高中數(shù)學期末備考微55講函數(shù)與導數(shù)6 導數(shù)與零點 練習題

專題：導數(shù)與零點

導言

導數(shù)與零點專題是高考考察的重點內(nèi)容，下表列舉了從16年起全國卷對這個點的考察:

2020年2019年2018年2017年2016年

21題:已知零

20題：證明零21題：已知零

點個數(shù)求參

全國一卷點個數(shù)點個數(shù)求參數(shù)

數(shù)，零點偏移

20題：證明零

21題：已知零

點個數(shù)，公切

全國二卷點個數(shù)求參數(shù)

線.

21題：零點分

全國三卷布

如上表所示，導數(shù)與零點是高考導數(shù)大題部分的重要命題方向之一，結合近五年全國主

要地方的模擬考試題來看，該專題大致可以分為四個具體的命題方向：

1.判斷或證明零點個數(shù).此題型以2019年全國一卷20題為典型例子，是一類較新的題

型.重點考察學生利用函數(shù)單調(diào)性與值域，零點存在性定理準確的找到零點的存在性，突出

考察學生的邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)，具有較高的綜合性.

2.已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍.此題型在16-18年連續(xù)三年均有考察，處理此類問題有兩

種常見的方法：含參數(shù)討論及分離參數(shù)，重點考察學生利用函數(shù)單調(diào)性分析值域，數(shù)形結合

解決問題.此題型還可衍生到對過點求切線個數(shù)，公切線個數(shù)的考察上.

3.討論或者證明零點所滿足的分布特征.此題型以2020年全國三卷21題為典型例子，

需要在找到零點的基礎上進一步分析出零點所滿足的分布，對學生的邏輯推理，嚴謹表達均

有較高的要求.

4.零點偏移或者雙零點，極值點問題.主要考察變量替換與構造函數(shù)解決問題的基本方

法，此類問題處理方法較多，有偏移法處理，變量代換，對數(shù)均值不等式等均可完成，在各

地的模擬題中屬于常見的類型.

下面，將通過一些高考題目和典型的模擬題具體展開這四類題型的研究和討論，找到破

解零點問題的常見思路與方法，提升邏輯推理，數(shù)學運算，直觀想象的核心素養(yǎng)，讓學生在

研究問題的過程中獲得成就感.

二.題型1:判斷或證明零點個數(shù)

1.己知函數(shù)/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)為/(x)的導數(shù).證明:

-JT

(1)/'(X)在區(qū)間(-1,萬)存在唯一極大值點；

(2)/(x)有且僅有2個零點.

V-1

2.已知函數(shù)〃x)=lnx------.

x-1

(1)討論/(x)的單調(diào)性，并證明/(x)有且僅有兩個零點；

(2)設/是/(x)的一個零點，證明：曲線y=lnx在點4(公,111%)處的切線也是曲線

y=e”的切線.

2

3.己知函數(shù)./1(%)=minx,g(x)=二~^(尤>0).

(1)討論函數(shù)F(x)=/(x)-g(x)在(0,+co)上的單調(diào)性；

⑵判斷當〃?=e時，y=/(x)與y=g(x)的圖象公切線的條數(shù)，并說明理由.

4.已知函數(shù)/(x)=lnx-x+2sinx,/'(x)為/(x)的導函數(shù).

⑴求證：:(x)在(0,萬)上存在唯一零點；

(2)求證：/(無)有且僅有兩個不同的零點.

3

題型2：已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍

5.已知函數(shù)/(》)=0”—52.

(1)若。=1,證明：當時，y(x)>i；

(2)若〃x)在(O.+工)只有一個零點，求。的值.

6.已知函數(shù)f(x)=ae2'+(a-2)e'-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

4

7.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+gax2,xe[-孫]|

(1)當。=0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a>0,討論的零點個數(shù).

8.己知函數(shù)/(x)=(x-l)e"g(x)=lnx,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求曲線y=/(x)在％=1處的切線方程；

(2)設函數(shù)〃(x)="(x)-g(x),若函數(shù)〃(x)恰好有2個零點，求實數(shù)匕的取值范圍.(取

In3.5=1.25,ln4=1.40)

5

題型3：零點的分布特征

9.設函數(shù)f(x)=/+灰+。，曲線y=/(x)在點(3，f(g))處的切線與y軸垂直.

(1)求。.

(2)若/(X)有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1.

10.已知函數(shù)/(x)=e*-；x2一日_](%€/?).

⑴當々>1時，討論〃x)極值點的個數(shù)；

(2)若4力分別為/(%)的最大零點和最小零點，當。一匕28時，證明：k>2.

6

11.已知函數(shù)f(x)=ex.

(1)若曲線y=/(x)在點(公,/(%))處的切線為y=Zx+。，求左的最小值：

(2)當常數(shù)me(2,+8)時，若函數(shù)g(x)=0-1)/,(尤)-m2+2在[0,+8)上有兩個零點

4

xvx2,x[<x2,證明：X]+ln—

x(x—l)(x-2)+l,xW2

12.已知函數(shù)/(x)=?K-2)+U>2-0)和函數(shù)g(x)-)+】?

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若a=2Z,左e(O,l),且函數(shù)y=/(x)-g(x)有三個零點七、x2,x3,求

/(無I)+f(x2)+/(七)的取值范圍.

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題型4：零點(極值點)偏移，雙零點(極值點)問題

2

13.已知函數(shù)/(x)=lnx-〃r,awR,若/(玉)=/(4)=0,證明：x[x2>e.

14.設函數(shù)/(x)=-a2lnx+x2-ax(aGR).

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)如果。>0且關于％的方程/(%)=機有兩解再，x2(x,<x2),證明玉+々>2〃.

8

10

15.已知/(工)=3%~-QxlnX+QX+2,?！闔有兩個不同的極值點玉<%.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

2

(2)求證：XjX2<a.

16.已知函數(shù)/(%)=。-2)爐+a(x-l)2有兩個零點.

(1)求〃的取值范圍；

(2)設X],%2是/(X)的兩個零點，證明：須+工2<2.

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練習題

一,x<0

1.已知函數(shù)/（幻=：,若函數(shù)尸（x）=f（x）一質在R上有3個零點，則實數(shù)%的

Inx八

取值范圍為（）

匕）B.(0,—)

2.已知方程6皿=/在（0,8］上有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)加的取值范圍為（）

2In21In231n221〃22

8,~記'丁4'e4e

3.己知函數(shù)/（x）=xlnx-ae*（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范

圍是（）

A.(0,-)B.(0,e)D.(一,e)

ee

4.若二次函數(shù)/（x）=/+i的圖象與曲線c：g（x）=Q，+i（Q>o）存在公共切線，則實數(shù)

。的取值范圍為

A.(0,―]

5.已知函數(shù)/"）=三/一;+1

+X——

3

（1）若。>1,求函數(shù)/（X）的極值;

（2）當0<4<1時，判斷函數(shù)“X）在區(qū)間［0,2］上零點的個數(shù).

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6.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx,g(x)=x2+4.

(1)討論函數(shù)/(%)在［-肛詞上單調(diào)性；

(2)設"(x)=g(x)—4/(九)，試證明/?(x)在R上有且僅有三個零點.

7.已知函數(shù)f(x)=ax—ln(x+l),/(x)>0.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-sinx,求證：g(x)有且僅有兩個零點.(/?1.77)

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8.設函數(shù)/(x)=lnx+—,meR.

X

(1)當加=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求“力的極小值;

(2)討論函數(shù)g(x)=/'(x)-：零點的個數(shù).

9.設函數(shù)/(x)=+ac-(a+l)lnx.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性：

(2)若函數(shù)/(可有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

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10.已知函數(shù)“力=;^一3兀.

(1)求“X)在區(qū)間［0,回(加＞0)上的最大值和最小值；

(2)在曲線y=%2上是否存在點凡使得過點?？勺魅龡l直線與曲線＞=/(￡)相切？若存

在，求出其橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由.

11.已知函數(shù)/(%)=(x-l)e*-；取3R.

(1)。=0時，求(1,/(1))處的切線方程；

(2)x＞0時，/(x)是否存在兩個極值點，若存在，求實數(shù)。的最小整數(shù)解，若不存在,

說明理由.

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12.已知函數(shù)/(x)=(1—A:)x—^lnx+k—\,ke.R,k豐0.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)設函數(shù)/(X)的導函數(shù)為g(x),若函數(shù)/(無)恰有2個零點對*2，工1<々，證明:

%,+2X2

g(3)>0-

13.已知函數(shù)〃力=四-*+8sx(aw/?).

(1)若函數(shù)“力在1宗0)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

/\/、41

⑵當。=一1時，X。為函數(shù)“X)在(0,4)上的零點，求證：不一/<,”.—―

ze(sin.VQCOS

14

14.已知函數(shù)/(x)=xlnx-5mx?-x+lj及￡R.

(1)若/(幻有兩個極值點，求實數(shù)機的取值范圍;

(2)若函數(shù)g(x)=xlnx-/we?-elnx+e〃優(yōu)有且只有三個不同的零點，分別記為

且T?的最大值為e2,求MX?的最大值.

須，入2，人

15.已知函數(shù)/(x)=axlnx-x+5，。。0.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)設〃>0,函數(shù)/(%)恰有2個零點再〈無2，證明：+x2>7O￥