2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第18講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立能成立問題學(xué)生版

第18講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問題思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理一般地，若a>f(x)對(duì)x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a<f(x)對(duì)x∈D恒成立，則只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，則只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，則只需a<f(x0)max.由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．題型歸納題型1分離參數(shù)或構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題【例1-1】已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若對(duì)于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知函數(shù)f(x)＝alnx－x＋1(其中a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的極值；(2)對(duì)任意x>0，f(x)≤eq\f(1,2)(a2－1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【名師指導(dǎo)】分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題的思路用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)的正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，只要研究變量表達(dá)式的最值就可以解決問題．題型2分離參數(shù)或構(gòu)造函數(shù)解決不等式能成立問題【例2-1】已知函數(shù)f(x)＝x－alnx，g(x)＝－eq\f(a＋1,x)(a∈R)．若在[1，e]上存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)若x＝3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，使得f(x0)≤g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【名師指導(dǎo)】題型3最值定位法解決雙參不等式恒成立問題【例3-1】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)lnx－mx，g(x)＝x－eq\f(a,x)(a>0)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若m＝eq\f(1,2e2)，對(duì)?x1，x2∈[2,2e2]都有g(shù)(x1)≥f(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知函數(shù)f(x)＝－alnx＋x＋eq\f(1－a,x).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，當(dāng)a＝e2＋1時(shí)，對(duì)任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【名師指導(dǎo)】1．最值定位法解雙參不等式恒成立問題的思路(1)通過(guò)不等式兩端的最值進(jìn)行定位，轉(zhuǎn)化為不等式兩端函數(shù)的最值之間的不等式，列出參數(shù)所滿足的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍．(2)有關(guān)兩個(gè)函數(shù)在各自指定范圍內(nèi)的不等式恒成立問題，這里兩個(gè)函數(shù)在指定范圍內(nèi)的自變量是沒有關(guān)聯(lián)的，這類不等式的恒成立問題就應(yīng)該通過(guò)最值進(jìn)行定位，對(duì)于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，等價(jià)于f(x)min(x∈[a，b])≥g(x)max(x∈[m，n])，列出參數(shù)所滿足的不等式，便可求出參數(shù)的取值范圍．2．常見的雙變量不等式恒成立問題的類型(1)對(duì)于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)max.(2)對(duì)于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)min.(3)若存在x1∈[a，b]，對(duì)任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)min≤g(x2)min.(4)若存在x1∈[a，b]，對(duì)任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g