2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為若%=1,%=3,S4=()

A.12B.10C.8D.6

【正確答案】C

【分析】利用等差數(shù)列定義，先求出d=%-4=2,再求出4，’,最后得到S’.

［詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則d=%-4=2,

.?.q=%—d=—La4=t?+d=5..="∣+&+/+/=8,

故選：C.

2.如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是g,且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為

13

BD.

-17416

【正確答案】D

【詳解】由題意，燈泡不亮包括四個(gè)開(kāi)關(guān)都開(kāi)，后下邊的2個(gè)都開(kāi)，上邊的2個(gè)中有一個(gè)開(kāi),

這三種情況是互斥的，每一種情況的事件都是相互獨(dú)立的,

所以燈泡不亮的概率為g3

X-X-X-÷-×-X-X-+-×-×-X—

2222222222216

313

所以燈泡亮的概率為I-Ir雨’故選D?

3.現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，測(cè)試它們一日可行的路程.已知第i

(Z=1,2,...,16)匹馬的日行路程是第i+1匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為315

里，則這17匹馬的日行路程之和約為(取1.05"=2.292)()

A.7750里B.7752里

C.7754里D.7756里

【正確答案】B

【分析】由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式計(jì)算.

【詳解】t?=30°,依題意可得，第17匹馬、第16匹馬......第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成

等比數(shù)列，且首項(xiàng)為300,公比為1.05,

故這17匹馬的日行路程之和為

300×(l-l.05l7)

=60∞×(1.05'7-1)=6000×(2.292-1)=7752(里)?

1-1.05

故選：B.

4.口袋中有相同的黑色小球"個(gè)，紅、白、藍(lán)色的小球各一個(gè)，從中任取4個(gè)小球.。表示當(dāng)〃=3

時(shí)取出黑球的數(shù)目，〃表示當(dāng)〃=4時(shí)取出黑球的數(shù)目.則下列結(jié)論成立的是()

A.E(。)<￡(〃)，D(。)<￡>⑺B.E(。)>￡(〃)，D(j)<D(〃)

C.E(E)<E(〃)，D(力>D(〃)D.E(<)>￡(〃)，D(<f)>D(〃)

【正確答案】A

【分析】當(dāng)〃=3時(shí)，g的可能取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E(?)=2,D(?)=∣;

當(dāng)“=4時(shí)，〃可取1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E(〃)=與，D(T7)=即可

得解.

【詳解】當(dāng)〃=3時(shí)，<的可能取值為1,2,3,

P(O=I)=警=，%=2)=竽=∣,p("3)=警4

CZ6,V6?yD

131112

?E(ξ)=→2×→3×-=2,D(ξ)=→~=-

當(dāng)〃=4時(shí)，〃可取1,2,3,4,

P(E)=等4，W=2)=等4

PS=4)=?^^?總，

P(E=等卷,

L/,4C18C124116

￡(77)=----∏2×----∏3×----∏4×—=——

v7353535357

24

49

C.E{ξ)<E{η),D?<D⑺.

故選:A.

本題考查了超幾何分布概率公式的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量期望和方差的求解，屬于中檔題.

*)的圖象在點(diǎn)(，刖處的切線的斜率為%,則數(shù)列]

5.已知函數(shù)/(X)=依+l∏x(k∈N，的

a,fln.?,

前〃項(xiàng)和S”為()

1C3/?2+Sn,C3n2+5〃

A，U?B-2(〃+1)(〃+2)c?4(〃+1)D-8(〃+1)(〃+2)

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出凡，再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.

【詳解】r(x)="+g,則/=IG)=2”,

所以α√l"+∣2〃(2〃+2)w+l)'

所以S“=￡+—+n

4(n+l)-

故選：C.

6.32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專業(yè)棋

手進(jìn)行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名，則業(yè)余棋手隊(duì)獲

勝.己知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為!，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概率均為9，若

業(yè)余棋手隊(duì)獲勝，則選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為()

A.24B.25C.26D.27

【正確答案】A

【分析】由二項(xiàng)分布及其期望計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X,選擇與乙進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人

數(shù)為匕

設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為〃，則選擇與乙進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32-〃.

X所有可能的取值為0,1,2,…，〃，則f(X)=p

y所有可能的取值為0,1,2,…，32-〃，則E(y)=%∕,

所以獲勝的業(yè)余棋手總?cè)藬?shù)的期望E(X+y)=E(X)+E(y)=g+%皆=*^≥10,解得“≥24.

故選：A.

7.已知函數(shù)f(x)與g(x)定義域都為R,滿足/(x)=(x+l)j(x),且有g(shù)'(x)+xg'(x)-xg(x)<O,

g⑴=2e,則不等式f(x)<4的解集為()

A.(1,4)B,(0,2)C.(r°,2)D.(l,+∞)

【正確答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合題意可知If(X)<0,/(x)在(Y?,y)上單調(diào)遞減，又/(x)<4=/⑴,結(jié)合

單調(diào)性定義可得不等式的解集.

【詳解】由〃x)=(x+；)，(x)可得

g(x)e*+(x+l)g"?)e'-(x+l)g(x)e~r_xg'(x)+g'(x)τg(x)

一-

而g'(x)+xg'(x)-xg(x)<O,/'(x)<0,/(x)在(fo,+∞)上單調(diào)遞減，

又g(l)=2e,則/(ι)=≥^l=竺=4,

ee

所以f(χ)<4=y>⑴,則x>ι,

故不等式/(x)<4的解集為(1,e).

故選：D.

8.若函數(shù)"》)=1毀,(狽73)(。>0且。*1)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，則α的取值范圍是()

A.[3,-κo)B.(1,3]C.(0,；)D.?,?

【正確答案】A

【分析】令〃=g(x)=0x-d,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間，再分α>l和O<α<l兩種情況討

論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】令"=g(x)=0r-x3,則g，(X)=a-3?√,

當(dāng)x>∕或x<-需時(shí)，g<x)<O,當(dāng)H<x<占時(shí)，√(x)>θ,

所以g(x)在(「,+8和-8,-4]上遞減，在上遞增，

當(dāng)。>1時(shí)，y=log,〃為增函數(shù)，且函數(shù)f(χ)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

a>1

所以≤O,解得cι≥3f

此時(shí)g（X）在（0,1）上遞增，則g（x）>g⑼=O恒成立,

當(dāng)O<“<ι時(shí)，y=log“〃為減函數(shù)，且函數(shù)/（χ）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增,

但<0

所以V3一，無(wú)解，

0<67<1

綜上所述，。的取值范圍是［3,小）.

故選：A.

二、多選題

9.以下說(shuō)法正確的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位數(shù)為95

B.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量X,>的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（XryJ,（巧，坊），，（/，%），由此得到的

線性回歸方程為g%+4,回歸直線y=?r+<5至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（多，珀，（孫幾），，（％%）中的

—■個(gè)點(diǎn)

C.相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

D.已知隨機(jī)事件A,B滿足P（A）>0,P（B）>0,且P（BlA）=尸（3）,則事件A與8不互斥

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解；

對(duì)于B選項(xiàng)：結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)即可求解；

對(duì)于C選項(xiàng)：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；

對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)互斥事件的定義和事件的相互獨(dú)立性即可求解.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：從小到大排列共有9個(gè)數(shù)據(jù)，則i=9x75%=6.75不是整數(shù)，則第75百分位

數(shù)為從小到大排列的第7個(gè)數(shù)據(jù)，即第75百分位數(shù)為95,所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：線性回歸方程Rgχ+G不一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（知乂），（巧，/），，（七，然）中的任何一個(gè)

點(diǎn)，但一定經(jīng)過(guò)樣本的中心點(diǎn)即（元月，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,

所以C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)镻(3∣A)=P(B),則P(AB)=P(BlA)P(A)=P(B)P(A),

則事件A與B相互獨(dú)立，所以事件A與8不互斥，所以D選項(xiàng)正確；

故選：ACD.

10.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,其前〃項(xiàng)和為S,,,前〃項(xiàng)積為T.，并滿足條件q>l,?l9??20>l,

女吟<0,下列結(jié)論正確的是()

〃2020-]

A.52019<S2020

B.。2019,。2021-1<°

C.TiOM是數(shù)列｛(｝中的最大值

D.若騫>1,則〃最大為4038.

【正確答案】ABD

【分析】先根據(jù)題意可確定0<4<l,根據(jù)?)2°>0可判斷A；根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合見(jiàn)回<1可判

斷B；根據(jù)數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，且。刈9>1,<1判斷C；再根據(jù)7；的公式，結(jié)合〃刈9>1,a2020<1

判斷D即可.

【詳解】對(duì)A,?.?q>l,?l9?20>I,M三<0,且數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，

“20201

??。2019>19。2020<1，??()<4<1,

因?yàn)椤?020〉。，,?$2019<$2020，故A正確；

對(duì)B,.「201942021=。2020~<1，，?。2019。2021一1<°，故B正確；

對(duì)C,因?yàn)榈缺葦?shù)列｛αj的公比。<夕<1,6>1,所以數(shù)列｛q｝是遞減數(shù)列，

因?yàn)椤?019>1'a2β20<?>所以4019是數(shù)列｛北｝中的最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；

〃(“一1)(nTV,

l2,,ln22a<

對(duì)D,Tfl=al?alq?alq..,alq~=ai?q=axq>1,因?yàn)?o∣9>l,2(no??故4<7刈">1,

209

01^'<l,故等<2019,即“<4039,故〃最大為4038,故D正確.

故選：ABD.

??.已知函數(shù)/(x)=Y-2x+l,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是().

A.〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./(x)有一個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=∕(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y="x)的切線

【正確答案】BD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)/(x)求導(dǎo)后判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)：對(duì)于B選項(xiàng)，結(jié)合A

選項(xiàng)求解的函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)：對(duì)于C選項(xiàng)利用函數(shù)平

移，構(gòu)造g(x)=x3-2x,判斷g(x)的奇偶性，進(jìn)一步得到對(duì)稱中心；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)條件直接

求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷結(jié)果；

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由/(X)=X3-2X+1,定義域?yàn)镽,可得/'(X)=3X2-2,

令f'(x)=0,可得χ=±*,

因?yàn)閞(x)=3d-2>0,得χ>|或…乎,/(X)=3X2-2<0,得一旦<χ<也,

所以，/.(X)在(當(dāng)凈單調(diào)遞減，/(x)在(一8,-半)，(當(dāng),+∞)單調(diào)遞增，

所以，X=-半是F(X)有極大值點(diǎn)，X=半是/(X)有極小值點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，由A可知/(x)極大值為=生結(jié)2>。，

(ΓT?QA[7

/(X)極小值/+/(-2)=-8+4+l<0,/(2)=8-4+l>0

所以，根據(jù)/(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可知，“X)在(-8,-半)，(-夸,坐)，(*,+8)各存

在1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/(x)=x3-Zv+l有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，

可設(shè)g(x)=d-2x,得g(-x)=r3+2x=-g(x),則g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱,

將g(x)向上平移1個(gè)單位可得〃x),故函數(shù)關(guān)于(0,1)對(duì)稱，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由A知r(x)=3d-2,令r(x)=3d-2=2,解得》=±冥1,貝IJd='芋，

3?`)

J2√3?∣4√3+9

fF=F-，

7

義工由19-46](2√34^+9V^.#CJ?

由于切點(diǎn)-∑-,—-—,——,---均不滿足y=2χ,

(3y7k?y√

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：BD

12.如圖,有一列曲線Ω,,Ω2,........Ω,,...........且Ωι是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，Cr是對(duì)C,(i=12)

進(jìn)行如下操作而得到：將曲線。,的每條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三

角形，再將中間部分的線段去掉得到記曲線α,("=12)的邊數(shù)為周長(zhǎng)為C.，圍成的面

積為S“，則下列說(shuō)法正確的是()

△OGG…

Ω∣Ω2Ω3Ω4

A.數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列

4

B.數(shù)列｛C｝是首項(xiàng)為3,公比為I的等比數(shù)列

C.數(shù)列｛S,,｝是首項(xiàng)為手，公比為I■的等比數(shù)列

D.當(dāng)〃無(wú)限增大時(shí)，S,,趨近于定值與

【正確答案】ABD

［分析】結(jié)合圖形規(guī)律得LN=L,,+3Ln=4L?,即可判斷A,根據(jù)第"個(gè)圖形的邊長(zhǎng)為

G=U即可判斷B,根據(jù)S,,=S,τ+Lχ*(f-,利用累加法及等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式求

出S”.

【詳解】L向是在L“的基礎(chǔ)上，每條邊新增加3條新的邊，故Lm=O+3。=4。，又。=3,所以數(shù)

列｛4｝是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列,且L.=3x4"τ故A正確，

第"個(gè)圖形的邊長(zhǎng)為，故數(shù)列｛CJ是首項(xiàng)

4

為3,公比為!■的等比數(shù)列，故B正確,

因?yàn)镼2是在QI的每條邊上再生出一個(gè)小正三角形，于是

S,=S]+3x

同理，對(duì)Q,,是在QT的每條邊上再生出一個(gè)小正三角形，

于是Q,的面積等于。,-的面積加上L,-個(gè)新增小三角形的面積,

即S“=S,τ+4”架「，

s,f+年小

于是可以利用累加的方法得到

34

S=S+---S

27,149,1

將上面式子累加得

I-≡1<l}=<∣-≡

當(dāng)"→例時(shí)，S.→中**故C錯(cuò)誤，D正確,

故選：ABD

三、填空題

13.記S,為數(shù)列｛q｝的前項(xiàng)和，若S“=2?！?1,則兒.

【正確答案】-1023

【分析】對(duì)”=1和w≥2分類討論，結(jié)合q=S,,-S,T，(“≥2),計(jì)算得出數(shù)列｛S.1｝是等比數(shù)歹J,

并寫出通項(xiàng)公式，得到S,,=J2",即可得出品).

【詳解】當(dāng)W=I時(shí)，5∣=2q+l,%=-l

當(dāng)“≥2時(shí)-SQ+1

所以數(shù)列｛s,,-1｝是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列

則S,,-l=-2"

?S?=1-2n

即SK)=I-2'°=-1023

故幾=-1023

形如4H=m,,+4S?1)，常用構(gòu)造等比數(shù)列：

對(duì)α,+∣=%“+d變形得4“i+x=b(a“+x)(其中X=S?),貝∣J{%+x}是公比為匕的等比數(shù)列，利用它

可求出.

14.隨機(jī)變量4的分布列如下表所示，則方差Z)(G的取值范圍是.

7Q

【正確答案】后ν

【分析】結(jié)合概率之和為1求出。與人之間的關(guān)系，進(jìn)而用人表示出期望公式和方差公式，最后結(jié)合

二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.

1222

【詳解】由題意可知，a+b^?--^-,則0≤”≤;,0≤?≤4,

3333

12

故隨機(jī)變量4的數(shù)學(xué)期望EC)=；xO+a+26=a+26=；+6,

從而。⑷=￡34一城/評(píng)=—。5)2+131,

I6?2

2

因?yàn)镺C,

2Q

所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知，-≤D(?)≤^,

故方差O⑶的取值范圍是后,就

15.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個(gè)定理：如果函數(shù)y=f(x)滿

足如下條件：(1)在閉區(qū)間［4句上是連續(xù)不斷的；(2)在區(qū)間(。力)上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間(。,6)上至

少存在一個(gè)數(shù)焉使得/(?)-∕(a)=f?ξ×b-d),其中4稱為拉格朗日中值.則g(x)=InX在區(qū)間［l,e］

上的拉格朗日中值".

【正確答案】e-?

【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得g'(g)=-7,進(jìn)而求得4的值即可.

【詳解】g'(x)=L則g'(4=:由拉格朗日中值的定義可知，函數(shù)g(x)=InX在區(qū)間［l,e］上的拉格

朗日中值自滿足，g(e)-g(l)=g")(eT)

所以g'(3=芻4普==，

所以g'(g)=J='7，則J=e-1

ξe-1

故e-1

16.在一次新兵射擊能力檢測(cè)中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射擊，合格通過(guò)；5次全

不中，則不合格.新兵4參加射擊能力檢測(cè)，假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立，且擊中靶標(biāo)的概率均為

pφ<p<?),若當(dāng)P=%時(shí)，他至少射擊4次合格通過(guò)的概率最大，則Po=.

【正確答案】I-姮/一姮+1

55

【分析】由題設(shè)至少射擊4次合格通過(guò)，即第4或5槍擊中靶標(biāo)，可得/(P)=(I-P)3(2。-/),利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在(0,1)上的最值，根據(jù)最值成立的條件即得%.

【詳解】至少射擊4次合格通過(guò)的概率為/(p)=(I-P)3p+(1-P)&P=(I-p)3(2p-p2),

所以/'(P)=(I-P)2(5/-IOp+2),令f(p)=0,解得P=I一半，

故/(P)在(U-半)上單調(diào)遞增，在I-半,1上單調(diào)遞減，

當(dāng)P=I-巫時(shí)/(P)得最大值，故為=I-巫.

故I-姮

5

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用P表示至少射擊4次合格通過(guò)的概率/(p),并利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,1)上的最值即可.

四、解答題

17.己知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，等比數(shù)列他』滿足α=4,2?t=%+%.

⑴求也｝的通項(xiàng)公式;

⑵記g=記,求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和人

【正確答案】(1)2=2"

、〃

⑵cZT,=6￡-2亍+-3

【分析】(1)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解;

(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前〃項(xiàng)和.

【詳解】(1)由題可知q=2+(〃—l)x4=4〃—2.

因?yàn)?=al,2b4=a4+a5,

所以〃=2,2%=/+%=32,得A=16.

設(shè)等比數(shù)歹U包,｝的公比為4,則?4=?I√=16,

所以4=2,

bn=2X2"T=2",即｛bn｝的通項(xiàng)公式為2=2".

(2)由(1)得C"=^^=^^?=(2"-I)X擊，

則［=lxl+3xg++(2〃一3)，擊+(2〃一1"擊，

"τx∕+3xj++(2"-3)x擊+(2"-l)x?，

兩式相減得？,=1+26+*++*)-(2"-l)x?

2

?2〃+3

=3----------

T

痂2n+3

故4=6一3∑r?

18.設(shè)x=-3是函數(shù)/(X)=加+加-3x+c'的一個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=∕(x)在X=I處的切線斜率為8.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)在閉區(qū)間上的最大值為10,求C的值.

【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-3)和［g,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是,3,；)

(2)4

∕,(-3)=°

【分析】(I)求導(dǎo)后，根據(jù)求出a,b,再利用導(dǎo)數(shù)可求出單調(diào)區(qū)間:

/'(1)=8

(2)根據(jù)(1)中函數(shù)的單調(diào)性求出最值，結(jié)合已知的最值列式可求出結(jié)果.

J-)=。

2

【詳解】(I)f?x')=3ax+2bx-3,由已知得Ir⑴=8

27a-6Z?-3=0

解得Q=Lz?=4.

3Λ÷2?-3=8

于是/'(x)=3f+8x-3=(x+3)(3x-l),

由/?x)>0,得x<—3或X>；,由r(x)<0,得-3<x<g,

可知x=-3是函數(shù)〃x)的極大值點(diǎn)，“=1力=4符合題意，

所以〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-3)和(；，+8),單調(diào)遞減區(qū)間是f-?,?j.

(2)由(1)知/(x)=∕+4χ2-3x+c,

因?yàn)?(x)在區(qū)間-ι,g)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(；』上是單調(diào)遞增函數(shù)，

X∕(l)=2+c<∕(-l)=6+c,

所以/(x)的最大值為/(T)=6+c=10,解得c=4.

19.某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了IOO

名學(xué)生一個(gè)月(30天)完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：

天數(shù)10,5](5,IOJ(10,15](15,20](20,25](25,30J

人數(shù)4153331116

(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布其中〃近似為樣

本的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值)，且b=6.1,若全校有3000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1

小時(shí)''活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)(精確到1)；

(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在(15,30］的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在［0,

15］的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對(duì)當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時(shí)'’活動(dòng)超過(guò)15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”

稱號(hào).請(qǐng)?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：

性別活動(dòng)天數(shù)合計(jì)

[0,15](15,30]

男生

女生

合計(jì)

并依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論

是有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響.

附：參考數(shù)據(jù)：P(μ-σ≤X<χ∕+σ)≈0.6827；P(μ-2σ<X≤χ∕+2σ)≈0.9545；

P(χ∕-3σ≤X≤χ∕+3σ)=0.9973./=---------，-----------------(n=a+b+c+d?

',z(α+3)(c+d)(α+c)伍+d)',

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【正確答案】(1)476人

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)利用頻數(shù)分布表，求得樣本的平均數(shù)，從而寫出X近似服從正態(tài)分布X-MI4.9,6.1),

利用參考數(shù)據(jù)求得參加“每天鍛煉1小時(shí)'’活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)；

(2)根據(jù)頻數(shù)分布表和已知條件，完善列聯(lián)表，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，求出學(xué)生性別與獲得“運(yùn)

動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)是否有關(guān)聯(lián)和它們之間如何相互影響.

【詳解】(1)由頻數(shù)分布表知

4×2.5+15×7.5÷33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.5._.∣即5，八

μ=-----------------------------------------------------------------------------------=114.9,則mXv-Ml4.9,6.1),

I(X)

P(〃一bVX≤"+σ?)=0.6827,

1_∩∕xC97

.?.P(X>21)=ΛX>14.9+6.1)=^^-------=0.15865,

2

.?.3(XX)×0.15865=475.95≈476,

???參加”每天鍛煉1小時(shí)''活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)約為476人.

(2)由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在［0,15］的人數(shù)為：4÷15÷33=52,

參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0,15］的學(xué)生中有20名男生，

參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0，15］的學(xué)生中有女生人數(shù)：52-20=32

由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在（15,30］的人數(shù)為31+11+6=48,

參加''每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15,30］的學(xué)生中有30名男生，

參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0,15］的學(xué)生中有女生人數(shù)：48-30=18

列聯(lián)表如下：

活動(dòng)天數(shù)

性別合計(jì)

[0,15](15,30]

男生203050

女生321850

合計(jì)5248100

零假設(shè)為，。：學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)無(wú)關(guān)

100×(30×32-20×18)2

Z2≈5.769>3.841

50x50x52x48

依據(jù)C=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷，。不成立，即：可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)有

關(guān)；

而且此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05,根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動(dòng)天數(shù)超過(guò)15天

Ο∩1Q

的頻率分別為：為=0.6和蕓=0.36,可見(jiàn)男生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的頻率是女生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)

人''的稱號(hào)頻率的宴a1.67倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認(rèn)為男生獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)

0.36

人''的概率大于女生，即男生更容易獲得運(yùn)動(dòng)達(dá)人稱號(hào).

20.已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足〃“+仇=2〃-1,數(shù)列｛%｝,但｝的前"項(xiàng)和分別記作4，B”,且

A,-BΛI(xiàn)=".

⑴求A,,和B“；

(2)設(shè)C“=2"+J-,求數(shù)列｛&｝的前”項(xiàng)和S“.

‘十必田山▼,八〃(/7+1)n(n-?｝

【正確答案】(1)4=二————L

22

(2)S,,=2n--?-

n+1

【分析】(1)確定4+紇=〃2,再根據(jù)4-紇=〃解得答案.

(2)計(jì)算d="-l,得到g=2"T+1——根據(jù)等比數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.

nτt÷l

【詳解】(1)all+bll=2n-l,所以數(shù)列｛%+2｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

所以其前"項(xiàng)和A,+B,,=^(l+2∕j-l)×n=z?2,又因?yàn)锳,,-B,=n,

LL…n(n+l]n(n-?]

所以4=」—L紇=△―L

n21n2f

⑵當(dāng)〃≥2時(shí)，…一3Q-("1)('L2)="T.

nnn—i22

當(dāng)〃=1時(shí)，b]=B]=O也適合通項(xiàng)公式，

故a="1.

所以S"=(l+2+2?+2,1)+(1.；+捐++?-?)

1—2In+?)H+1

21.已知函數(shù)/(工)=山一^-X2+χ(q>0).

⑴若α=l,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(IJ⑴)處的切線方程；

⑵若函數(shù)〃X)=?nx--^-^+x(a>0)在其定義域上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值.

【正確答案】(l)2x-2y-l=0

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解斜率，由點(diǎn)斜式即可求解直線方程，

(2)將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成X2-2a?nx-2以=0在(0,+8)有唯一實(shí)數(shù)解.構(gòu)造函數(shù)g(x)=V—2a↑nx-2ax,

和∕z(x)=2ht+x-1,利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而確定方程的根，即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(l)=-→l=p

且尸(X)=T-X+1"⑴=1，

???函數(shù)/(x)在點(diǎn)(IJ⑴)處的切線方程y-g=x-l,

即2x-2y-l=0.

(2)/'(X)=?nx-^x1+x[a>0)在其定義域上有唯一零點(diǎn)，

方程Inx-----x2÷X=0,

2a

即Y-2αlnx-20x=0在(。,+8)有唯一實(shí)數(shù)解.

設(shè)屋力=工2—勿InX_2以，則/(X)=生二2ΞΞΞZΞ..

令g'(x)=°,BPX2-ax-a=0.6Z>0,%>0,

.?.A：?-ax-α=o的兩個(gè)根分別為

a—?Jcι~+4?cιz??Xα+J4~+4α

X=----------------<0(舍去)，x=-----------------?

'12722

當(dāng)X∈(O,Λ?)時(shí),g'(x)<O,g(x)在(0,9)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X∈(Λ?,+∞)時(shí)，8”)>0,8(力在(0,￡)上單調(diào)遞增,

當(dāng)X=X2時(shí)，g'(%)=O,g(x)取最小值g。)，

要使g(x)在(0,切)有唯一零點(diǎn)，則須上WU即卜:-24l>%-,X2=0,

[g(Λ2)=0,[xl-ax2-a=0,

.?2alnx2+ax2-a=0,a>09