2023年中考數(shù)學練習-二次函數(shù)與四邊形綜合

2023年中考數(shù)學高頻考點突破一二次函數(shù)與四邊形綜合

1.如圖所示，拋物線y=f+?χ+c經(jīng)過點4(2,-3)與C(0,-3),與X軸負半軸的交

點為B.

(1)求拋物線的解析式與點3坐標；

(2)若點。在X軸上，使AABD是等腰三角形，求所有滿足條件的點。的坐標；

(3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，若以A、B、M、N為頂點的四邊形

是平行四邊形，其中A8〃MN,請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標.

2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+4x+5與y軸交于點A,與X軸的正半軸交

于點C.

(1)求直線AC解析式；

(2)過點A作AD平行于X軸，交拋物線于點。，點尸為拋物線上的一點(點尸在AO

上方)，作EF平行于y軸交AC于點E,當四邊形AFz)E的面積最大時？求點F的坐

標，并求出最大面積；

(3)若動點P先從(2)中的點F出發(fā)沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線對稱軸上點M處，

再沿垂直于y軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，然后沿適當?shù)穆窂竭\動到點C停止，當

動點P的運動路徑最短時，求點N的坐標，并求最短路徑長.

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=0r2+?r+c與X軸交于A(-2,O),B(8,0)

兩點，與y軸交于點C，且OC=2OA,拋物線的對稱軸X軸交于點D

(I)求拋物線的解析式;

(2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點，設點P點的橫坐標為m,

且S&CDP=」比SAABC，求m的值；

20

(3)K是拋物線上一個動點，在平面直角坐標系中是否存在點”，使8、C、K、H為

頂點的四邊形成為矩形？若存在，直接寫出點”的坐標；若不存在，說明理由.

4.如圖，已知直線y=-工x+2與兩坐標軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-L∕+bx+c

22

經(jīng)過點A、B,點P為直線AB上的一個動點，過P作y軸的平行線與拋物線交于C點,

拋物線與X軸另一個交點為D

(1)求圖中拋物線的解析式;

(2)當點P在線段AB上運動時,求線段PC的長度的最大值;

(3)在直線AB上是否存在點P,使得以0、A、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，請求出此時點P的坐標,若不存在，請說明理由.

5.已知拋物線y=工x2+bx+c與X軸交于A(4,0)、3(-2,0),與y軸交于點C

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。為第四象限拋物線上一點，設點D的橫坐標為m,四邊形ABCD的面積為S,

求S與機的函數(shù)關系式，并求S的最值；

(3)點P在拋物線的對稱軸上，且∕BPC=45°,請直接寫出點P的坐標.

6.如圖，在平面直角坐標系Xoy中，O為坐標原點，拋物線y=α(x+3)(X-I)(α>0)

與X軸交于A,8兩點(點A在點B的左側(cè)).

(1)求點A與點B的坐標；

(2)若。=工，點M是拋物線上一動點，若滿足NMAo不大于45°,求點M的橫坐

3

標機的取值范圍.

(3)經(jīng)過點8的直線/：y=丘+b與y軸正半軸交于點C與拋物線的另一個交點為點

D,且CO=4BC.若點P在拋物線對稱軸上，點Q在拋物線上，以點、B,D,P,Q為

頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.

7.如圖，拋物線y=1χ2+∣?χ-4與X軸分別交于4、B兩點（點4在點B的左側(cè)，）與

y軸交于點C,作直線AC

（1）點B的坐標為,直線AC的關系式為.

（2）設在直線AC下方的拋物線上有一動點P,過點P作X軸于。，交直線AC于

點E,當CE平分NoEP時求點P的坐標.

（3）點M在X軸上，點N在拋物線上，試問以點A、C、N為頂點的四邊形能否成

為平行四邊形？若存在，直接寫出所有點M的坐標；若不存在，請簡述你的理由.

（1）求點A的坐標;

（2）點8為拋物線上橫坐標等于-6的點，點M為線段OB的中點，點P為直線OB下

方拋物線上的一動點.當APOM的面積最大時，過點P作PCLy軸于點C,若在坐標

平面內(nèi)有一動點。滿足PQ=旦，求QC的最小值；

22

（3）當（2）中0。+工QC取得最小值時，直線OQ與拋物線另一交點為點E,作點E

2

關于拋物線對稱軸的對稱點E'.點R是拋物線對稱軸上的一點，在X軸上是否存在點

S,使得以0、E'、R、S為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出S點的

坐標；若不存在，請說明理由.

9.已知，如圖，拋物線y=αγ2+/Zr+c(α≠0)的頂點為M(1,9),經(jīng)過拋物線上的兩點

A(-3,-7)和2(3,〃?)的直線交拋物線的對稱軸于點C.

(1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式.

(2)在拋物線上A、M兩點之間的部分(不包含A、M兩點)，是否存在點。，使得S

△DAC=2SADCM?若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)若點尸在拋物線上，點Q在X軸上，當以點4,M,P,。為頂點的四邊形是平行

四邊形時，直接寫出滿足條件的點P的坐標.

10.已知拋物線y=0x2+fev+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,點P

為第二象限內(nèi)拋物線上的動點.

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點坐標為；

(2)如圖1,連接OP交BC于點。，當SACPD：SABPD=1:2時，請求出點。的坐標;

(3)如圖2,點E的坐標為(0,-1),點G為X軸負半軸上的一點，NOGE=I5°,

連接PE,若NPEG=2N0GE,請求出點P的坐標；

(4)如圖3,是否存在點尸，使四邊形BoCP的面積為8?若存在，請求出點P的坐標;

若不存在，請說明理由.

11.在平面直角坐標系中，二次函數(shù))，=2區(qū)』-生巨χ-2√3的圖象與X軸交于A、B

33

兩點，與y軸交于點C,連接AC、BC.

(1)求AABC的周長；

(2)點P是直線BC下方拋物線上一點，當aBPC面積最大時，在X軸下方找一點Q,

使得AQ+BQ+42PQ最小，記這個最小值是d,請求出此時點P的坐標及d1.

(3)在(2)的條件下，連接AP交y軸于點R,將拋物線沿射線P4平移，平移后的拋

物線記為y',當y經(jīng)過點A時，將拋物線V位于X軸下方部分沿X軸翻折，翻折后所得

的曲線記為N,點ZJ為曲線N的頂點，將aAOP沿直線AP平移，得到AAO戶，在平

面內(nèi)是否存在點7,使以點R、O?T為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫

出0'的橫坐標；若不存在，請說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標系Xoy中，已知拋物線y=αr2-2x+c與直線y=fcv+b都經(jīng)過A

(0,-3)、B(3,0)兩點，該拋物線的頂點為C.

(1)求此拋物線和直線AB的解析式；

(2)設直線AB與該拋物線的對稱軸交于點￡,在射線EB上是否存在一點過M作

X軸的垂線交拋物線于點M使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求

點M的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)設點P是直線AB下方拋物線上的一動點，當APAB面積最大時，求點P的坐標,

并求4P48面積的最大值.

13.已知拋物線y=αx2+&x+4的對稱軸是直線x=3,與X軸相交于4,B兩點(點B在點

2

A右側(cè))，與y軸交于點C.

(I)求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標;

(2)如圖1,若點P是拋物線上8、C兩點之間的一個動點(不與8、C重合)，是否

存在點P,使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點P的坐標及四邊形PBOC面積的

最大值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,若點M是拋物線上任意一點，過點M作)，軸的平行線，交直線BC于點

N,當MN=3時，求點M的坐標.

14.如圖，拋物線y=αr2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點.

(1)求該拋物線的解析式：

(2)如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得四邊形PAoC的周長最小？若存

在，求出四邊形PAOC周長的最小值：若不存在，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，點Q是線段OB上一動點，當ABPQ與ABAC相似時，求點Q

的坐標.

15.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=0x2+?r+l交y軸于點A,交X軸正半軸于點B

(4,0),與過4點的直線相交于另一點。(3,5),過點D作。CJ_x軸，垂足為C.

2

(1)求拋物線的表達式；

(2)點P在線段OC上(不與點。，C重合)，過戶作PNLX軸，交直線AO于

交拋物線于點N,NfiLLAO于點E,求NE的最大值；

(3)若P是X軸正半軸上的一動點，設。尸的長為f.是否存在r,使以點M,C,D,

N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

16.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數(shù))，=-?∣

x2+fec+c的圖象經(jīng)過A、E兩點，且點E的坐標為(-2,0),以OC為直徑作半圓，

3

圓心為D.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求證：直線BE是。。的切線；

(3)若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P,M是線段C8上的一個動點(點M與點B,

C不重合)，過點M作MN〃BE交X軸與點N,連接PM,PN,設CM的長為f,△

PMN的面積為S,求S與f的函數(shù)關系式，并寫出自變量f的取值范圍.S是否存在著最

大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

17.已知如圖，拋物線y=-9χ2Aχ+4交X軸于A、C兩點，點。是X軸上方拋物線

55

上的點，以A,。為頂點按逆時針方向作正方形AOEE

（1）求點A的坐標和拋物線的對稱軸的表達式；

（2）當點尸落在對稱軸上時，求出點。的坐標；

（3）連接OZ）交EF于點G,記OA和EF交于點H,當^A∕7∕的面積是四邊形A。EH

面積的JL時，則SAOGH=______.（直接寫出答案）

7SZkOAD

18.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2Λ-2與X軸交于點A,與y軸交于點C?拋

物線y=∕+bx+c經(jīng)過A,C兩點，且與X軸交于另一點8（點8在點A右側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式及點B坐標；

（2）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交X軸于點E交拋物線

于點E.求ME長的最大值；

（3）試探究當ME取最大值時，在拋物線上是否存在點P,使以M,F,B,P為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由.

19.如圖，直線y=」x+2分別與X軸、y軸交于C、。兩點，二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖

2

象經(jīng)過點O,與直線相交于點E,且CO：DE=4：3.

(1)求點E的坐標和二次函數(shù)表達式；

(2)過點。的直線交X軸于點M.

①當。M與X軸的夾角等于2NOCO時，請直接寫出點M的坐標；

②當。MLCQ時，過拋物線上一動點P(不與點。、E重合)，作。M的平行線交直線

CZ)于點。，若以。、M、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點尸的橫坐標.

20.如圖，已知拋物線y=0r2+bx+3過點A(-1,0),B(3,0),交y軸于點C,點M

是該拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點，ME,X軸于點E,交線段BC于點O,MN〃x軸,

交)，軸于點N

(1)求拋物線y=αr2+6x+3的表達式；

(2)若四邊形MNoE是正方形，求該正方形的邊長；

(3)連接0。，AC,拋物線上是否存在點M,使得以點C,O,。為頂點的三角形與△

ABC相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在請說明理由.

參考答案：

1.【解答】解：(1)：拋物線y=f?r+c經(jīng)過點A(2,-3)與C(0,-3)

.?4+2b+c=-3

*Ic=-3

解得(b=-2,

Ic=-3

拋物線解析式為：y=∕-2χ-3,

當y=0時，解得Xl=3,Xi=-I

:點B在X軸負方向，

二點8坐標為(-1,0)；

(2)作AMLC軸于M,

點M(2,0),AM=3,

.,.AM=BM=3,

：.ZABM=45o

：.AB=3√2

當8A=8。時，若點。在B點左側(cè)，此時點。(-1-3Λ∕5,0),

若點D在B點右側(cè)，此時點D(-1+3加,0),

當Ao=8。時，顯然點。即為點M,坐標(2,0),

當AB=A。時，OM=BA/=3,此時點。(5,0),

綜上所述：點。坐標為(-l-3√5,0),(-l+3√2,0),(2,0),(5,0)；

(3)拋物線解析式為：y=W-2χ-3,

二對稱軸為X=L即點N橫坐標為1,

Y以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，其中

-'-XB-XM=XA-硒或XB-XN=XA-XM，

-1-XM=2-1或-I-I=2-XM>

.'.XM=-2或4,

：.M(4,5)或(-2,5).

2.【解答】解：(1)：拋物線y=-∕+4x+5與y軸交于點A,與X軸的正半軸交于點C.

當X=O時，y=5,則點4(0,5)

當y=0時，0=-Λ2+4X+5,

??犬1=5,X2=~1，

:?點B(-1,0),點C(5,0)

設直線AC解析式為：y=kx+b,

.(b=5

I0=5k+b

解得：P=-I

1b=5

直線AC解析式為：y=-χ+5,

(2)：過點A作AO平行于X軸，

.?.點。縱坐標為5,

Λ5=-JC2+4X+5,

.?.X1=O,X2=4,

，點。(4,5),

：.AD=4

設點尸(x,-X2+4X+5),則點E坐標為(x,-χ+5)

/.EF=-X2+4X÷5-(-x+5)=-X2+5X,

Y四邊形AFoE的面積=LADXEF=2E產(chǎn)=-2√+Iar=-2(X-亙)？+空

222

.?.當X=立時，四邊形AFZ)E的面積的最大值為空，

22

.?.點尸(S,l∑)；

24

(3)；拋物線y=-/+4x+5=-(X-2)2+9,

二對稱軸為x=2,

：.MN=2,

如圖，將點C向右平移2個單位到點H(7,0),過點尸作對稱軸X=2的對稱點G

(芻，正)，連接G4,交直線x=2于點M,

24

'：MN//CH,MN=CH=2,

，四邊形MNCH是平行四邊形,

INC=MH,

?.?動點P的運動路徑=FM+MN+NC=GM+2+MH,

，當點G,點M,點H三點共線時，動點P的運動路徑最小，

.?.動點P的運動路徑最短距離=2+J2+（苧-O）2=2+Yψ□

設直線G”解析式為：y=mx+n,

（353

.?-TVnW

0=7m+n

f_35

ltl--99

直線G4解析式為：)，=-空什笙?，

2222

當x=2時，y=-?i?.,

22

：.點、N(O,.?z?.)

22

3.【解答】解：(1)VA(-2,O),B(8,0)

?*?QA—290B=8,

?/OC=IOA1

：.OC=4,

???點C(0,4)

Y設(X+2)(X-8)經(jīng)過點C,

Λ4=-16。，

工。=-―,

4

；?拋物線解析式為：y=-?(x+2)(X-8)=-工/+3χ+4;

442

(2)如圖1,

由題意：點D(3,0),

.?.OO=3,

設P(.tn,--∏Γ,+-m+4'),Cm>0,-

4242

VC(0,4),

.?.直線PC的解析式可表示為：y=(-‰+l)x+4,

42

設直線PC與對稱軸的交點為E,則點E(3,-‰+ΔI),

42

LDE=-3〃?+JZ,

42

：SZXABC=Lx48XOC,

2

.?.5ΔΛBC=?×10X4=20,

2

?；SACDP=-^5?ΛBC>

20

.?.JLX(-J-rn+Δl)×W=Alx20,

24220

Λwι=4或mi—-≤≤?;

3

(3)若BC為邊，NCBK=90°時，如圖2,將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至∣J8C,

：.BC=BC,ZCBC=W0,

ΛZCBO+ZC=90o,ZCBO+ZOCB=90o,

.??NOC8=NEBC,且8C=3C,NBEC=NBOC=90°,

:ABCO/ABCE(AAS)

；?BE=0C=4,OB=EC=Sf

，點C(4,-8),且B(8,0)

?,?直線3C解析式為：y=2χ-16,

.?.2χ-16=--x1+-χ+4,

42

Λxi=-10,12=8,

???點K(-10,-36),

Vxc-XB=XH-XK，

**.0-8=XH~(-10),

：?XH=-18，

?.?yc-yB=yπ-)?，

:DH=-32,

：.點H(-18,-32),

若BC為邊,NBCK=90°時,

同理可求：直線CK的解析式為：y=2x+4,

.*.2x+4=-?L∕+3χ+4,

42

??Λ,J=-2,X2=。，

；?點K坐標(-2,0)

Vxc-XB=XK-XH，

**.0-8—-2-XH，

Λχ∕y=-6,

^yc-yβ=yκ-”/，

^yH=-4,

，點”(6,-4),

若BC為對角線，

：氏C、K、”為頂點的四邊形成為矩形，

.".BC=KH,BC與K”互相平分，

VB(8,0),C(0,4)

22=4

.?.BC中點坐標(4,2),BC=√OB4QC√64+16=Vs-

設點K(x,-?L∕+3X+4)

42

.?.(X-4)2+(-Λr2+3χ+4-2)2=(2√5)2,

42

.?.x(X-2)2(X-8)=0,

??xi=0,X2=2,X3=8,

,K(2,6),且KH的中點坐標(4,2),

，點，（6,-2）

綜上所述：點//坐標為(6,-4),(6,-2),(-18,-32).

4.【解答】解：(1)直線y=-∕χ+2與兩坐標軸分別交于4、B兩點,

；?當X=O時，y=2f當y=0時，X=4,

???點A(0,2),點B(4,0)

拋物線y=1χ2+bχ+c經(jīng)過點A、B,

...[c=2,

1~8+4b÷c=0

[b=3

解得：?02,

c=2

二拋物線解析式為：y=-JL∕+3X+2;

22

(2)設點C(x,-Ax2+J.x+2),

22

-C尸〃y軸，

點P(x,-—x+2),

2

*22

..PC=yc-yp=-?r+—x+2-(-JLX+2)=-A(X-2)+2.

2222

：點P在線段AB上運動，

Λ0≤x≤4,

當x=2時，線段PC的長度的最大值為2；

(3)假設點P的坐標為(x,-lχ+2),

2

：PCLx軸，

二點C的橫坐標為X,又點C在拋物線上,

.?.點C(x,--X2+-X+2)，

22

①當點P在第一象限內(nèi)時，假設存在這樣的點P,使得四邊形AoPC是平行四邊形，如

圖1,

???四邊形OACP是平行四邊形，

.,.0A=PC=2,

.?.2=-?(χ-2)2+2,

2

?'?x=2,

：?點、P(2,1),

②當點尸在第二象限內(nèi)時，假設存在這樣的點P,使得四邊形AoCP是平行四邊形，如

圖2,

：四邊形OAPC是平行四邊形,

：.OA=PC=I,

.?.2=--lχ+2-(-JL∕+3X+2)

222

/.x2-4X-4=0,

.?.x=2-2&或x=2+2&(舍去)，

：.點P(2-2√2-l+√2))

③當點P在第四象限內(nèi)，假設存在這樣的點P,使得四邊形40CP是平行四邊形，如圖

3,

???四邊形OAPC是平行四邊形，

.,.OA=PC=2,

二2=--Lχ+2-(-A√+J.χ+2)

222

.,.X2-4X-4=0,

Λx^2-2√2(舍去)或x=2+2&,

：.點P(2+2√2,1-√2)，

綜上所述：使得以。、A、RC為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足的點P的坐標為:

(2,1)或(2+2√2.1-√2)或(2-2&,l+√2).

5.【解答】解：(1)拋物線的了表達式為：y=工(χ-4)(x+2)=Ix2-χ-4；

22

(2)設點。Cm,—nr-W-4),

2

+

S=5ΔOBC+5ΔOCD+SΔODΛ?×OB×OC+∣0C-m+∣AO×γo=1×2×4y×4π≈

?×[-(-m2-m-4)]=-Gn-2)2÷16,

22

當帆=2時，S的最大值為16；

（3）ABPC=^5°,則BC對應的圓心角為90°,如圖作圓R,則NBRC=90°,

圓R交函數(shù)對稱軸為點P,過點R作），軸的平行線交過點C與X軸的平行線于點N、交

X軸于點M,設點R（相，〃）.

VZBMR+ZMRB=90o,NMRB+∕CRN=90°,

：?/CRN=/MBR,

NBMR=NRNC=90°,BR=RC,

MBMR絲ARNC(AAS),

：?CN=RM,RN=BM,

即機+2=∕t+4,-n=m,解得：m=lfn=-1,

即點R(l,-1),即點R在函數(shù)對稱軸上，

圓的半徑為：Q(1+2)2+1=71。,

則點尸的坐標為：a,-ι+√I5)或(1,-1-√Io).

6.【解答】解：(1)y—a(x+3)(X-I),令y=0,貝!!尤=1或-3,

故點A、B的坐標分別為：(-3,0)、(1,0)；

(2)拋物線的表達式為：y=λ(x+3)(X-I)…①，

3

當NAMo=45°時，如圖所示，則直線AM的表達式為：y=x+3…②,

聯(lián)立①②并解得：機=x=4或-3(舍去-3),故點M(4,7)；

②∕M'Ao=45°時

同理可得：點M(-2,-1)；

故：-2≤機≤4;

(3)①當2。是矩形的對角線時，如圖2所示，

圖2

過點Q作X軸的平行線EF,過點B作BE_LE尸，過點。作。凡LEE

拋物線的表達式為：y^ax1+2ax-3a,函數(shù)的對稱軸為：X=-1,

拋物線點A、B的坐標分別為：(-3,0)、(1,0),則點尸的橫坐標為：-1,OB

而CD=4BC,則點。的橫坐標為：-4,故點。(-4,5a),即Ho=54,

線段8。的中點K的橫坐標為：土L=-旦，則點。的橫坐標為：-2,則點Q(-2,

22

-3。)，則HF=BE=34,

?；/DQF+NBQE=90°,NBQE+NQBE=90°,.?NQBE=NDQF,

.".?DFQ^?QEB,則JL照，竺解得：a=+2(舍去負值)，

QEBE33a-2

同理APGBZADFQ(AAS),

.?.PG=DF=84=4,故點P(-1,4)；

②如圖3,當8。是矩形的邊時，

作OuX軸，QAaX軸，過點P作PLLO/于點L

同理△「〃￡＞名Z?BNQ(AAS),：.BN=PL=3,

二點Q的橫坐標為4,則點。(4,21?),

則QN=DL=21a,同理aPLOS

.?.FLM,即q-衛(wèi)3解得：〃=+近(舍去負值)，

DIBI5a5-7

Ll=26a=2而,故點尸(-1,2θV7),.

77

綜上，點P的坐標為：PC-I,4)或(-1,26√7).

7

2

7.【解答】解：(1)y=-l-χ+∣.χ-4,令y=0,則x=2或-8,令X=0,則y=-4,

故點A、B、C的坐標分別為：（-8,0）、（2,0）、（0,-4）,

將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=kx+b^:[°=-8k+b解得：.k=^2,

lb=-4

b=-4

故直線AC的表達式為：y=-Ix-4,

2

故答案為：（2,0）,y=-1》-4；

2

（2）如圖，左側(cè)圖是局部放大圖,

：CE平分NOEP時，.?.ZOEC=ZCEP,

：尸?！▂軸，：.NCEP=NECo=NoEC=a,

則aOEC為等腰三角形，

tanZECO=-?0.=2=tanα,則Sina=—

OC√5

過點E作），軸的垂線交于點F,過點。作OH，EC于點H,

設：0H=2x,則CH=X,而O"2+"C2=OC2,即7+4Λ2=16,解得：X=生區(qū)

5

EF-ECsinα-2×故m—--??.,

5√555

則點p(-lθ,-；

525

(3)設：點N(∕π,n)，n=—m2+—m-4,點Λ/(s,O),

42

①當AC是平行四邊形的邊時，

則點A向右平移8個單位向下平移4個單位得到C,

同理N(M)向右平移8個單位向下平移4個單位得到M(N),

BPιn+S=s,〃-4=0或，〃-8=6,?+4=0,而“=工，”2+3加-%

42

解得：s=5±√II或-14,

②當AC是平行四邊形的對角線時，

利用中點公式得：-8=m+s,-4=〃，而"=-4,

42

解得：S=-2；

故點M的坐標為：(5+√II,0)或(5-√41)或(-14,0)或(-2,0).

8.【解答】解：(1)；y=/+4x=(X+2)2-4,

ΛΛ(-2,-4)；

(2)如圖1,過P作P//_Lx軸交OB于H,作尸G_L8C于G,過M作MZ)_Ly軸交y軸

于。，

：點8為拋物線上橫坐標等于-6的點，.?.8(-6,12),

二直線AB解析式為y=-2x

設PCm,rrr+Am),則H(m,-2m)，PH=-2m-(∕n2+4m)--it?-6m

：點M為線段OB的中點，,M(-3,6),.?.MD=3

?.?2”〃丫軸

NPHG=NMOD

VPGlBCMZUy軸

.?.ZPGH=ZMDO

：.叢PGHS∕?MDO

空=亞，即PG?M0=PH?MD=3(-w2-6，〃)=-3渥-18如

PHMO

?SAPOM=-PG?MO=-???2-9w=-—(∕n+3)2+-

2222

?.?-3vθ,當機=-3時，S"OM的值最大，此時P(-3,-3),

2

在尸C上取點T,使得PT=旦，連接QT,OT,

"：PC=3,PQ=工

2

?PT-PQ-I

??>—^^―■≡-^≡a>a"■■一

PQPC2

,.?ZQPT=ACPQ

：.XQPrTsXCPQ

歌哥=/?TQ=1QC,

:.OQ+AQC=OQ+TQ^OT

2

,?,oτ=√OC2-K^τ2=療+停)2=竽

OQ+JiQC的最小值為工∑;

24

(3)：當⑵中0。+」QC取得最小值時，點0、Q、T三點共線，T(Λ,-3)

24

直線。。解析式為y=4χ,

3

8

_4x

yxx1=02^^^

解方程組"3^得.

2y=032

y=x+4Xiy2=r

：.E（衛(wèi)，拋物線對稱軸為直線X=-2,

39

：.E'（-A,_32）,

39

以0、￡'、R、S為頂點的四邊形是平行四邊形，分以下三種情形:

①OR為對角線，-:OE'RS是平行四邊形

.?OS∕∕E'R,OS=E'R=Z,/.Si(2,0)

33

②OS為對角線，：0E'RS是平行四邊形

J.OE'//RS,R(-2,絲)，.?S2(工L0)

93

③。戌為對角線，`:OE'RS是平行四邊形

：.OS//E'R,OS=E'R=2,.?.S3(2,0),

3`3

綜上所述，點S的坐標為：Si（一2,0）,S2（旦，0）,S3（2,0）.

333

9.【解答】解：(1)二次函數(shù)表達式為：y="Cv-1)2+9,

將點A的坐標代入上式并解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-/+2x+8…①，

則點B(3,5),

將點A、B的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得:

直線AB的表達式為：y^2χ-1；

(2)存在，理由：

二次函數(shù)對稱軸為：x=l,則點C(l,1),

過點D作y軸的平行線交AB于點H,

設點。(X,-√+2x+8),點H(x,2A--1),

?：SADAC=2SADCM,

PHDAC=4H(XC-XA)=L(-∕+2Λ+8-2X+1)(1+3)≈A(9-1)(I-X)

222

×2,

解得：X=-I或5(舍去5),

故點。(-1,5)；

(3)設點。(m,0)、點P(s,r),t=-Λ?2+2Λ?+8,

①當AM是平行四邊形的一條邊時，

點M向左平移4個單位向下平移16個單位得到A,

同理，點。Cm,0)向左平移4個單位向下平移16個單位為(m-4,-16),即為點

P,

即：H7-4=s,-?6=t,而f=-$2+26+8,

解得：s=6或-4,

故點尸(6,-16)或(-4,-16)；

②當AM是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：機+s=-2,t=2,而f=-$2+26+8,

解得：S=I±V7>

故點尸(1+√7-2)或(1-√7,2)；

綜上，點P(6,-16)或(-4,-16)或(1?t√7,2)或(1-√7,2).

10.【解答】解：(1)函數(shù)的表達式為：y=α(χ-l)(x+3)="(W+2χ-3),

即：-3α=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-∕-2r+3…①，

頂點坐標為(-1,4)；

(2)'：OB=OC,

.?.NC3O=45°,

β?*S?CPD:SABPD=I:2,

：?BD=2BC=2×3Λ∕2=2√2,

33

yo=BDSinNCBo=2,

則點拉(-1,2)；

(3)如圖2,設直線PE交X軸于點H,

VZOGE=15o,NPEG=2NOGE=30°,

ΛZOHE=45o,

：?0H=OE=1,

則直線”后的表達式為：y=-X-I…②，

聯(lián)立①②并解得：X=-1±行(舍去正值)，

2

故點P(土叵，√∏∑1)；

22

(4)不存在，理由:

連接BC,過點P作y軸的平行線交Be于點H,

直線BC的表達式為：y=x+3,

設點P(x,-X2-2X+3),點、H(x,x+3)，

貝IJS叫邊脛BOCP=SZ?OBC+SAPBC=4X3X3+工(-x2-2x+3-x-3)×3=8,

22

整理得：3∕+9x+7=0,

解得：A<0,故方程無解，

則不存在滿足條件的點P.

11?【解答】解：(1)y—2√3.X2-4√∑x-2√ξ,令x=0,則y=-2我，令y=0,

33

則X=-I或3,

故點A、B、C的坐標分別為(-1,0)、(3,0)、(0,-2√3)，

故：AB=4,BC=√21,AC=√13,

故AABC的周長為4+√五+/；

(2)如圖1,設點P(∕n,&1_機2-空叵機-2我)，過點P作PE〃y軸交BC于

33

點、E,

將點B、C坐標代入一次函數(shù)>=履+8并解得

直線BC的表達式為：y—2√E,點E(加，組《-2后，

33

2λ234

S"BC=L×OB×PE=3(a‰?-2√3--^ffl+-^^w+2√3)=^Vs(m-

22333

3)2+9√1,

24

?.?-√3<0,故當m=3?時，S"BC有最大值切應，此時，點尸(3，-回應)，

2422

在X軸下方任取點Q，連接PQ、BQ、AQ,將aPQB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°到

位置，連接

.?.8O=BQ,ββ-√2PQ.

?AQ+BQ+-∕2PQ=AQ+B'Q+QQ',AQ+BQ+&PQ最小，則A、Q、Q?B'在同一直線

上，NP0Q'=45°.

由點的坐標90°旋轉(zhuǎn)規(guī)律可得:

YB為(3,0),P(旦，-?/?),

22

.?.8坐標為(箜退_^3+5√3),

22

直線的表達式為6一愿

A8y=5~x^-

d2=(AQ+BQ+√2PQ)2=(ABy)2=c^1^)2÷(尹盥)2=46+20√3;

(3)存在，點0'的橫坐標為近二1或二&工或受，迎或殳叵［或」_；

22121215

-且應)代入得

設直線AP解析式為y=爾+〃，將4(-1,0),P(2,

22

-m+n=0平解叱*

3

|巾=-

.?.直線AP解析式為y=-√^χ-√^,令X=0,得y=-√3.

：.R(0,-√3)，

7y-2√3χ2-4√3χ.2√ξ-2√3（X-I）2-&巨，.?.拋物線y的頂點為（1,

3333

皿）,

3

分別過A、P作AHLC軸，PH!_），軸，AH=旦巨，PH=巨，拋物線y沿射線PA平移

22

且經(jīng)過點A,即向左平移$個單位，

2

向上平移回應個單位；

2

.?.平移后的拋物線解析式為V，應（χ4Λ）2巫，頂點為（二巨），

y32626

：.D'（-J.,近），

26

由題意，Z?40P沿直線AP平移，得到440'P,；柜.?.設平移后的點O'（f,

OR√3

~^∏t）,

以點。、R、0?T為頂點的四邊形為菱形，可以分三種情況：

①0，D1=D'R

：.(f+3)2+(-√3f-近)2=(3)2+(-√3-近)2,

2626

解得：√L±,-v?-?,

rI2t22

?…,√5-l-√15+√3.…z-√5-l√15+√3

-0—