第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測(cè)卷（新題型結(jié)構(gòu)）

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測(cè)卷第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B由題設(shè)，.故選：B2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B3.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的極小值點(diǎn)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，，故選C.4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A由題意，函數(shù)，可得，所以，則．，，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為故選：A5.已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得，令，得，令，是，或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，故.令，得，解得，，所以，所以要使在上存在最大值，則有,解得.故選：D.6．對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】已知，由知.故排除BD.由得，，構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，則由得，即，令，，由得，，當(dāng)，則單調(diào)遞減，當(dāng)，則單調(diào)遞增，，則，又，則.故選：C.注：考察同構(gòu)7．已知函數(shù)，若的解集為，且中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【解答】解：由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，令，畫出，的圖象如圖：根據(jù)條件，由圖象，可得，解得，．故選：C．8．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有，解得.因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以恒成?，設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以.因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：A多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是（）A. B.C.＝ D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可；【詳解】,所以A錯(cuò)誤；，正確；因?yàn)?，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤.，正確；故選：BD10.已知函數(shù)，下列說法正確的是()A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有最小值C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增【解析】因?yàn)椋瑒t.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不等的實(shí)根分別為、，且，由韋達(dá)定理可得，必有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上有最小值，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)且時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：ABD.【答案】ABD11．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極大值點(diǎn)C． D．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)【答案】AC由題意得，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故A正確，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由單調(diào)性可知，則，故C正確，對(duì)于D，，若，則函數(shù)無零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖所示，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則__________.【答案】##由圖象可知直線過，所以直線的斜率為，所以.故答案為：13．若在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上恒成立，即，當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，故答案為：14.已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)?，令，即，可得．令，則，令，得，令，得，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因?yàn)椋?，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知奇函數(shù)在處取得極大值.（1）求的解析式；（2）求在上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為52，最小值為【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則.由，得.因?yàn)樵谏先〉脴O大值2，所以解得經(jīng)經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，在處取得極大值2，故.（2）由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；即函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；又因?yàn)?，所以在上的最大值?2，最小值為.16.（15分）已知，函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，若斜率為0的直線是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)．【解析】（1）由題意，，由得，此時(shí)，所以切點(diǎn)為；（2），時(shí)，，在上是增函數(shù)，無最小值，所以，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值，，，，，遞減，時(shí)，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值為，由題意，，設(shè)，則，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以，即，是減函數(shù)，又，因此是的唯一零點(diǎn)，所以由得．17．(15分)已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值；(2)若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.【解析】(1)依題意，定義域?yàn)?，∴，①?dāng)，即時(shí)，令，∵，∴，此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得.此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，無極小值；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上無極值．(2)依題意知，在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，故函數(shù)在上，有.由(1)可知，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∵，∴②當(dāng)，或，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴，∴.③當(dāng)，即時(shí)，由(2)可知，在處取得極大值也是區(qū)間上的最大值，即，∵，∴在上恒成立，此時(shí)不存在使成立.綜上可得，所求的取值范圍是或.18.（17分）已知函數(shù)．（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）答案見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，，故即在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，最大值為．（2）由可得．①當(dāng)時(shí)，，又，，恰有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值，又，當(dāng)時(shí)，，故有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值，極大值，又當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，由可得或，由可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值，極小值，又當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，有1個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．19．（17分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（1）討論的單調(diào)性（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的范