7.3萬有引力理論的成就-高一物理講義（人教2019）

第七章萬有引力與宇宙航行第3課萬有引力理論的成就目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.了解萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用．2．會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量和密度．3．掌握綜合運(yùn)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)分析具體問題的方法.1、物理觀念：萬有引力定律的應(yīng)用。2、科學(xué)思維：萬有引力定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用。3、科學(xué)探究：計(jì)算中心天體的質(zhì)量和密度。4、科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：預(yù)言哈雷彗星回歸、發(fā)現(xiàn)海王星等未知天體。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01“稱量”地球的質(zhì)量1．思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的引力．2．關(guān)系式：mg＝Geq\f(mm地,R2).3．結(jié)果：m地＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量．4．推廣：若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，可計(jì)算出該星球的質(zhì)量．【即學(xué)即練1】已知金星和地球的半徑分別為R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分別為g1、g2，則金星與地球的質(zhì)量之比為()A.eq\f(g1R12,g2R22)B.eq\f(g1R22,g2R12)C.eq\f(g2R12,g1R22)D.eq\f(g2R22,g1R12)【答案】A【解析】根據(jù)星球表面物體的重力近似等于物體受到的萬有引力有mg＝Geq\f(Mm,R2)，得M＝eq\f(gR2,G)，故eq\f(M金,M地)＝eq\f(g1R12,g2R22)，故選A.知識(shí)點(diǎn)02計(jì)算天體的質(zhì)量1．思路：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力．2．關(guān)系式：eq\f(Gmm太,r2)＝meq\f(4π2,T2)r.3．結(jié)論：m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r就可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量．4．推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，可計(jì)算出行星的質(zhì)量．【即學(xué)即練2】)2019年1月3日，我國探月工程“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功著陸月球背面的預(yù)選著陸區(qū)．在著陸之前，“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器在距月球表面高度約為262km的圓形停泊軌道上，繞月飛行一周的時(shí)間約為8000s，已知月球半徑約為1738km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此可計(jì)算出月球的質(zhì)量約為()A．7.4×1022kg B．6×1024kgC．6.4×1023kg D．2×1030kg【答案】A【解析】根據(jù)Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，代入數(shù)據(jù)解得M≈7.4×1022kg，故選A.知識(shí)點(diǎn)03發(fā)現(xiàn)未知天體、預(yù)言哈雷彗星回歸海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．英國天文學(xué)家哈雷預(yù)言哈雷彗星的回歸周期約為76年．【即學(xué)即練3】地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運(yùn)動(dòng)軌道則是一個(gè)非常扁的橢圓．天文學(xué)家哈雷曾經(jīng)在1682年跟蹤過一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉(zhuǎn)半徑的18倍，并預(yù)言這顆彗星將每隔一定時(shí)間就會(huì)出現(xiàn)．哈雷的預(yù)言得到證實(shí)，該彗星被命名為哈雷彗星．哈雷彗星最近出現(xiàn)的時(shí)間是1986年，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律估算，它下次飛近地球?qū)⒋蠹s在()A．2042年 B．2052年C．2062年 D．2072年【答案】C【解析】設(shè)彗星的周期為T1，地球的公轉(zhuǎn)周期為T2，這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉(zhuǎn)半徑的18倍，由開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k得：eq\f(T1,T2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,R2)))\s\up12(3))＝eq\r(183)≈76，1986＋76＝2062年，即彗星下次飛近地球?qū)⒃?062年，故C項(xiàng)正確．能力拓展能力拓展考法01天體質(zhì)量的計(jì)算計(jì)算中心天體質(zhì)量的兩種方法1．重力加速度法(1)已知中心天體的半徑R和中心天體表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于中心天體對(duì)物體的引力，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得中心天體質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G).(2)說明：g為天體表面的重力加速度．未知星球表面的重力加速度通常這樣給出：讓小球做自由落體、平拋、豎直上拋等運(yùn)動(dòng)，從而計(jì)算出該星球表面的重力加速度．2．“衛(wèi)星”環(huán)繞法(1)將天體的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需的向心力都來自萬有引力，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)這種方法只能求中心天體質(zhì)量，不能求環(huán)繞星體質(zhì)量．【典例1】(多選)一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則地球的質(zhì)量可表示為()A.eq\f(4π2r3,GT2)B.eq\f(4π2R3,GT2)C.eq\f(gR2,G)D.eq\f(gr2,G)【答案】AC【解析】根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，M＝eq\f(4π2r3,GT2)，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；在地球的表面附近有mg＝Geq\f(Mm,R2)，則M＝eq\f(gR2,G)，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．考法02天體密度的計(jì)算若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)(1)將M＝eq\f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq\f(3g,4πGR).(2)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).【典例2】假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉(zhuǎn)．(1)若衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，則該天體的密度是多少？(2)若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度是多少？【答案】(1)eq\f(3πR＋h3,GT12R3)(2)eq\f(3π,GT22)【解析】設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M.(1)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時(shí)，Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T12)(R＋h)，則有M＝eq\f(4π2R＋h3,GT12)天體的體積為V＝eq\f(4,3)πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT12R3)(2)衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T22)R，則有M＝eq\f(4π2R3,GT22)故ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT22).分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球與月球之間的距離（兩球中心之間的距離）為L。月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為T1，地球自轉(zhuǎn)的周期為T2，地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期為T3，假設(shè)公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都視為圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力常量為G，由以上條件可知（）A．地球的質(zhì)量為B．太陽的質(zhì)量為C．地球的密度為ρ=D．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的加速度為a=【答案】D【解析】A．月球繞地球公轉(zhuǎn)時(shí)，根據(jù)萬有引力提供向心力可得故A錯(cuò)誤；B．地球繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，地球中心到太陽中心的距離未知，無法求解太陽的質(zhì)量，故B錯(cuò)誤；C．物體在地球表面繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，設(shè)其周期為，根據(jù)萬有引力提供向心力可得根據(jù)密度公式可知地球的密度為但是繞地球表面的物體的周期，故C錯(cuò)誤；D．月球繞地球公轉(zhuǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得故D正確。故選D。2．在某行星表面做一個(gè)豎直上拋實(shí)驗(yàn)，得到質(zhì)量為m=1kg的物體離行星表面高度h隨時(shí)間t的變化關(guān)系，如圖所示，已知萬有引力常量為G，物體只受萬有引力，不考慮行星自轉(zhuǎn)的影響，則可以求出（）A．該行星的半徑B．該行星的質(zhì)量C．該行星近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度D．物體在該行星表面受到的萬有引力大小【答案】D【解析】AB．由圖可知，物體上升的最大高度為25m，物體上升時(shí)間為2.5s，則解得行星表面的重力加速度為在行星表面萬有引力等于重力，即由此可知，已知萬有引力常量和行星表面的重力加速度，不可以求出行星的半徑和行星的質(zhì)量，故AB錯(cuò)誤；C．對(duì)近地衛(wèi)星，萬有引力提供向心力，即解得衛(wèi)星的環(huán)繞速度為由于行星半徑未知，所以不可以求出近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故C錯(cuò)誤；D．物體在行星表面的萬有引力等于物體的重力，故D正確。故選D。3．1789年英國物理學(xué)家卡文迪許測(cè)出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。若已知引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間為T2（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離為L1，地球中心到太陽中心的距離為L2。下列說法正確的是（）A．地球的質(zhì)量B．太陽的質(zhì)量C．月球的質(zhì)量D．由題中數(shù)據(jù)可求月球的密度【答案】B【解析】A．若不考慮地球自轉(zhuǎn)，根據(jù)地球表面萬有引力等于重力，有則故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)太陽對(duì)地球的萬有引力提供向心力，有則故B正確；CD．由題中數(shù)據(jù)無法求出月球的質(zhì)量，也無法求出月球的密度，故CD錯(cuò)誤。故選B。4．月球，地球唯一的一顆天然衛(wèi)星，是太陽系中第五大的衛(wèi)星。航天員登月后，觀測(cè)羽毛的自由落體運(yùn)動(dòng)，得到羽毛的速度隨時(shí)間變化的圖像如圖所示。已知月球半徑為，引力常量為，則（）A．月球表面的重力加速度大小為B．月球表面的重力加速度大小為C．月球的平均密度為D．月球的平均密度為【答案】D【解析】AB．由圖像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小為故AB錯(cuò)誤；CD．根據(jù)月球表面上的物體受到的萬有引力等于重力，即月球密度聯(lián)立以上各式得月球的平均密度為故C錯(cuò)誤，D正確。故選D。5．2021年2月10日19時(shí)52分，我國首次火星探測(cè)任務(wù)“天問一號(hào)”探測(cè)器實(shí)施近火捕獲制動(dòng)，成功實(shí)現(xiàn)環(huán)繞火星運(yùn)動(dòng)，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。我國航天局發(fā)布了由“天問一號(hào)”拍攝的首張火星圖像（如圖）。在“天問一號(hào)”環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為，軌道半徑為，已知火星的半徑為，引力常量為，不考慮火星的自轉(zhuǎn)。下列說法正確的是（）A．火星的質(zhì)量B．火星的質(zhì)量C．火星表面的重力加速度的大小D．火星表面的重力加速度的大小【答案】A【解析】AB．設(shè)“天問一號(hào)”的質(zhì)量為，萬有引力提供向心力，有得故A正確，B錯(cuò)誤；CD．不考慮火星自轉(zhuǎn)，則萬有引力提供重力，有將代入可得故CD錯(cuò)誤。故選A。6．2022年1月20日，中國國家航天局發(fā)布了由環(huán)繞火星運(yùn)行的天問一號(hào)探測(cè)器及其正在火星表面行走的祝融號(hào)火星車發(fā)送回來的一組包含探測(cè)器與火星合影新圖像引起了西方媒體的廣泛關(guān)注。已知天問一號(hào)探測(cè)器繞火星運(yùn)動(dòng)的周期為T，火星的半徑為R，“祝融號(hào)”火星車的質(zhì)量為m，在火星表面的重力大小為G1，萬有引力常量為G，忽略火星的自轉(zhuǎn)，則下列不正確的是（）A．火星表面的重力的加速度為 B．火星的質(zhì)量為C．火星的平均密度為 D．天問一號(hào)距火星地面的高度為【答案】B【解析】A．設(shè)“祝融號(hào)”火星車的質(zhì)量為m，設(shè)火星表面的重力加速度為，“祝融號(hào)”質(zhì)量不變，在火星表面解得選項(xiàng)A正確；B．忽略火星的自轉(zhuǎn)，設(shè)火星質(zhì)量為M，在火星表面上則有解得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．火星的平均密度為選項(xiàng)C正確；D．天問一號(hào)繞火星運(yùn)動(dòng)過程有解得天問一號(hào)距地面的高度為選項(xiàng)D正確。本題選不正確項(xiàng)，故選B。題組B能力提升練7．為了對(duì)火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測(cè)，我國于2021年發(fā)射“天問一號(hào)”火星探測(cè)器。假設(shè)“天問一號(hào)”被火星引力捕捉后先在離火星表面高度為h的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期分別為；制動(dòng)后在近火的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為，火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，萬有引力常量為G。僅利用以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A．可以求得“天問一號(hào)”火星探測(cè)器的密度為B．可以求得“天問一號(hào)”火星探測(cè)器的密度為C．可以求得火星的密度為D．由于沒有火星的質(zhì)量和半徑，所以無法求得火星的密度【答案】C【解析】A．根據(jù)萬有引力提供向心力將“天問一號(hào)”的質(zhì)量約掉，無法求得“天問一號(hào)”的密度，A錯(cuò)誤；B．有A項(xiàng)分析可知，B錯(cuò)誤；C．根據(jù)萬有引力提供向心力求得火星的密度C正確；D．由C項(xiàng)分析可知，D錯(cuò)誤．故選C。8．（多選）假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為；地球近地衛(wèi)星的周期為T；引力常量為G。地球的密度為（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】AB．設(shè)地球半徑為R，由萬有引力定律在兩極和赤道分別有設(shè)地球的密度為，則地球質(zhì)量為聯(lián)立三式可得故A錯(cuò)誤，B正確；CD．由近地衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑等于地球半徑，萬有引力提供向心力聯(lián)立兩式解得故C錯(cuò)誤，D正確。故選BD。9．（多選）中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來自火星。某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料（如圖所示）計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的公式，正確的是（引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響）（）A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝【答案】ACD【解析】設(shè)近地衛(wèi)星的質(zhì)量為，火星的質(zhì)量為，對(duì)近地衛(wèi)星，火星的萬有引力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有可得火星的密度為將代入上式可得又火星對(duì)近地衛(wèi)星的萬有引力近似等于近地衛(wèi)星的重力，則有解得火星的密度為故ACD正確，B錯(cuò)誤。故選ACD。10．（多選）中國首次火星探測(cè)任務(wù)“天問一號(hào)”已于2021年2月10日成功環(huán)繞火星。火星公轉(zhuǎn)軌道半徑是地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的，火星的半徑為地球半徑的，火星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的，火星探測(cè)器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（探測(cè)器可視為火星的近地衛(wèi)星），探測(cè)器繞火星運(yùn)行周期為T，已知火星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道都可近似為圓軌道，地球和火星可看作均勻球體，則（）A．火星的公轉(zhuǎn)周期和地球的公轉(zhuǎn)周期之比為B．火星的自轉(zhuǎn)周期和地球的自轉(zhuǎn)周期之比為C．探測(cè)器環(huán)繞火星表面運(yùn)行速度與環(huán)繞地球表面運(yùn)行速度之比為D．火星的平均密度為【答案】CD【解析】AB．設(shè)太陽質(zhì)量為M，火星、地球質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，公轉(zhuǎn)周期分別為T1、T2，則解得故A、B錯(cuò)誤；C．設(shè)火星、地球的半徑分別為R1、R2，探測(cè)器質(zhì)量為m，運(yùn)行速度分別為v1、v2，則解得故C正確；D．探測(cè)器繞火星表面附近運(yùn)行時(shí)，有整理