題目二幾何綜合型

題目二幾何綜合型課標(biāo)要求解讀特征分析幾何型綜合題考查的知識(shí)點(diǎn)多，條件隱蔽，要有較強(qiáng)的理解能力、分析能力、解決問(wèn)題的能力，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法有較強(qiáng)的駕馭能力，并有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力；常以全等和相似與三角形、四邊形、圓的有關(guān)知識(shí)作為考查重點(diǎn)，并貫穿幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)，以證明、計(jì)算等題型出現(xiàn)；(1)幾何計(jì)算是以幾何推理為基礎(chǔ)的計(jì)算，主要有線段和弧的長(zhǎng)度的計(jì)算，三角函數(shù)值的計(jì)算，以及各種圖形面積的計(jì)算等；(2)幾何論證綜合題主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)的能力.類型思路1.幾何論證型綜合題，常以相似形、圓的知識(shí)為背景，串聯(lián)其它幾何知識(shí)．順利解決幾何型綜合問(wèn)題取決于下列因素：(1)熟悉各種常見(jiàn)問(wèn)題的基本證明；(2)能準(zhǔn)確添加基本輔助線；(3)對(duì)復(fù)雜圖形能進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸馀c組合；(4)善于選擇證明的起點(diǎn)并善于轉(zhuǎn)化問(wèn)題.2.幾何計(jì)算型綜合題，其中以線段的計(jì)算最為常見(jiàn)，線段的計(jì)算通常是通過(guò)勾股定理、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等所提供的等式進(jìn)行，這些等式可以根據(jù)不同的已知條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組；三角函數(shù)值的計(jì)算，一般在直角三角形中進(jìn)行.核心要點(diǎn)突破 一、三角形與四邊形綜合型三角形，特別是等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)，三角形的全等與相似，往往將上述知識(shí)綜合在一起，產(chǎn)生綜合性較強(qiáng)的壓軸題．【典例1】(2014·浙江紹興)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行于x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連接OB，動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APQ＝90°，PQ交x軸于點(diǎn)C. (1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，1)，求PA的長(zhǎng)． (2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，求PA∶PC的值． (3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上時(shí)，點(diǎn)D是直線OB與直線CA的交點(diǎn)，點(diǎn)E是直線CP與y軸的交點(diǎn)，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA∶PC的值．解(1)∵點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，1)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，1)．∴PA的長(zhǎng)為2.(2)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，∴OA＝AB.∵∠OAB＝90°，∴∠AOB＝∠ABO＝45°.∵∠AOC＝90°，∴∠POC＝45°.∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，∴PM＝PN，∠ANP＝∠CMP＝90°.∴∠NPM＝90°.∵∠APC＝90°.∴∠APN＝90°－∠APM＝∠CPM.在△ANP和△CMP中，∵∠APN＝∠CPM，PN＝PM，∠ANP＝∠CMP，∴△ANP≌△CMP.∴PA＝PC.∴PA∶PC的值為1∶1.(3)①若點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點(diǎn)為F，如圖2所示．②若點(diǎn)P在線段OB的反向延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點(diǎn)為F，如圖3所示．[類題通法]1．綜合運(yùn)用角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理、勾股定理等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)；2．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中要注意發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，思考要全面，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題往往要分類討論． 二、圓的綜合型圓的綜合題往往離不開圓的切線、直徑、圓周角，易產(chǎn)生直角三角形、等腰三角形和等邊三角形，形成全等三角形和相似三角形，從而產(chǎn)生綜合性較強(qiáng)的壓軸題．解①連接CD，如圖1所示．∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴CE＝CD.∴∠E＝∠CDE.∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°.∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°.∴∠F＝∠CDF.∴CD＝CF.∴CE＝CD＝CF.∴結(jié)論“CE＝CF”正確．②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示．∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°.∵AB＝8，∠CBA＝30°，(3)當(dāng)AD＝2時(shí)，連接OC，如圖3所示．∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等邊三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°.∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2.∴AD＝DO.∴∠ACD＝∠OCD＝30°.∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠ECA＝∠DCA.∴∠ECA＝30°.∴∠ECO＝90°.∴OC⊥EF.∵EF經(jīng)過(guò)半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切．∴結(jié)論“EF與半圓相切”正確．∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴ED⊥AC.∴∠AGD＝90°.∴∠AGD＝∠ACB.∴ED∥BC.∴FH＝DH.∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°.∴BF＝BD.∴∠FBH＝∠DBH＝30°.∴∠FBD＝60°.∵AB是半圓的直徑，∴∠AFB＝90°.∴∠FAB＝30°.⑤∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱．∴EF掃過(guò)的圖形就是圖5中陰影部分．答案①、③、⑤[類題通法]1．理解圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，會(huì)根據(jù)這些定理做出輔助線，構(gòu)造直角三角形；2．由于圓中較多相等的角，所以易產(chǎn)生全等三角形和相似三角形． 三、幾何應(yīng)用綜合型幾何應(yīng)用綜合型問(wèn)題往往題干較長(zhǎng)、信息量大、設(shè)問(wèn)多、計(jì)算量大．【典例3】(2014·陜西)問(wèn)題探究 (1)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形△APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)；(2)如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD＝6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF＝90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；問(wèn)題解決(3)有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，問(wèn)在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB＝60°？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)①作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，如圖①，則PA＝PD.∴△PAD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.又∵PA＝PD，∴△ABP≌△DCP(HL)．∴BP＝CP.∵BC＝4，∴BP＝CP＝2.②以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P′，如圖①.則DA＝DP′.∴△P′AD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°.∵AB＝3，BC＝4，∴DC＝3，DP′＝4.綜上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA＝PD，則BP＝2；以EF為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②.∵AD⊥BC，AD＝6，∴EF與BC之間的距離為3.∴OQ＝3，∴OQ＝OE＝3.∴⊙O與BC相切，切點(diǎn)為Q.∵EF為⊙O的直徑，∴∠EQF＝90°.過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②.∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ.∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ＝90°，OE＝OQ，∴四邊形OEGQ是正方形．∴GQ＝EO＝3，EG＝OQ＝3.∵∠B＝60°，∠EGB＝90°，EG＝3，(3)在線段CD上存在點(diǎn)M，使∠AMB＝60°.理由如下：以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K.設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為H