專題1.6立體幾何的最值、范圍問(wèn)題（強(qiáng)化訓(xùn)練）

題型一數(shù)量積的最值范圍范圍題型二面積、體積的最值范圍問(wèn)題題型三夾角的最值范圍問(wèn)題題型四距離的最值范圍問(wèn)題題型一數(shù)量積的最值范圍范圍=5，AD=AB=4，M，N，P分別是棱C1D1，BC，CC1上的點(diǎn)，31-------的最小值為()255--------------取值范圍是()3多選）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則.的取值可為()34．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑A一BCD中，ABL平面BCD，ZBDC=90O，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中點(diǎn)，H是ΔABD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界且EHⅡ平面ACD，則.的取值范圍是()5多選）如圖，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．若直線A1P與平面AEF平行，則三棱錐P一AEF的體B．若直線A1P與平面AEF平行，則直線A1B1上存在唯一的點(diǎn)Q，使得DQ與A1P始終垂直=，則EP的最小值為16．一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1,1,，MN是該長(zhǎng)方體外接球的一條直徑，點(diǎn)P是長(zhǎng)方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則.的取值范圍是.（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C1D1中點(diǎn)時(shí)，AP.AC的值為；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP.AC的最大值為.8．已知球O是棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則.的取值范圍為.題型二面積、體積的最值范圍問(wèn)題9．如圖，已知四棱錐P一ABCD中，正三角形PAB的邊長(zhǎng)為2，ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，則四棱錐PABCD的體積的最大值為()為8π,則三棱錐S一ABC體積的最大值為()A2BCDA2BCD11．已知底面為矩形的直四棱柱高為4，體積為16，各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積的最小值是99212．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則該零件表面積的最大值為.13．如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，DBLAB，AB體PBCD的外接球的球心為O，M為球O表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ZMAO取最大值時(shí)，四面體MABD體積的最大值為.14．一個(gè)圓錐母線與底面所成的角為30。，體積為8π,過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為.15．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，M為AB上靠近A的三等分點(diǎn)，N為A1B1上靠近B1的三等分點(diǎn).(1)證明：平面A1MC//平面BEN.(2)若CM平面ABB1A1，BEAB1，CC1與平面ABB1A1的距離為x，A1C=8，AB1=12，三棱錐A1-ACM的體積為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(3)在（2）的條件下，當(dāng)x為多少時(shí)，三棱錐A1-ACM的體積取得最大值？并求出最大值.是上的動(dòng)點(diǎn).(1)求圓柱的側(cè)面積S；(2)求四棱錐P-ABCD的體積V的最大值.題型三夾角的最值范圍問(wèn)題17多選）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足=λ+μ,其中λ=[0,1]，B．當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值C．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，直線BB1和AP所成的角的取值為,D．當(dāng)λ=1時(shí)，直線BP與平面ACC1A1所成角的正弦值范圍是,18多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，G為面對(duì)角線A1D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)則下列選項(xiàng)中正確的有()A．三棱錐B1-GBC1的體積為定值B．線段A1D上存在點(diǎn)G，使A1CL平面GBC1C．當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A1重合時(shí)，二面角G-BC1-B1的余弦值為63D．設(shè)直線BG與平面BCC1B1所成角為θ,則tanθ的最大值為√2---A．PQ的最小值是---C．當(dāng)x=y時(shí)，PB與PQ所成角可能為D．當(dāng)x+y=1時(shí)，AB與平面PAQ所成角正弦值的最大值為620多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段BD1，AD上A．ACLDPB．平面DEP可能經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C1C．PQ的最小值為D．ZAPC的最大值為21．如圖（1）所示，在ΔABC中，AB=4，BC=(1)求點(diǎn)D到面PEC的距離；(2)求四棱錐P一BCED外接球的體積；(3)點(diǎn)Q為一動(dòng)點(diǎn)，滿足=λ(0<λ<1)，當(dāng)直線BQ與平面PEC所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)Q的位置.22．如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中側(cè)面B為等腰三角形，AB=AC=5,O為BC的中點(diǎn).(1)證明：平面ABCL平面AOM；(2)記二面角A-BC-B1的大小為θ.①當(dāng)θ=時(shí)，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值.②當(dāng)θE,時(shí)，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值.23．如圖，在三棱錐A-BCD中，ZBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中點(diǎn)為G.(1)證明：直線AGL平面BCD；(2)若BD=2,BC=1，當(dāng)直線AB與平面ACD所成的角最大時(shí)，求三棱錐A-BCD的體積.24．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的動(dòng)點(diǎn).BFLA1B1.(1)證明：BFLDE；(2)求平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)D的位置.題型四距離的最值范圍問(wèn)題25．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角APC距離的最大值為()26．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則線段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離的最小值為27多選）在長(zhǎng)方體ABCD一A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，動(dòng)則下列結(jié)論正確的有()A．頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為222B．存在點(diǎn)P，使得BD1L平面APCC．AP+PC的最小值D．當(dāng)P為BD1中點(diǎn)時(shí)，ZAPC為鈍角28多選）已知正方體ABCD一A1B1C1D1，的棱長(zhǎng)為2，E為AA1的中點(diǎn)，平面a過(guò)B，C1，E三點(diǎn)，則()A．CD與平面a平行B．平面A1B1CD與平面a垂直C．平面a截正方體所得截面面積為92D．正方體的頂點(diǎn)到平面a的距離最大值29多選）長(zhǎng)方體ABCD一EFGH中，AB=2，BC=BF=1，P是線段FG上一動(dòng)點(diǎn)，則P到平面ACH的距離不可能是() 230．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)Р到直線CC1的距離的最小值為.31．如圖，AB是底面圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A、B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且題型一數(shù)量積的最值范圍范圍題型二面積、體積的最值范圍問(wèn)題題型三夾角的最值范圍問(wèn)題題型四距離的最值范圍問(wèn)題題型一數(shù)量積的最值范圍范圍=5，AD=AB=4，M，N，P分別是棱C1D1，BC，CC1上的點(diǎn)，31-------的最小值為()25525【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面MPN的法向量=(4,3,2)，設(shè)出Q(s,t,0)，根據(jù)24s24t2【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面MPN的法向量為=(x,y,z)，24s24t-------=s=s221024t441,44125-------441.QD1取得最小值，最小值為25.-------中，底面邊長(zhǎng)AB=1，AA1-------取值范圍是()【答案】B---【分析】取AC1中點(diǎn)O，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為2一2，根據(jù)PO的取值范圍可求得結(jié)果.---【詳解】取AC1中點(diǎn)O，22，：當(dāng)P為側(cè)面ABB1A1中點(diǎn)時(shí)，min=；PO的最大值為體對(duì)角線的一半1，，：2-2e-,0，即.的取值范圍為-,0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的向量數(shù)量積問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是通過(guò)轉(zhuǎn)化法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量模長(zhǎng)最值的求解問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)確定向量模長(zhǎng)的最值來(lái)確定數(shù)量積的取值范圍.3多選）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則.的取值可為()3【答案】BC---【分析】根據(jù)給定條件，令正方體內(nèi)切球的球心為O，利用空間向量數(shù)量積將.化為PO的函數(shù)，即---可求出其范圍作答.【詳解】令正方體內(nèi)切球的球心為O，MN為球O的直徑，則OM=ON=1，=-，---而點(diǎn)P在正方體表面上移動(dòng)，則當(dāng)P為正方體頂點(diǎn)時(shí)，POmax=，------當(dāng)P為內(nèi)切球與正方體表面相切的切點(diǎn)時(shí)，POmin=1，于是得2-1e[0,2]，---所以.的取值范圍為[0,2]，選項(xiàng)B、C滿足，A、D不滿足.故選：BC4．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑A-BCD中，ABL平面BCD，ZBDC=90。，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中點(diǎn)，H是ΔABD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界且EHⅡ平面ACD，則.的取值范圍是()【答案】B【分析】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，則FG//AD，EF//AC，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面EFG//平面ACD，由線面垂直的判定定理可得CDL平面ABD，進(jìn)而有EGLFG，cosZEFG=，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG.易得FG//AD，EF//AC，因?yàn)镕G,EFì平面EFG，AD,AC仁平面ACD，F(xiàn)GnEF=F，ADnAC=A，所以平面EFG//平面ACD.因?yàn)镋H//平面ACD，所以H為線段FG上的點(diǎn).由ABL平面BCD，CD仁平面BCD，得ABLCD，F(xiàn)G.EF因?yàn)镋G//CD，所以EGL平面ABD，EGLFG，cosZEFG=FG.EF2---2---------2---------.=2EF2EF.FHcosZEFG=2EF---2---------2---------.---「1------「11---「1------「115多選）如圖，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．若直線A1P與平面AEF平行，則三棱錐P一AEF的體積為B．若直線A1P與平面AEF平行，則直線A1B1上存在唯一的點(diǎn)Q，使得DQ與A1P始終垂直=，則EP的最小值為√51【答案】ABC【分析】取棱BB1,B1C1的中點(diǎn)N,M，連接A1M,A1N，進(jìn)而證明平面A1MN//平面AEF得P的軌跡即為線段MN，再討論AB選項(xiàng)即可得判斷；當(dāng)A1P=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為以B1為圓心，1為半徑的圓在平面BCC1B1內(nèi)的圓弧，再分別討論CD選項(xiàng)即可.【詳解】解：取棱BB1,B1C1的中點(diǎn)N,M，連接A1M,A1N,ME,BC1，因?yàn)槔釨B1,B1C1的中點(diǎn)N,M，E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn)，所以MN//BC1//EF，ME//BB1,ME=BB1，所以，四邊形A1MEA為平行四邊形，所以A1M//AE，因?yàn)锳1M,MN仁平面AEF，AE,EF仁平面AEF，所以A1M//平面AEF，NM//平面AEF，因?yàn)锳1MnMN=M,A1M,MN仁平面A1MN，所以平面A1MN//平面AEF，所以，直線A1P與平面AEF平行，P的軌跡即為線段MN，故對(duì)于A選項(xiàng)，故A正確；，對(duì)于B選項(xiàng)，要使得DQ與A1P始終垂直，則DQL面A1MN，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則--------------------------------------------------所以，直線A1B1上存在唯一的點(diǎn)Q（A1B1中點(diǎn)使得DQ與A1P始終垂直，故B正確；所以點(diǎn)P的軌跡為以B1為圓心，1為半徑的圓在平面BCC1B1內(nèi)的圓弧，對(duì)于D選項(xiàng)，------------所以，.的最大值為2，故D錯(cuò)誤.故選：ABC6．一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1,1,，MN是該長(zhǎng)方體外接球的一條直徑，點(diǎn)P是長(zhǎng)方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則.的取值范圍是. (1)2()2(1)29 (1)2()2(1)29x2+y2+z2看作長(zhǎng)方體表面上點(diǎn)到,,距離的平方，通過(guò)分析幾何體的性質(zhì)可得距離的最值，進(jìn)而求得.的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)镸N是長(zhǎng)方體外接球的一條直徑，以AB,AD,AA1方向?yàn)閤,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，1x,y,1z)2x+y2y2z(1)2()2(1)29(1)2()2(1)29而x2+y2+z2可看作長(zhǎng)方體表面上點(diǎn)到,,距離的平方，由長(zhǎng)方體的對(duì)稱性可知，此點(diǎn)為長(zhǎng)方體各個(gè)面的面對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，距離最短，(1)2()2(1)2()27(1)2()2(1)2()27故x-2+y-2+z-2-in(1)2()2(1)291719(1)2()2(1)291719當(dāng)x=0,y=0,z=0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在ABCD平面內(nèi)，即所求的范圍是[-2,0].故答案為：[-2,0]7．已知P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)（含正方體表面）一動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C1D1中點(diǎn)時(shí)，AP.AC的值為；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP.AC的最大值為.【分析】空1：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到,，計(jì)算即可.空2：利用向量點(diǎn)乘的幾何意義，轉(zhuǎn)化為投影最值問(wèn)題，即可得到答案.【詳解】空1：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵P為C1D1------------------|AP------------------|AP||AC|---------|AP|cos<AP,AC>是向量在---------所以當(dāng)P在C1位置時(shí)，投影最大，AP.AC的最大值為:22故答案為28．已知球O是棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則.的取值范圍為.【分析】利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，以及正四面體中內(nèi)切球球心到頂點(diǎn)的距離，從而可得【詳解】如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正四面體CDEF中，設(shè)四面體內(nèi)切球球心為O，內(nèi)切球半徑為r，取EF中點(diǎn)為G，CDF+V0一CEFDEF， 根S△DEF因?yàn)辄c(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，2---2---------------21---2---------------212題型二面積、體積的最值范圍問(wèn)題9．如圖，已知四棱錐P一ABCD中，正三角形PAB的邊長(zhǎng)為2，ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，則四棱錐PABCD的體積的最大值為()【答案】B【分析】連接AC可得VP一ABCD=3VP一ACD，設(shè)AD=a，取PC的中點(diǎn)E，可得DE2，利用基本不等式可得答案.【詳解】連接AC，因?yàn)锳DL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，可得PD=4AD2=4a2，CD=AB2BC取PC的中點(diǎn)E，連接DE，可得DELPC，44a2PBPB2BC2444a2,所以VP__ACD=VA_PCD=S‘PCDAD=XPCXDEXAD=a<=， 當(dāng)且僅當(dāng)1_a2=a2即a=等號(hào)成立，此時(shí)四棱錐P_ 2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是求出VP__ACD=VA_PCD=S‘PCDAD=XPCXDEXAD，考查了顯示的空間想象能力、運(yùn)算能力.為8π,則三棱錐S_ABC體積的最大值為()A2BCDA2BCD【答案】D【分析】依題意可得AB即為三棱錐S_ABC外接球的直徑，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，則O即為球心，設(shè)AC=b，BC=a，即可得到a2+b2=8，利用基本不等式求出‘ABC面積最大值，再由SA=SB=SC可得此時(shí)SOL平面ABC，即可求出錐體的體積最大值.【詳解】設(shè)三棱錐S_ABC外接球的半徑為R，則4πR2=8π,解得R=，‘ABC為直角三角形，則‘ABC外接圓的直徑即為直角三角形的斜邊AB，即‘ABC外接圓的半徑r=，所以‘ABC為外接球中的大圓，AB即為三棱錐S_ABC外接球的直徑，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，則O即為球心，2即(S‘ABC)max22則‘SCO≌‘SAO且‘SAO≌‘SBO，所以ZSOB=ZSOA，則SOLAB且SOLCO，ABnCO=O，AB,CO仁平面ABC，所以SOL平面ABC，所以SO=AB=，即三棱錐SABC體積的最大值為.11．已知底面為矩形的直四棱柱高為4，體積為16，各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積的最小值是992【答案】A【分析】設(shè)底面矩形的長(zhǎng)為a(a>0)、寬為b(b>0)，外接球的半徑為R，依題意可得ab=4，且22222R=a+b+4，利用重要不等式求出R2222又長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，所以(2R)2=a2+b2+42，即4R2=a2+b2+164πR33所以R之，即外接球的半徑最小值為√6，4πR33212．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為π的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則該2零件表面積的最大值為.【答案】【分析】運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式可求得圓錐半徑，結(jié)合等面積法可求得三角形的內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求得圓錐內(nèi)切球的表面積.【詳解】由題意知，該圓錐的母線長(zhǎng)為l=4，設(shè)圓錐底面圓半徑為R，高為h，如圖所示，圓錐PO內(nèi)切球的半徑等于‘PAB內(nèi)切圓的半徑，設(shè)‘PAB的內(nèi)切圓圓心為O1，半徑為r，由S‘PAB=S‘PAO+S‘PBO+S‘ABO得，x2x=x4r+x4r+x2r，解得r=.所以該球狀零件表面積的最大值為4πr2=.故答案為：.13．如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，DBLAB，AB體PBCD的外接球的球心為O，M為球O表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ZMAO取最大值時(shí)，四面體MABD體積的最大值為.【答案】4/【分析】根據(jù)題意，由條件可得ZMAO取最大值時(shí)ZAMO=90O，由余弦定理即可得到AO，然后過(guò)M作MHLAO，即可得到MH，從而得到結(jié)果.【詳解】依題可得，四面體P一BCD的外接球的球心O為BC中點(diǎn)，外接球半徑r=，要使ZMAO取到最大值，則∴sinZMAO=∴AM=AOAO2一r2過(guò)M作MHLAO，垂足為H，所以點(diǎn)M在以H為圓心MH為半徑的圓上，∴四面體M一ABD體積的最大值為.SΔABD.MH=..2.2.=.故答案為：.14．一個(gè)圓錐母線與底面所成的角為30。，體積為8π,過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為.【答案】8【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，過(guò)圓錐頂點(diǎn)S的平面截圓錐所得截面為SAB，根據(jù)ZSAO=30。，圓錐體積為8π,求出OA=2，再用OE表示截面面積，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，過(guò)圓錐頂點(diǎn)S的平面截圓錐所得截面為SAB，E為AB的中點(diǎn)，則OELAB，ZSAO=30。，SO=OA，31 1 3,2，2422所以當(dāng)OE2=4，OE=2時(shí)，SΔSAB取得最大值為8.故答案為：8.15．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，M為AB上靠近A的三等分點(diǎn)，N為A1B1上靠近B1的三等分點(diǎn).(1)證明：平面A1MC//平面BEN.(2)若CML平面ABB1A1，BELAB1，CC1與平面ABB1A1的距離為x，A1C=8，AB1=12，三的體積為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(3)在（2）的條件下，當(dāng)x為多少時(shí)，三棱錐A1一ACM的體積取得最大值？并求出最大值.【答案】(1)證明見詳解2(2)y=1x64x2,xe(0,8)2【分析】（1）根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可知AB1L平面A1MC，進(jìn)而可得AB1LA1M，結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解；（3）整理得y=-(x2-32)2+1024,xe(0,8)，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.【詳解】（1）由題意可得：A1N=BM，A1N//BM，則A1NBM為平行四邊形，可得A1M//BN，且A1M仁平面A1MC，BN仁平面A1MC，所以BN//平面A1MC，取A1N的中點(diǎn)F，連接C1F,MF，因?yàn)镋,N分別為B1C1,B1F的中點(diǎn)，則EN//C1F，又因?yàn)锳1F=AM，A1F//AM，則AA1FM為平行四邊形，可得AA1//FM，AA1=FM，且AA1//CC1，AA1=CC1，則CC1//FM，CC1=FM，可得CC1FM為平行四邊形，則CM//C1F，故CM//EN，且CM仁平面A1MC，EN仁平面A1MC，所以EN//平面A1MC，BNIEN=N，BN,EN仁平面BEN，所以平面A1MC//平面BEN.（2）因?yàn)镃ML平面ABB1A1，A1M仁平面ABB1A1，則CMLA1M，且CC1//平面ABB1A1，則CM=x，可得A1M=A1C2-CM2=64-x2,xe(0,8)，且CM//EN，則ENL平面ABB1A1，AB1仁平面ABB1A1，可得ENLAB1，且BELAB1，ENIBE=E,EN,BE仁平面BEN，所以AB1L平面BEN，又因?yàn)槠矫鍭1MC//平面BEN，則AB1L平面A1MC，A1M所以三棱錐A1-ACMxxx3xxx3x6464-x2 22464x=64xx=2y取到最大值ymax=、當(dāng)x2C是上的動(dòng)點(diǎn).(1)求圓柱的側(cè)面積S；(2)求四棱錐P一ABCD的體積V的最大值.【答案】(1)2π(2)94【分析】（1）利用余弦定理求出BD，再利用正弦定理求出圓柱底面半徑為r，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出BC.CD<7，再利用體積公式求出結(jié)果.由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2AB.ADcosZBAD=7，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC.CDcosZBCD2222所以四棱錐P-ABCD的體積，V故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD的最大值為.題型三夾角的最值范圍問(wèn)題17多選）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足=λ+μ,其中λ=[0,1]，B．當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值C．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，直線BB1和AP所成的角的取值為,1|D．當(dāng)λ=1時(shí)，直線BP與平面ACC1A1所成角的正弦值范圍是,【答案】ABD------【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算得到BP.AB1=0，從而得到AB1LBP，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，利用條件確點(diǎn)P的位置，再利用等體法即可判斷選項(xiàng)的正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，利用空間直角坐標(biāo)系，將線線角轉(zhuǎn)化成兩向量所成角來(lái)求解，------------------1cos------1=，再利用t的取值范圍即可求出結(jié)果，從而判斷出選項(xiàng)的正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)條件，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，取AC中點(diǎn)M點(diǎn)，從而得到ZBPM為BP與平面ACC1A1所成的角，進(jìn)而可求出sinZBPM的最大值和最小值.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)λ=1且μ=時(shí)，P為CC1的中點(diǎn)，取BC中點(diǎn)O，B1C1中點(diǎn)O1，連AO,OO1，因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱，所以AOLBC，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,,0)，A(,0,0)，P(0,-,)，B1(0,,1)，所以AB1LBP，所以選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B，當(dāng)μ=1時(shí)，P為B1C1的上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)閂P-ABC=VA-PBC，又易知SΔPBC=x1x1=A1到平面BCC1B1的距離為332所以VP-A1BC=VA1-PBC=xx=，所以選項(xiàng)B正確. 22-+2212-+2212------1cos------1------------------------1t122e(0]所以cos,e[0,]，所以直線B1B與AP所成角的范圍為,，所以選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D，當(dāng)λ=1時(shí)，則P為CC1的上的動(dòng)點(diǎn)，如圖2，取AC中點(diǎn)M點(diǎn)，BMlAC，又三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱，所以BMl平面ACC1A1，則ZBPM為BP與平面ACC1A1所成的角，在RtΔBMP中，BM=為定值，又sinZBPM=,BMBC所以BP與平面ACC1A1所成的最大角為ZBCM，此時(shí)sinZBCMBMBC 2 最小角為ZBC1M，此時(shí)sinZBC1M==46．所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用平面向量基本定理和向量的幾何運(yùn)算確定各個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)P的位置，再利用向量法或幾何法來(lái)處理.18多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，G為面對(duì)角線A1D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)則下列選項(xiàng)中正確的有()B．線段A1D上存在點(diǎn)G，使A1CL平面GBC1的余弦值為63D．設(shè)直線BG與平面BCC1B1所成角為θ,則tanθ的最大值為√2【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.易得平面ADD1A1//平面BCC1B1，DCL平面BCC1B1，所以G到平面BCC1B1的距離為定值DC，又SΔBBC為定值，所以三棱錐B1一GBC1體積為定值，故A正確.對(duì)于B，如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以所以 所以對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A1重合時(shí)，此時(shí)G(1,0,1)，-------- 設(shè)=(0,1,0)L平面BB1C1，設(shè)二面角G-BC1-B1所成角為Q，m.pp3設(shè)直線BG與平面BCC1---BG.---BG.p.p1 2λ2-2λ+2122λ-2+2因?yàn)閥=sinx,y=tanx在0,上單調(diào)遞增，所以當(dāng)sinθ取得最大值時(shí)，tanθ取得最大值，當(dāng)λ=時(shí)，(sinθ)max=1332 所以(tanθ)max=，所以D正確故選：ABD.---A．PQ的最小值是---B．當(dāng)x=1時(shí)，三棱錐P-ADQ的體積為定值C．當(dāng)x=y時(shí)，PB與PQ所成角可能為333D．當(dāng)x+y=1時(shí)，AB與平面PAQ所成角正弦值的最大值為【答案】ABD6【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得Q為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)(包括邊界)，設(shè)ACnBD=O，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)結(jié)合------條件可得PQ>PO判斷A，根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合條件可判斷B，根據(jù)線面角的求法結(jié)合條件可判斷C，------利用坐標(biāo)法表示出線面角，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可判斷D.所以Q為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)(包括邊界)，在正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=，設(shè)ACnBD=O，連接PO，則POl平面ABCD，OA=OB=1,PO------對(duì)A，由題可知PQ>PO=，當(dāng)Q,O重合時(shí)取等號(hào)，故A正確；---------------------對(duì)B，當(dāng)x=1時(shí)，AQ=AB+yAD，即BQ=yAD--------------- t2 t2 所以3t2+2因?yàn)锳D//BC，所以三角形ADQ的面積為定值，而三棱錐P一ADQ的高PO為定值，故三棱錐P一ADQ的體積為定值，故B正確；由題可知POLOB,OBLOA,PO一OA=O,PO,OA仁平面PAC，故OBL平面PAC，所以PO為PB在平面PAC內(nèi)的射影，ZBPQ>ZBPO，而在RtΔPOB中，tanZBPO==>，所以ZBPO>，ZBPQ>，故PB與PQ所成角不可能為，故C錯(cuò)誤；所以所以，設(shè)AB與平面PAQ所成角為Q，令---AB.---AB22f,t=2 3t2ft=ft=3t2所以當(dāng)所以當(dāng)所以f(t)max=f-==，sina<=，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)向量關(guān)系結(jié)合條件得到點(diǎn)Q的位置，然后結(jié)合條件利用立體幾何知識(shí)解決即得.20多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段BD1，AD上A．ACLDPC．PQ的最小值為B．平面DEP可能經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C1D．ZAPC的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，用向量表示空間中的垂直關(guān)系，求點(diǎn)到平面的距離，以及空間角的計(jì)算，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)=λ=(-λ,-λ,λ)，則P(1-λ,1-λ,λ)，λE[0,1]；正確；即〈x+y=0，令y=λ,則x=-2λ,z=1-λ,所以=(-2λ,λ,1-λ)，|l(1-λ)x+(1-λ)y+λz=0所以點(diǎn)C1到平面DEP的距離不能為0，即平面DEP不過(guò)點(diǎn)C1，B錯(cuò)誤；以PQ的最小值為，C正確；因?yàn)?(λ,λ1,λ)，=(λ1,λ,λ)，2.(λ1)2+λ2+λ2 3λ2=3λ22λ+113λ2設(shè)f(λ)=3λ2一2λ+1=3(λ)2+，λE[0，1]，λE[，]，所以(λ)2E[0，]，所以3(λ)2E[0，]，故選：ACD.21．如圖（1）所示，在ΔABC中，AB=4，BC=2，ZB=60O，折起，使得二面角A一DE一B大小為60O，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點(diǎn)A記作點(diǎn)P）(1)求點(diǎn)D到面PEC的距離；(2)求四棱錐P一BCED外接球的體積；(3)點(diǎn)Q為一動(dòng)點(diǎn)，滿足=λ(0<λ<1)，當(dāng)直線BQ與平面PEC所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)Q的位置.【答案】(1)(2)20π3【分析】（1）由已知可證得平面PDBL平面BCDE，取BD中點(diǎn)O，連接PO,OC，則有OB,OC,OP兩兩垂直，所以以{,,}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O一xyz，然后利用空間向量求解，（2）連接BE，則四邊形BCED的外接圓圓心在BE的中點(diǎn)O1，△PBD外接圓的圓心為PO的三等分點(diǎn)O2，過(guò)點(diǎn)圓心O1，O2分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心M，連接BM，求出其長(zhǎng)度可得外接球的半徑，從而可求出外接球的體積，（3）由=λ(0<λ<1)，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用空間向量表示出直線BQ與平面PEC所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.因?yàn)镈E垂直平分AB，所以DELPD,DELBD，所以ZPDB為平面PDE與平面BCED的二面角的平面角，所以ZPDB=，PD=BD，所以ΔPDB為等邊三角形，取BD中點(diǎn)O，連接PO,OC，所以POLBD,OCLBD，所以DEL平面PDB，因?yàn)镈E仁平面BCDE，所以平面PDBL平面BCDE，因?yàn)镻OLBD,OCLBD所以POLOC，以{,,}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O一xyz，設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為=(x,y,z)，則1所以點(diǎn)D到面PEC的距離d=33-x+333113 3 3,則四邊形BCED的外接圓圓心在BE的中點(diǎn)O1，△PBD為正三角形，則△PBD外接圓的圓心為PO的三等分點(diǎn)O2，過(guò)點(diǎn)圓心O1，O2分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心M，如圖所示，連接BM，則BM即球的半徑.22所以由勾股定理得MB===，|(x1|l1l1Q(x1,y1,z1)，由P=λP(0<λ<1)得(x1,y1,z1-3)=λ(=-λ=2λ,得Q(-λ,2λ,3-3λ)，，=3-3λ所以B=(-λ-,2λ,3-3λ)，設(shè)直線BQ與平面PEC所成角為θ(θE0,|則sinθ=則473 732274λ2-3λ+374(λ-)2+ 所以當(dāng)λ=時(shí)，sinθ取得最大值，此時(shí)直線BQ與平面PEC所成角最大，---3---即當(dāng)PQ=8PE時(shí)，直線BQ與平面PEC所成角最大.棱臺(tái)ABC-A1B1C1中側(cè)面BC為等腰三角形，AB=AC=5,O為BC的中點(diǎn).(1)證明：平面ABCL平面AOM；(2)記二面角A-BC-B1的大小為θ.①當(dāng)θ=時(shí)，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值.②當(dāng)θ=,時(shí)，求直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值.【答案】(1)證明見解析； (2)①，②最大值為【分析】（1）由三棱臺(tái)ABC-A1B1C1性質(zhì)及其邊長(zhǎng)即可證明BCL平面AOM，利用面面垂直的判定定理即可證明平面ABCL平面AOM；（2）①由題意可知人AOM即為二面角A-BC-B1的平面角，人AOM=θ,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐-2,2cosθ,2sinθ)，平面AA1C1C的一個(gè)法向量為=-3,4,,把θ=代入可得直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值為；②當(dāng)θ=,時(shí)，sina=32525+3sθ2利用θ的范圍即可求得直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值為3又因?yàn)閭?cè)面BCC1B1為等腰梯形，M為B1C1的中點(diǎn)，所以BCLMO，又AO八MO=O,MO,AO仁平面AOM，因此BCL平面AOM，BC仁平面ABC，所以平面ABCL平面AOM由（1）中平面ABCL平面AOM，且平面ABC八平面AOM=OA，ON仁平面AOM，可得ONL平面ABC；以O(shè)B,OA,ON分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又因?yàn)锽CLMO，BCLAO，所以人AOM即為二面角A-BC-B1的平面角，所以人AOM=θ,(3-4cosθ)2(3-4cosθ)2BB1C1-2,23cosC1-2,23cosθ,23sinθ;設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為=(x,y,z)，-3,4,-2)，設(shè)直線BB1與平面AA1C1C所成角的為a，即θ=時(shí)，直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦值為.②當(dāng)θe,時(shí)，sina=cosBB1,ynBB1.nyn((3-4cosθ)2設(shè)f(θ)=,θe,，則f'(θ)=>0在θe,恒成立，所以f(θ)在θe,上單調(diào)遞增，f(θ)e-4,， -4cosθsinθe-4,，易知6-4<，所以2e[0,3]；所以當(dāng)θe,時(shí)，直線BB1與平面AA1C1C所成角的正弦的最大值為.23．如圖，在三棱錐A-BCD中，ZBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中點(diǎn)為G.(1)證明：直線AG平面BCD；(2)若BD2,BC1，當(dāng)直線AB與平面ACD所成的角最大時(shí)，求三棱錐ABCD的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明△ABG△ACG，可得AGCG，結(jié)合線面垂直判定定理可證；（2以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CH的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量表示出直線AB與平面ACD所成角的正弦，結(jié)合基本不等式可得AG，然后可求體積.因?yàn)锽CD90。,BGDG，所以BGCG.又因?yàn)锳BAD,G為BD的中點(diǎn)，所以AGBD，所以AGBAGD90。.又因?yàn)锳G為公共邊，所以△ABG△ACG，又因?yàn)锳GBD,BDCGG,CG,BD平面BCD，所以AG平面BCD.（2）過(guò)點(diǎn)C作直線CH平面BCD，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CH的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.cos,BAcos,BA---.(1)(1)0,0.設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為=(x,y,z)，設(shè)直線AB與平面ACD所成的角為Q，------BA2a 1.a24a24214<時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，直線AB與平面ACD所成的角Q最大.故當(dāng)直線AB與平面ACD所成的角最大時(shí)，三棱錐A-BCD的體積為.24．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的動(dòng)點(diǎn).BFLA1B1.(1)證明：BFLDE；(2)求平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)D的位置.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，點(diǎn)D為靠近B1的A1B1的四等分點(diǎn)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線BF，DE的方向向量即可證明；（2）求出平面BB1C1C與平面DEF的法向量即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1L底面ABC，又BC,AB仁底面ABC，所以BB1LAB，BB1LBC，又因?yàn)锳B∥A1B1，BFLA1B1，所以BFLAB，又BB1八BF=B，BB1,BF仁平面BB1C1C，所以ABL平面BB1C1C，又BC仁平面BB1C1C，所以ABLBC，即BA,BC,BB1兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，分別以BA,BC,BB1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則所以L，即BFLDE.（2）設(shè)平面DEF的法向量為=(x,y,z)，633633根+++--+---則3平面BB1C1C的一個(gè)法向量為=(2,0,0)，設(shè)平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角為θ,---n---BA+取最小值為，此時(shí)cosθ取得最大值，((6)2所以平面BB1C1C與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時(shí)點(diǎn)D為靠近B1的A1B1的四等分點(diǎn).題型四距離的最值范圍問(wèn)題25．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角APC距離的最大值為()【答案】D【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，然后求出平面APC的法向量，表示出點(diǎn)B到平面APC的距離為，即可得到其最大值.【詳解】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BP=λBD1(0<λ<1)，λ=(-λ,-λ,2λ)，------------------------------可取=(2λ,2λ,2λ-1)，---------AB.2λ則點(diǎn)B到平面APC的距離為AB.cosAB,==12λ2-4λ+1，---------AB.2λ當(dāng)λ=0時(shí)，點(diǎn)B到平面APC的距離為0，22λ1212λ2-4λ+1==<λ4λ+4（|λ-)| 3-1+21λ4λ+4（|λ-)| 當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)B到平面APC的最大距離為，故選:D.26．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則線段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離的最小值為6326334234【答案】D【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)P(x,0,1-x),0<x<1，可得動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離為d=用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.332x2-x+1222 +一x22∴動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離為22-----------2AP.ACAC1AP ---x一x+33(1)2+33時(shí)取等號(hào)，即線段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離的最小值為故選：D.333則下列結(jié)論正確的有()AA1=2，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線BD1上（含端點(diǎn)A．頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為B．存在點(diǎn)P，使得A．頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為2C．AP+PC的最小值D．當(dāng)P為BD1中點(diǎn)時(shí)，ZAPC為鈍角【答案】ABC【分析】對(duì)A，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)B到平面APC的距離，分析即可判對(duì)B，當(dāng)BD1L平面APC，則BD1LAP,BD1L