數(shù)學-福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校協(xié)作2023-2024學年高三12月聯(lián)考試題和答案

第1頁/共5頁“德化一中、永安一中、漳平一中”三校協(xié)作2023—2024學年第一學期聯(lián)考高三數(shù)學試題1.若集合A={x|x1<2,xeN}，B={x|lnx<0}，則A（B的元素的個數(shù)是()A.1i5i51A.2B.2的虛部為()B.iC.3D.4 2C.D. 2C.3.函數(shù)y=sinx.ln的圖象可能是().AB.C..D.4.設‘ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=2,c=4,C=45。,則A的值可以為()5.若向量=(0,2,2)，=(1,0,λ)，且(+)」2，則在方向上的投影向量是()A.2B.C.D.26.設a=，b=，則下列說法中正確的是()7.我國古代的洛書中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1，2，3，?,9填入3根3的方格內(nèi)，使三第2頁/共5頁行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，?,n2填入n根n的方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做n階幻方．記n階幻方的每列的數(shù)字之和為Nn，如圖，三階幻方的N3=15，那么N9=()492357816A.41B.369C.1476D.33218.函數(shù)f(x)=〈,x>0，若2f2(x)-3f(x)+1=0恰有6個不同實數(shù)解，正實數(shù)Φ的范圍為()B.9=C.點,0是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心第3頁/共5頁D.直線x=x)圖象的對稱軸nnneN*)，則下列結(jié)論正確的是()A.a411.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，若g(x)+f(x)=1，且g(x+1),f(2一x)均為奇函數(shù)，則()是經(jīng)過點B1的半圓弧上的動點（不包括端點點Q是經(jīng)過點D的半圓弧上的動點（不包括端點則下列說法正確的是()A.四面體PBCQ的體積的最大值為B..的取值范圍是[0,4]C.若二面角C1一QBC的平面角為θ,則tanθ>D.若三棱錐P一BCQ的外接球表面積為S，則Se[4π,13π)13.已知角c的頂點為原點，始邊為x軸的非負半軸，若其終邊經(jīng)過點P(一1,2)，c1=___.2+ax+1<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是.yPPPy第4頁/共5頁17.已知函數(shù)f(x)=2cos2+x-2sin(π+x)cosx-（1）當x=,，求f(x)的最值，及取最值時對應的x的值；（2）在‘ABC中，A為銳角，且f(A)=,a=,b+c=2，求‘ABC的面積.18.已知函數(shù)f(x)=ex-x2-a，x=R的圖象在x=0處的切線為y=ax.（1）設g(x)=f(x)+x2-x，求g(x)的最小值；（2）若>k對任意的x=(0,+Φ)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.（2）已知等差數(shù)列{bn}滿足b3=5，其前9項和為63．令cn=，設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證： 20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，‘PAB是邊長為2的正三角形，BC=AB，AD//BC，BC=2AD，AB」BC，平面PAB」平面ABCD.（1）設平面PAB八平面PCD=l，問：線段PB上是否存在一點E，使l//平面ADE？（2）平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.21.已知‘ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c(cosA-sinA)=b-2a，c=2.第5頁/共5頁（1）求角C；（2）若AB=BC，在‘ABC的邊AC和BC上分別取點D，E，將‘CDE沿線段DE折疊到平面ABE后，頂點C恰好落在邊AB上（設為點P設CE=x，當CE取最小值時，求△PBE的面積.22.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax-.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2(x1<x2)，求證：x1x2>2e2.第1頁/共23頁“德化一中、永安一中、漳平一中”三校協(xié)作2023—2024學年第一學期聯(lián)考高三數(shù)學試題1.若集合A={x|x1<2,xeN}，B={x|lnx<0}，則A（B的元素的個數(shù)是()A.1B.2C.3【答案】A【解析】【分析】結(jié)合解不等式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得集合A,B，根據(jù)集合的交集運算，即可得答案.故選：A5的虛部為()A.B.iC.D.i【答案】C【解析】【分析】根據(jù)i的性質(zhì)、復數(shù)的除法運算可得答案.所以z的虛部為.故選：C.3.函數(shù)y=sinx.ln的圖象可能是().第2頁/共23頁AB.C..D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號分析判斷.【詳解】因為y=f(x)=sinx.所以y=sinx.ln為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故B，D都不正確；對于選項A，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，也符合xE(0,π)時，y=sinx.ln>0，故A正確.故選：A.4.設‘ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=2,c=4,C=45o,則A的值可以為()【答案】A【解析】12【分析】由正弦定理求出12csinA【詳解】由正弦定理得csinA)求出答案.4sinA第3頁/共23頁故選：A5.若向量=(0,2,2)，=(1,0,λ)，且(+)」2，則在方向上的投影向量是()A.2B.C.-D.-2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求出λ=-1，再根據(jù)投影向量的定義即可求解.:(+).2=2+(2+λ)2λ=0，解得λ=-1，:在方向上的投影向量為.=.=-.故選：C.6.設a=，b=，則下列說法中正確的是()【答案】B【解析】【分析】根據(jù)a,b的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)f(x)=，判斷其單調(diào)性，即可判斷A；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷B；根據(jù)a,b的范圍判斷C，利用基本不等式以及等號成立條件判斷D.第4頁/共23頁因為y=2x+1在R上單調(diào)遞增，故f(x)在R上單調(diào)遞減，因為y=()x在R上單調(diào)遞減，故a<b，B正確；故a22故選：B7.我國古代的洛書中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1，2，3，?,9填入3根3的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，?,n2填入n根n的方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做n階幻方．記n階幻方的每列的數(shù)字之和為Nn，如圖，三階幻方的N3=15，那么N9=()492357816A.41B.369C.1476D.3321【答案】B【解析】【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：九階幻方所有數(shù)字之和為(1+81)=3321，由于每列和對角線上的數(shù)字之和都相等，所以每列的數(shù)字之和為=369，第5頁/共23頁故選：B.8.函數(shù)f(x)=〈,x>0若2f2()-3f()+1=0恰有6個不同實數(shù)解正實數(shù)o的范圍為()(10]「10)(10]「10)(10]「10)(10]「10)【答案】D【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=1或y=的交點，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，再結(jié)合單調(diào)性和對稱性求出參數(shù)范圍即可.【詳解】由題知，2f2(x)-3f(x)+1=0的實數(shù)解可轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=1或y=的交點，如圖所示：所以x=e時f(x)有最大值： 12<f(x)maxe 12f(x) 12或f(x)=1的實數(shù)解，即y=f(x)與y=有兩個不同交點，即方程f(x)=有2解第6頁/共23頁π「ππ]則有y=sint且t=-Φπ+,，如圖所示：因為x>0時，已有兩個交點，所以只需保證y=sint與y=及與y=1有四個交點即可，故選：DC.點,0是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心D.直線x=x)圖象的對稱軸【答案】ACD【解析】第7頁/共23頁2π(π)【分析】A選項，根據(jù)圖象得到函數(shù)最小正周期，進而得到Φ=T=2；B選項，將|（-12,2π(π)式，求出Ψ=-；C選項，f=0，C正確；D選項，計算出f=-2，故D正確.【詳解】A選項，設f(x)的最小的正周期為T，故-+Ψ=-+2kπ,k=Z，即Ψ=-+2故點,0是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，C正確；D選項，f=2sin-=-2，故直線x=x)圖象的對稱軸，D正確.故選：ACDnn)，則下列結(jié)論正確的是()A.a4n【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡得到-1=(-1)，得到〈-1〉表為等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公n-1，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.第8頁/共23頁44n+1nn，所以{an}是遞增數(shù)列，所以B正確；10n2n+1n+1，所以D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，若g(x)+f(x)=1，且g(x+1),f(2一x)均為奇函數(shù)，則()【答案】ABC【解析】(x)=f(4x)，故選：ABC是經(jīng)過點B1的半圓弧上的動點（不包括端點點Q是經(jīng)過點D的半圓弧上的動點（不包括端點則下列說法正確的是()第9頁/共23頁13A.四面體PBCQ13B.BC.A1P的取值范圍是[0,4] 12C.若二面角C1一QBC的平面角為θ, 12D.若三棱錐P一BCQ的外接球表面積為S，則Se【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)棱錐的體積公式可判斷A；根據(jù)向量的相等以及數(shù)量積的定義可判斷B；結(jié)合二面角平面角定義找出θ,結(jié)合解直角三角形判斷C；確定三棱錐P一BCQ的外接球球心位置，列等式求得半徑表達式，求得其取值范圍，即可求出三棱錐P一BCQ外接球表面積取值范圍，判斷D.點P到底面ABCD的距離為AA1=1，當點Q位于半圓弧上的中點時SΔBCQ最大，即四面體PBCQ體積最大，VPBCQmaxxx2x1x1=，故A正確；A因為CC1」平面ABCD，QB仁平面ABCD，故CC1」QB，而QB」QC,仁平面C1CQ，故QB」平面C1CQ，C1Q第10頁/共23頁整理得R2整理得R2=故QB」C1Q，所以經(jīng)C1QC是二面角C1-QB-C的平面角，設線段BC的中點為N，線段B1C1的中點為K，則三棱錐P-BCQ的外接球球心O在NK上，設PK=t,(0<t<)，在RtΔOQN中ON=，在RtΔOPK中OK=R2-t2，t4+44故選：ACD|，所以外接球的表面積為S=4πR2=[4π,13π)，D正確，【點睛】難點點睛：解答本題的難點在選項D的判斷，解答時要發(fā)揮空間想象，明確空間的點線面位置關(guān)系，確定外接球球心位置，進而找出等量關(guān)系，求得球的半徑取值范圍，即可求解球表面積取值范圍.sin2a cos2a+1___13.已知角a的頂點為原點，始邊為sin2a cos2a+1___【答案】【解析】23【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到tana=-2，利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化為齊次式，化弦為切，代入求值.【詳解】由題意得tana==-2， sin2a2sinacosa2tana-42第11頁/共23頁故答案為：2+ax+1<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】[0,4)【解析】【分析】依題意可得“vxeR，ax2+ax+1>0”是真命題，分a=0、a士0兩種情況討論，分別計算可得.則它的否定命題“vxeR，ax2+ax+1>0”是真命題，所以實數(shù)a的取值范圍是[0,4).yPPy【答案】##60?！窘馕觥俊痉治觥肯雀鶕?jù)平面向量的數(shù)量積運算律，得.=一r2；再根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義，得OP3=；最后根據(jù)圓的性質(zhì)即可解答.【詳解】yy第12頁/共23頁OPOP2πOPOPPP2P33所以三角形P1P2P3為等邊三角形，π3π故答案為：.3[1,+偽)【解析】【分析】根據(jù)題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，分析可得d的取值范圍，由a1+a+a5=8求出a3，則OP=的范圍為.有=222d=14d，構(gòu)造函數(shù)f(x)=4x1，利用導數(shù)可求出其最值，從而可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，由于無窮等差數(shù)列{an}中的各項均大于0，53解得所以3d32d,第13頁/共23頁則f,(x)=-4，由f,(x)=0，得-4=0，得(1-f(x)取得最小值f=-4根-1=-1,17.已知函數(shù)f(x)=2cos2+x-2sin(π+x)cosx-（1）當x=,，求f(x)的最值，及取最值時對應的x的值；【解析】【分析】（1）利用誘導公式以及二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡可得f(x)的表達式，根據(jù)x=,范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果可求出角A，利用余弦定理可求出bc的值，利用三角形面積公式即可求得答案.【小問1詳解】+sin2x-=sin2x-cos2x=2sin(2x-)，:<x<,:<2x-<,第14頁/共23頁:1<2sin(2x_)<2，【小問2詳解】由f(A)=2sin(2A_)=，即sin(2A_)=，:2A_=,:A=,由余弦定理得a2=b2+c2_2bccosA，即3=(b18.已知函數(shù)f(x)=ex_x2_a，xeR的圖象在x=0處的切線為y=ax.（1）設g(x)=f(x)+x2_x，求g(x)的最小值；（2）若>k對任意的xe(0,+偽)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.），（【解析】【分析】（1）先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出a，再利用導數(shù)判斷函數(shù)g(x)單調(diào)性進而求解最小值；（2）先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為k<min，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進而求出函數(shù)最小值即可.【小問1詳解】f,(x)=ex_2x，由題意知a=f,(0)=1，所以g(x)=f(x)+x2_x=ex_x_1，g,(x)=ex_1當x<0時，g,(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；第15頁/共23頁當x>0時，g,(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；故g(x)min=g(0)=0，即g(x)的最小值為0.【小問2詳解】f(x)令h(f(x)x所以當0<x<1時，h,(x)<0，函數(shù)h(x)在(0,1)當x>1時，h,(x)>0，函數(shù)h(x)在(0,+偽)單調(diào)遞增；neN*).anbn（2）已知等差數(shù)列{bn}滿足b3=5，其前9項和為63anbn33n<.4【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（2）用基本量法求出{bn}，利用裂項相消法求出Tn，適當放縮即可證明.【小問1詳解】：：neN*)，:=第16頁/共23頁nnSn1【小問2詳解】：：nn4nn1320.如圖，在四棱錐P一ABCD中，ΔPAB是邊長為2的正三角形，BC=AB，AD//BC，BC=2AD，AB」BC，平面PAB」平面ABCD.第17頁/共23頁（1）設平面PAB平面PCDl，問：線段PB上是否存在一點E，使l//平面ADE？（2）平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.【答案】（1）存在E為PB的中點，使l//平面ADE【解析】【分析】（1）分別取PB、PC的中點E、F，證明四邊形EFDA為平行四邊形，DF//AE，從而DF//平面PAB，再由線面平行的性質(zhì)定理得到DF//l，即AE//l，從而l//平面ADE；（2）由平面PAB平面ABCD，得出PO平面ABCD，建立空間直角坐標系求解.【小問1詳解】存在E為PB的中點，使l//平面ADE.分別取PB、PC的中點E、F，連接AE、EF、DF，EF//BC，EFBC，：AD//BC，BC2AD，EF//AD，EFAD，四邊形EFDA為平行四邊形，DF//AE，：AE平面PAB，DF平面PAB，DF//平面PAB，：平面PABn平面PCDl，DF平面PCD，DF//l，AE//l，：AE平面ADE，l平面ADE，l//平面ADE.即線段PB上存在一點E，使l//平面ADE.【小問2詳解】分別取AB、CD中點O、M，連接PO、OM，OM//BC，第18頁/共23頁：AB」BCAB」OM，：PA=PBPO」AB，：平面PAB」平面ABCD，平面PABn平面ABCD=AB，PO一平面PAB，.以O為原點，以OA，OP，OM分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設向量=(x,y,z)為平面PCD的一個法向量，又=(0,1,0)為平面PAB的一個法向量，設平面PAB與平面PCD的夾角為θ,：平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值為.第19頁/共23頁（1）求角C；（2）若AB=BC，在ΔABC的邊AC和BC上分別取點D，E，將ΔCDE沿線段DE折疊到平面ABE后，頂點C恰好落在邊AB上（設為點P設CE=x，當CE取最小值時，求△PBE的面積.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，進而求得C.（2）利用正弦定理或余弦定理，結(jié)合基本不等式或三角函數(shù)的最值等知識求得CE取最小值時△PBE的面積.【小問1詳解】:sinCcosA一3sinA=sinAcosC+cosAsinC一2s：Ae(0,π)，:sinA>0，：Ce(0,π)，:C+e,，:C+=，π:C=.3【小問2詳解】方法一AB=BC，C=，:ΔABC為等邊三角形，:AB=BC=AC=2，)，在ΔBPE