2023-2024學(xué)年陜西省四校聯(lián)考高二年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學(xué)年陜西省四校聯(lián)考高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛4｝滿足。5+4=28,則其前10項(xiàng)之和為。

A.140B.280

C.68D.56

2.設(shè)〃￡尺，若函數(shù)丁=￡如+3%，xcR有大于零的極值點(diǎn)，貝!]

A.a>-3B.a<-3

11

C.a>—D.a<—

33

3.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)％之0時(shí)，/(x)=e"+x2-cosx,則不等式/(%—3)—/(2x—1)<。的解集為()

C.(-2,+oo)D.(-00,-2)0^-,+ooJ

4.下列命題鐐誤的是()

A.命題“若％2_3%+2=0，貝!Jx=l”的逆否命題為“若xwl,則尤2_3尤+2力0”

B.命題“若爐—3%+2=0,貝！J%=1”的否命題為“若必-3%+2#0,則xwl”

C.若命題p：%<-1,或%>1；命題4工<-2,或尤>1,則可是「7的必要不充分條件

D.“x>2”是一3%+2>0”的充分不必要條件

5.已知直線4:以一2y+4=0與直線/2：x+(a—3)y+2=0,若乙上,貝!1。=()

A.6B.-6

C.2D.-2

6.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx,則尸⑺的值為()

A.不B.一萬

C.0D.1

22

7.若拋物線V=2px焦點(diǎn)與橢圓二+乙=1的右焦點(diǎn)重合，則0的值為

62

A.-2B.2

CTD.4

8.入冬以來，梁老師準(zhǔn)備了4個(gè)不同的烤火爐，全部分發(fā)給L2,3樓的三個(gè)辦公室（每層樓各有一個(gè)辦公室）.1,2

樓的老師反映辦公室有點(diǎn)冷，所以1,2樓的每個(gè)辦公室至少需要1個(gè)烤火隊(duì)，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有

多少種分發(fā)烤火爐的方法。

A.108B.36

C.50D.86

9.某汽車制造廠分別從A,B兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程（單位:

103km）

4類輪胎:94,96,99,99,105,107

8類輪胎：95,95,98,99,104,109

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A4類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)

B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差

CA類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于8類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)

D4類輪胎的性能更加穩(wěn)定

10.某市要對兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在［20,45］歲

之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市

出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是（）

頻率

組距

r

0.08(

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

O202530354045年齡（歲）

A.31.6歲B.32.6歲

C.33.6歲D.36.6歲

11.拋物線y=4/的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

A.(1,0)B.(0,1)

C0,

\8口"A

2〃+1,.丁nA

12.已知數(shù)列｛%｝滿足:4=而工I廣數(shù)列均的前“項(xiàng)和為I，，若7>(〃+1)(〃+10)〃eN*)恒成立，則

X的取值范圍是()

(33

A.一0°'GB.(-<?,5)

C.［7,而JD,(-4)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.如圖，把橢圓(>=：!的長軸A5八等分，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于6，P2,L,鳥七

個(gè)點(diǎn)，R是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則歸刊+怛制+優(yōu)川++由刊的值為

14.已知點(diǎn)4(1,。)，圓。：/+/=4.若過點(diǎn)A的圓。的切線只有一條，求這條切線方程.

尤+2

15.不等式一^w0的解集是.

X-1

16.在.ASC中.若sinA,sin5,sinC成公比為血的等比數(shù)列，貝Ucos5=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=—；三+2/+1.

(1)求Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［—1,2］上的最大值與最小值.

18.（12分）已知數(shù)列｛a,,｝滿足q=；,a〃+i+gg,“eN*

（1）求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛飆｝的前"項(xiàng)和S,,

19.（12分）記S“為等差數(shù)列數(shù)“｝的前幾項(xiàng)和,已知的=—3,S4=0.

（1）求｛%』的通項(xiàng)公式；

（2）求S“，并求S”的最小值.

20.（12分）已知函數(shù)/（力=/+依一山》,a&R.

（1）若a=l,求曲線y=/（%）在點(diǎn)（L/（l））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（%）在口,3］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.（12分）某話劇表演小組由6名學(xué)生組成，若從這6名學(xué)生中任意選取3人，其中恰有1名男生的概率是2.

（1）求該小組中男、女生各有多少人？

（2）若這6名學(xué)生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.

22.（10分）已知橢圓C：4+p-=1（。>6>0）的離心率為客，并且經(jīng)過點(diǎn)P（—1,日），

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為Q,點(diǎn)加（工,治）（/片±1）為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線的斜率分

別為L，k2,求證：匕?七為定值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得％+%0=%+。6=28,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由題意，等差數(shù)列｛4｝滿足。5+4=28,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得4+《0=%+4=28,

1O-(.M1O^O.

所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為Si。1+==14

22

故選：A.

2、B

【解析】設(shè)'=0"+3%，貝!|/'(x)=3+ae%若函數(shù)在xGR上有大于零的極值點(diǎn)

即/'(%)=3+四6=0有正根，當(dāng)有/'(x)=3+ae?=0成立時(shí)，顯然有a<0,

13

此時(shí)x=—ln(—-).由尤>0,得參數(shù)a的范圍為a<—3.故選B

aa

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

3、D

【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出八％)的單調(diào)性，由此化簡不等式/(%-3)-/(2%-1)<。來求得不等式的

解集.

【詳解】當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=e*+2x+sinx1eX+2x+sinx)=eX+2+cosx>0,f(x)單調(diào)遞增，f(0)=1,所

以/(x)>0,〃x)單調(diào)遞增.

因?yàn)?(%)是偶函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，/(尤)單調(diào)遞減.

/(x-3)-/(2x-l)<0,/(x-3)</(2x-l),|X-3|<|2X-1|,(X-3)2<(2X-1)2,

x~—6x+9<4x"—4x+1,3x'+2x—8>0,

4

(x+2)(3x—4)v—2或%>§.

即不等式f(x-3)-f(2x-l)<0的解集為(一叫—2)。

故選：D

4、C

【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出力、F,根據(jù)充分條件和必要條件的概

念可以判斷C；解出不等式無2—3%+2>0,根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.

【詳解】命題“若V—3%+2=0,則X=1”的逆否命題為“若xwl,則V—3尤+2/0”，故A正確；

命題“若V—3%+2=0,則i=1”的否命題為“若%2一3%+2工0,則xwl"，故B正確;

若命題p：x<T或尤>1;命題q：%<-2或尤>1,則Y：—IWXWI是F：—2Wx<l的充分不必要條件，故C

錯(cuò)誤；

%2—3%+2>0=%>2或xVL故“尤>2”是“爐―3%+2>0”的充分不必要條件，故D正確.

故選：C.

5、A

【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；

【詳解】解：因?yàn)橹本€/1：ax—2y+4=0與直線/2：x+(a—3)y+2=0,所以axl+(—2)x(a—3)=0,

解得a=6；

故選：A

6、B

【解析】對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，然后將〃代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.

【詳解】/(x)=x-sinx+cosx,貝!!ff(x)=sinx+x-cosx—sinx=x-cosx,

貝!If'5)-"COS"=-71,

故選：B

7、D

22

【解析】解：橢圓L+2L=I的右焦點(diǎn)為(2,0),所以拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為(2,0),則。=4,故選D

62

8、C

【解析】運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)3樓不要烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：C：+C：+C：=4+6+4=14；

當(dāng)3樓需要1個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：C：(C：+C；)=4x(3+3)=24；

當(dāng)3樓需要2個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：CG=6x2=12,

所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：14+24+12=50,

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理是解題的關(guān)鍵.

9、D

【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.

【詳解】解：對A：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99,3類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13,5類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14,選項(xiàng)B錯(cuò)誤

對c：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為100+---------------=100,8類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為

6

-5-5-2-1+4+9

100+-100,選項(xiàng)C錯(cuò)誤

6

對D：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為

(94-1(<+(96-K<+(99-100)2x2+(105-IO。"”/-100)164.3類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為

63

(95-100)2x2+(98-100)2+(99-1。。)2+(1。4-1。。)2+(1。9-1。。)］至>竺故4類輪胎的性能更加穩(wěn)定,

633

選項(xiàng)D正確

故選：D.

10、C

【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1計(jì)算出數(shù)據(jù)位于［25,30)的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數(shù)的

原則求出中位數(shù)

【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為1,

所以，數(shù)據(jù)位于［25,30)的頻率為1-(0.01+0.07+0.06+0.02)x5=0.2,

前兩個(gè)矩形的面積之和為0.01x5+0.2=0.25,

前三個(gè)矩形的面積之和為0.05+0.2+0.07x5=0.6,

所以，中位數(shù)位于區(qū)間［30,35),設(shè)中位數(shù)為。，

則有Q05+0.2+(a—30)x0.07=0.5,解得。*33.6(歲)，故選C

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要充分利用頻率分布直方圖中中

位數(shù)的計(jì)算原理來計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題

11、D

【解析】根據(jù)拋物線d=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，￥)可知，拋物線y=4f即必=!丫的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,々)，故選D.

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).

12、D

2n+l1T11-I.n2+2n

【解析】由于4_^=----_曰，所以利用裂項(xiàng)相消求和法可求得(=7；―而，然后由

4；rx(n+l)”*.+1)2」4(力+1)

T(n+10)(n+2)(n+10)(n+2)

"可得」"%恒成立,再利用基本不等式求出'“八十’的最小值即可

(n+l)(n+10)v)4(n+l)4(n+l)

n

彳，

(幾+1)(〃+10)

5+10)5+2)

即4(〃+1)>4恒成立,

I(9、

化簡得到了5+D+7~八+10>A,

4「5+1)/

119?1I9-9

因?yàn)橐?〃+1)+T——7+1。>-2(H+1)--——-+10=4,當(dāng)且僅當(dāng)咒+1=——即九=2時(shí)取等號(hào),

)〃

4。15+1)J41W(+1))n+1

所以幾<4

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、28

【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為尸由橢圓的幾何性質(zhì)可知：|2/舊甲？|，|卡臼?尸||單明忸a同理

可得出川+出尸卜代尸|+|々尸目6萬|+|以萬卜2區(qū)同=2況且。=4,故歸尸|+代戶|+|月刊+,+出刊==28,

故答案為28.

14>x+Gy-4=0或%-石、-4=0

【解析】由題設(shè)知A在圓上，代入圓的方程求出參數(shù).，結(jié)合切線的性質(zhì)及點(diǎn)斜式求切線方程.

【詳解】因?yàn)檫^A的圓。的切線只有一條，則4(1,a)在圓上，

所以1+/=4,則。=±6，且切線斜率左=一即左=±3,

kOA3

所以切線方程y—6=—g(x—1)或y+G=#(x—1),整理得x+百y—4=0或.島_4=0.

故答案為：X+-4=0或％--4=0.

15>［-2,1)##{%|-2<X<1］

【解析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即得.

(x+2)(x-l)<0

【詳解】原不等式等價(jià)于'八，/，解得-2?x1,

x-lwO

故答案為：［—2,1).

16、3

4

【解析】由條件可得sinBuJ^sinA,sinC=2sinA,即Z?=后〃,。=2〃，由余弦定理可得答案.

【詳解】由sinAsin尻sinC成公比為攻的等比數(shù)列，即sinB=J5sinA,sinC=2sinA

由正弦定理可知b=42a,c=2a

a2+c2-b1/+4/-2/3

所以cos5=

lac2x〃x2a4

3

故答案為：-

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為［0,4］；單調(diào)減區(qū)間為(—8,0)和(4,也)；(2)/(x)^=1；/(%)max=y.

【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，令/'(x)>0,求出單調(diào)遞增區(qū)間；令/'(尤)<0,求出單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)函數(shù)“力的定義域是R,

f\x)=-x2+4x,

令/'(尤)之0,解得0WxW4

令/■<%)<(),解得x>4或x<0,

所以〃龍)的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,4］,

單調(diào)減區(qū)間為(-8,0)和(4,+8)；

(2)由⑴/⑺在單調(diào)遞減,

在［0,2］單調(diào)遞增，

所以"%)皿=/(°)=1，

E8。119/1c[10

而/⑵=-§+8+1=可，/(-1)=j+2+l=y,

1Q

故最大值是"2)=].

,、n

18、(1)an=—

(2)Sn=--^^

n443

【解析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系式可得3向凡+1-3"4=1,再由等差數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式即可求解.

(2)利用錯(cuò)位相減法即可求解.

【小問1詳解】

(1)3"+%“+i=3"4+1,即3"+1。用一3%“=1,

所以數(shù)列*'%｝為等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為1,

所以3"%="，即%尸訶.

【小問2詳解】

人c12n112

令S"=g+系++可公”=?+于+

所以U+J++*言=如-

n32/1+3

2.3"~4~4-30

19>(1)an=2n-5

2

(2)Sn=n-4n,-4

【解析】(1)由q=-3,$4=0計(jì)算出公差，再寫出通項(xiàng)公式即可.

(2)直接用公式寫出S,,配方后求出最小值.

【小問1詳解】

設(shè)公差為d,由$4=0得4(。+&)=0,從而4+/=0,即2q+3d=0

又q=-3,：.d=2/.an=q+(〃_l)d=2“_5

【小問2詳解】

由⑴的結(jié)論%=2〃-5,

n(-3+2n-5)2

S,—-----=---------=n-An

n229

，S“=5-2)2-4,.??當(dāng)〃=2時(shí)，s,取得最小值y.

20、(1)2x-y=0.

17

⑵—00,--------

3

【解析】分析：(1)由/'(1)=2和/(1)=2可由點(diǎn)斜式得切線方程;

(2)由函數(shù)在［1,3］上是減函數(shù)，可得/⑴=2x+J=2廠+6T?0在［1,3］上恒成立,h(x)=2x2+ax-l,

XX

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解.

詳解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=x2+x-lwc

所以/(2=2%+1-工,r(l)=2,Xf(l)=2

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為2x-y=0.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)在［1,3］上是減函數(shù)，

所以,(%)=2工+"!="山匚<0在［1,3］上恒成立.

XX

做法一：

/、2A(l)<0a-~l

令/i(x)=2f+以-1,有｛7晨,八，得｛17

/z(3)<0a<-■—

417

故aV-----

3

(17一

實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-8,一可

做法二：

即2/+必_1<0在［L3］上恒成立，則a<工—2x在［1,3］上恒成立，

X

^h(x)=--2x,顯然從光)在［1,3］上單調(diào)遞減，

X

17

則。<%(力而n='⑶，得

，實(shí)數(shù)a的取值范圍為1-0°，-不

點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：

（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

（2）若/（x）＞0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為/（x）皿〉0,若/（x）＜0恒

成立07（初皿＜0；

（3）若/（X）＞g（X）恒成立，可轉(zhuǎn)化為了S^nAglBM（需在同一處取得最值）.

21、（1）男生人數(shù)為2,女生人數(shù)為4;

（2）

3

【解析】（1）設(shè)男生的人數(shù)為〃，則女生人數(shù)為6-”，且根據(jù)組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式