2023年高考數(shù)學強基計劃模擬試卷24 含答案

2023年高考數(shù)學強基計劃模擬題(二十四)

(滿分100分，測試時間：60分鐘)

一、填空題(每小題10分)

1.若正項遞增等比數(shù)列｛aj滿足1+a4—a6+A(as—a7)=0(2GR),則+4a9的最

小值為.

2.不等式V%2-2x+2+yjx2-2V2x+4<聲的解集為.

3.設復數(shù)z「Z2滿足%|=%+Z2I，zrz2-a(l-V3i)>其中t是虛數(shù)單位,a是非零

實數(shù)，則含=.

4.已知方程*-2*+/0=0在(_2,2)內(nèi)恰有兩個實根，則k的取值范圍是.

2

5.設a,b,c為實數(shù)，a,cHO,方程a/+.+c=0的兩個虛數(shù)根%]，不滿足v」為

x2

實數(shù)，則比紿("等于.

6.已知存在正整數(shù)a,b,c滿足a+b+c=407,10n\abc,貝!]n的最大值為

二、解答題(每小題20分)

7.一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為4e的正四面體容器內(nèi)可向各個方向自由運動,

則該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是多少?

8.求單位圓內(nèi)接正n邊形的任意一頂點到其他各頂點距離的乘積.

答案

1.【答案】4

【解析】解:設正項遞增等比數(shù)列｛%｝的公比為q,則q>l.

因為1+—。7)=°，

1

所以1+一。6+4式04-。6)=0，即1+(1+勿)(。4一。6)=0，也即G6-。4=亞元，

421

故。8+2a9=a8(l+2q)==熱=q-1+尹+2>4.

2.【答案】｛%|x=4—2或｝

【解析】解：設P=-2%+2+/產(chǎn)一2岳+4=J(x-1)2+(0—+

J(x-V2)2+(0-V2)2>

則P可看成x軸上的點(x,0)到兩點4(1,1),B(夜,企)間的距離之和，

則4關于x軸的對稱點為4(1,-1)，此時P>\A'B\=V6.

而不等式為PW傷，因此「=乃，此時x為直線AB與％軸的交點的橫坐標.

又直線4B的方程為y+1=建|(x-1),令丫=0有x=4-2a,

故不等式的解集為｛x|x=4-2V2｝.

3【答案】匚歲

【解析】解：由憶1]=區(qū)+z2|,得zMi=(z1+z2)(z1+&)，整理得Z1，2+5遙2+Z2&=0-

又5逐2=a(l—V3i),ztz2=a(l+V5i)，

所以少2=-2①言=籍=喜=一儡=三"

4.【答案】(-1-皮)

5.【解析】本題考查函數(shù)零點的應用，屬于中檔題.

直接對原函數(shù)求導，分析導函數(shù)的極值點和零點，從而得出上的取值范圍.

【解答】

解：設函數(shù)f(x)=xe-2x+k,則問題等價于函數(shù)/(x)在(-2,2)內(nèi)有兩個零點.

又f'(x)=(1-2x)e-2x,

則易知函數(shù)/"(x)在(-琮)上單調(diào)遞增，在&,2)上單調(diào)遞減.

要使函數(shù)/(x)在(-2,2)內(nèi)有兩個零點，

伍》>0佳+k>

則其充要條件為《/(一2)<o，BP"-2e4+fc<0>則—=<k<—捺

(/⑵<09+卜<0,

故答案為(一擊,一弓).

5.【答案】0

【解析】注意最為實數(shù)，且葛=￡=學=9短6R,再轉化利用1的虛立方根特點即可求

得.

6.【答案】6

【解析】當a,b,c的值為250,123,32時可滿足條件，故n>6.又由不等式abc<（等￡尸

可得n<7.

7.【答案】

通過空間想象不難發(fā)現(xiàn)，在正四面體的一個面上，小球最靠近邊的切點的軌跡仍為一正三角

形，考查切點為該正三角形頂點的情況，此時小球恰與對應三面角的三個面均相切，如圖所

示，作平面AiBiG〃平面4BC,與小球相切于點。.則小球球心。為正四面體P-4B1C1的中

心，「。1_面4/1的，垂足。為△的中心.因為

11

Up-Ajci=3^A4IBICI'=4,?1°叫，

所以|PD|=4|。。|=4,從而|PO|=|PD|-|。。|=3.記此時小球與面PA8的切點為匕，連

接。Pi，則

22

\PP1\=J|PO|2一|PP1|2=V3-l=2V2.

現(xiàn)在考查小球在正四面體一個面上所有切點組成的平面區(qū)域，記為PiEF,如圖J2所示（陰影

部分）.過Pi作PiM1P4于點M,由NMPPi=I，得

\PM\=\PP1\COS/LMPP1=2V2-y=V6>

故小三角形的邊長

|PiE|=\PA\-21PMi=4V6-2V6=2V6.

因此平面區(qū)域PiEF的面積

SMIEF=，?(2㈣2=6V3，

從而小球與面P4B不能接觸到的部分的面積

S=ShPAB-S“$F=245-6V3=18V3.

由對稱性且四面體共4個面，知小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為18百x4=72b.

8.【答案】

如圖所示，設圓內(nèi)接正n邊形的頂點對應的復平面上的點為Zi，Z2,…，z”，且由于為單位

圓，故內(nèi)接正兀邊形所對應的頂點為Z”=1的71個方根Z「Z2,???,Zn,且必有一根為1,不

妨設為Z]=1(即X軸與圓的正交點)，于是有

n

Z-1=(z-z1)(z-z2)-(z-zn),

即(由Zi=1)

nn-1n2

Z—1=(Z—l)(z+Z~4---卜Z+1)=(z—l)(z—Z2)???(z—Zn),

nn2

所以Z-1+Z~4---1-Z+1=(z-Z2)???(z-Zn).

由復數(shù)的幾何意義可知氏-Zzl