2023年初升高數(shù)學(xué)銜接 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）講義

根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程"2+bx+c=0（存0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

-by/b2-4ac-b—y/b2-4ac

x=---4--------,x.=-----------，

1]2a22a

則有____________

-b+\/b2-4ac-b-yjb2-4ac-2bb

X,+X.=----------------F---------------=----=----；

2a2a2aa

_-b+yjb1-4ac-b-y/b2-4ac_b2-（b2-4ac）_4ac_c

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

如果“+以+。=0（存0）的兩根分別是X1,X2,那么X\+x2=

xrx2=^.這一關(guān)系也被稱(chēng)為韋達(dá)定理.

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程/+px+q=0,若

XI，X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知

%1+%2=-p,X1'X2~Q>

即/?=—（?+12）,q—x\-xi,

所以，方程％2+px+q=0可化為/—。］+%2）%+%「尤2=0,由于

X2是一元二次方程/+0%+1=0的兩根，所以，Xl,X2也是一元二次

方程N(yùn)—（X1+X2）X+X「X2=0.因此有

以兩個(gè)數(shù)XI,X2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是

X2—（X1+x2）x+xi*X2=0.

例2已知方程5%2+H一6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及左

的值.

分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出

上的值，再由方程解出另一個(gè)根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可

以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)

系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩

根之和求出左的值.

解法一：;？是方程的一個(gè)根，

...5x22+左X2—6=0,

.??左=一7.

所以，方程就為5/—7x—6=0,解得制=2,%2=—

所以，方程的另一個(gè)根為一1,攵的值為-7.

解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為乃，則2xi=-.?.xi=—|.

由（-3）+2=-1,得k=-7.

所以，方程的另一個(gè)根為一|,左的值為-7.

例3已知關(guān)于%的方程%2+2（m—2）x+加2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21,求加的值.

分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的

積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值.但在解題中需要特別

注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大

于零.

解：設(shè)為，X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得

%1+%2=—2（m—2）,%「%2=〃於+4.

,.*XI2+A：22—尤「尤2=21,

.,.（%]+%2）2-3xrX2=21,

即[—2（加-2）]2—3（心?+4）=21,

化簡(jiǎn)，得m2—16m—17=0,

解得m=~\,或加=17.

當(dāng)加=—1時(shí)，方程為/+6%+5=0,A>0,滿足題意；

當(dāng)相=17時(shí)，方程為％2+30%+293=0,A=302-4xlx293<0,

不合題意，舍去.

綜上，加=17.

說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)

實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的）的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根

的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可.

（1）在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要

考慮到根的判別式△是否大于或大于零.因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提

是一元二次方程有實(shí)數(shù)根.

例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個(gè)數(shù).

分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x,4利用二元方程求解出

這兩個(gè)數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解.

解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x,y,

則x+y=4,@

xy=-12.②

由①，得y—4~x,

代入②，得

%（4—%）=—12,

即9—4%—12=0,

?*xi--2,X2~~6,

...卜=-2,或＞=6，

〔乂=6,［y2=-2.

因此，這兩個(gè)數(shù)是一2和6.

解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程

4x—12=0

的兩個(gè)根.

解這個(gè)方程，得

——2,%2=6.

所以，這兩個(gè)數(shù)是一2和6.

說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)

定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷.

例5若為和尤2分別是一元二次方程2/+5x—3=0的兩根.

（1）求XL的值；

（2）求4+4的值;

X］x2

（3）X13+X23.

解：??hi和也分別是一元二次方程2N+5X—3=0的兩根，

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??X1+吃5,x1x2=~-.

(1)VI%1-%2產(chǎn)—Xl2+X22-2X{X2—(X1+X2)2-4X\X2—

2-4x(-|-)

="+6=竺,

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IX\_X2I—g.

（2）j-+。（斗+々）2-252（一￥一2?-|）=A'37

石2xj-犬＜-（x/j-（_|）2-~9?

（3）x13+x23=（X1+12）（X\2-X\X2+%22）=（Xl+%2）［（X\+%2）2-3x陷］

=（-j）x［（-1）2-3x（-|）］=-^.

說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后

我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出

其一般規(guī)律：

設(shè)XI和X2分別是一元二次方程辦2+隊(duì)+。=0（〃聲0）,則

-b+y/b2-4ac-b—yb2—4ac

x

\二2a2a

-b+yjb2-4ac-b-yjb2-4ac_12y/b2-4acI

_y/b2-4acVA

⑷一⑷，

于是有下面的結(jié)論：

若Xl和X2分別是一元二次方程ax2+〃x+c=0(存0),貝！J|XL必|

=—(其中A=〃-4ac).

|a|

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用

上面的結(jié)論.

例6若關(guān)于%的一元二次方程/—x+a—4=0的一根大于零、

另一根小于零，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：設(shè)XI，X2是方程的兩根，則

x\xi—a—4V0,①

且A=(-l)2-4(a—4)>0.②

由①得a<4,

由②得的取值范圍是aV4.

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課堂練習(xí)

1.選擇題：

(1)方程》2—2限r(nóng)+3左2=0的根的情況是()

(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒(méi)有實(shí)數(shù)根

(2)若關(guān)于％的方程冽/+(2〃?+l)x+加=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

(A)m<-(B)m>--

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(C)->且加#)(D)m>—-,且加力)

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2.填空：

(1)若方程3x—1=0的兩根分別是X］和m，則工+工

X|x2

(2)方程"zV+x—2〃2=0(加R0)的根的情況是.

(3)以和1為根的一元二次方程是.

3.已知Ja?+8a+16+11=0,當(dāng)左取何值時(shí)，方程區(qū)2+。%+/)=0有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

4.已知方程/—3%—1=0的兩根為xi和足，求(為-3)(x2—3)的值.

基礎(chǔ)題

1.選擇題：

(1)已知關(guān)于%的方程/+而一2=0的一個(gè)根是1,則它的另一

個(gè)根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個(gè)說(shuō)法：

①方程/+2x—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程N(yùn)—2%+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

③方程3/-7=0的兩根之和為0,兩根之積為小

④方程3/+2%=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

2.填空：

(1)方程區(qū)2+4%—1=0的兩根之和為一2,則左=.

(2)方程2%2—%—4=0的兩根為a,仇則。2+/=.

(3)已知關(guān)于x的方程?一如-3a=0的一個(gè)根是一2,則它的

另一個(gè)根是

(4)方程2/+2%-1=0的兩根為Xi和必貝M|=.

3.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2—(2m+l)A:+

1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)

根？

4.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程/—7x—1=0各根

的相反數(shù).

提升題

1.填空：

(1)若“，〃是方程12+2005%—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m

—mn的值等于.

(2)如果a,方是方程/+%—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式?jīng)?/p>

+/方+ab2+的值是.

2.已知關(guān)于X的方程尤2一區(qū)一2=0.

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程的兩根為X1和X2，如果2(%1+%2)＞］崖2，求實(shí)數(shù)攵的取

值范圍.

3.一元二次方程QX2+6X+C=0(40)的兩根為X1和X2.求：

(1)⑶一刈和五產(chǎn)；

(2)%13+^23.

4.關(guān)于X的方程%2+4%+)=0的兩根為X],X2滿足IXl—X21=2,求

實(shí)數(shù)a的值.

拔高題

1.選擇題：

(1)已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2/一網(wǎng)+7

=0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于

()

(A)G(B)3(