊形的”“四邊形的”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件。而命題④⑤⑥均是平行四邊形的性質定理。一般地，對給定條件，由可以推出的結論是不唯一的；每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個____________條件．題型一充分條件、必要條件的判斷例1下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的充分條件？（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；（4）若，則；（5）若，則；（6）若,為無理數(shù)，則為無理數(shù).[方法總結]判斷充分條件的兩種方法（1）定義法步驟：①分清“條件”與“結論”；②判斷條件能否推出結論；③下結論.（2）集合法：已知A＝{|滿足條件}，B＝{|滿足條件}．若A?B，則是的充分條件．變式訓練1下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的充分條件？（1）若平面內點在線段的垂直平分線上，則；（2）若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；（3）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積比等于周長比的平方.例2下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的必要條件？（1）若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等，；（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；（4）若，則；（5）若，則；（6）若為無理數(shù)，則,為無理數(shù).[方法總結]判斷充分條件的兩種方法（1）定義法步驟：①分清“條件”與“結論”；②判斷結論能否推出條件；③下結論.（2）集合法：已知A＝{|滿足條件}，B＝{|滿足條件}．若B?A，則是的必要條件．變式訓練2下列“若則”形式的命題中，哪些命題中的是的必要條件？（1）若點P是線段AB的垂直平分線上的點，則PA=PB（2）若一個四邊形是正方形，則這個四邊形的四個角都是直角（3）若一個四邊形是菱形，則這個四邊形是軸對稱圖形題型二利用充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍例3是否存在實數(shù)p，使“4x＋p＜0”是“x＞2，或x＜－1”的充分條件？若存在，求出p的取值范圍；若不存在，請說明理由．[方法總結]利用充分條件與必要條件求參數(shù)的取值范圍問題，常用集合法求解．（1）化簡集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}．（2）根據(jù)p與q的關系(充分條件、必要條件等)，得出集合A與B之間的包含關系．（3）列出相關不等式(組)(也可借助數(shù)軸)，解得參數(shù)的取值范圍．變式訓練3已知條件p：1－x＜0，條件q：x＞a.若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．充要條件學習目標使學生正確理解充要條件的概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)(重點)會對某些命題的充要條件進行證明，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)（難點）知識點一充要條件1．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有，又有，就記作，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為條件.2．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p?q，那么p與q互為條件.3.“?”的傳遞性：若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．知識點二命題p與q的四個關系（1）如果原命題“若”為真，逆命題“若”為假，即，那么我們就說：____________________________（2）如果原命題“若”為真，逆命題“若”為真，即，那么我們就說：__________________________（3）如果原命題“若”為假，逆命題“若”為真,即，那么我們就說：________________________（4）如果原命題“若”為假，逆命題“若”為假,即，那么我們就說：_____________________________________知識點三充分必要條件與集合的關系設A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}推出關系pq且q?pp?q且qpp?q且q?ppq集合關系ABABABAB條件關系p是q的條件p是q的條件p是q的條件p是q的條件題型一充要條件的判斷例1下列各題中，哪些是的充要條件？四邊形是正方形，四邊形的對角線互相垂直平分兩個三角形相似，兩個三角形三邊成比例變式訓練1下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；（2）p：⊙O內兩條弦相等，q：⊙O內兩條弦所對的圓周角相等；（3）p：A∩B為空集，q：A與B之一為空集.變式訓練2下列各題中，判斷p是q的什么條件（請用充分不必要、必要不充分、充要條件、既不充分也不必要來表示）（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形；（2）p：一元二次方程有實數(shù)根，q：；（3）p：，q：；（4）p：，q：；（5）p：，q：變式訓練3已知A＝{|滿足條件}，B＝{|滿足條件}，（1）如果A?B，那么是的什么條件？（2）如果B?A，那么是的什么條件？（3）如果A=B，那么是的什么條件？題型二充要條件的證明例2已知：⊙O的半徑為r，圓心O到是直線l的距離為d.求證：d=r是直線l與⊙O相切