核心考點(diǎn)05向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用（原卷版）

核心考點(diǎn)05向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用目錄一．平面向量的基本定理（共17小題）二．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共11小題）三．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題）四．向量在物理中的應(yīng)用（共1小題）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使．2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．二．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】平面向量除了可以用有向線段表示外，還可以用坐標(biāo)表示，一般表示為＝（x，y），意思為以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以（x，y）為終點(diǎn)的向量，它的模為d＝．若＝（m，n），則+＝（x+m，y+n），則﹣＝（x﹣m，y﹣n）；?＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．三．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)＝（x1，y1），＝（x2，y2），則∥（≠）?x1y2﹣x2y1＝0．四．向量在物理中的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】向量在物理中的應(yīng)用向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的數(shù)量積，從而使得向量與物理學(xué)建立了有機(jī)的內(nèi)在聯(lián)系，物理中具有矢量意義的問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題來(lái)解決．因此，在實(shí)際問(wèn)題中，如何運(yùn)用向量方法分析和解決物理問(wèn)題，又是一個(gè)值得探討的課題．應(yīng)用1：向量與力向量是既有大小又有方向的量，它們有共同的作用點(diǎn)，也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn)，但是力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的．用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上．應(yīng)用2：向量與速度、加速度與位移速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成．應(yīng)用3：向量與功、動(dòng)量物理上力作功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移距離的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積．（1）力的做功涉及到兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，即，功是一個(gè)實(shí)數(shù)，它可正，也可負(fù)．（2）在解決問(wèn)題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．用向量理論討論物理中相關(guān)問(wèn)題的步驟一般來(lái)說(shuō)分為四步：（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；（3）參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；（4）問(wèn)題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．平面向量的基本定理（共17小題）1．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如圖，三角形ABC中，，D是線段BC上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，AD交CF于點(diǎn)M，若，則λ＝．2．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知A、B、C三點(diǎn)共線，對(duì)該直線外任意一點(diǎn)O，都有（m，n＞0），則的最小值為．3．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，D，E分別在線段AB，AC上，且＝，＝，點(diǎn)F是線段BE的中點(diǎn)，則＝（）A．+ B．﹣ C．﹣+ D．﹣﹣4．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中已知，，，，則用向量，表示＝．5．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且滿足BD＝2DC，設(shè)，則x﹣2y＝．6．（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知正六邊形ABCDEF，若，，則用，表示為．7．（2022春?閔行區(qū)期中）如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝，＝，＝．（1）用表示，，；（2）求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．8．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A，B，C，D是直角坐標(biāo)系中不同的四點(diǎn)，若＝λ（λ∈R），＝μ（μ∈R），且+＝2，則下列說(shuō)法正確的是（）A．C可能是線段AB的中點(diǎn) B．D可能是線段AB的中點(diǎn) C．C、D可能同時(shí)在線段AB上 D．C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上9．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且，P為BD上一點(diǎn)，向量＝λ+μ（λ＞0，μ＞0），則+的最小值為．10．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）正五角星是一個(gè)與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，且，若，則x+y＝．11．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)平行四邊形ABCD中，△BCD的重心為H，，則μ3λ＝．12．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）某公園有三個(gè)警衛(wèi)室A、B、C，互相之間均有直道相連，AB＝2千米，千米，BC＝4千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時(shí)保安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A，甲的速度為2千米/小時(shí)，乙的速度為1千米/小時(shí)．（1）保安甲從C出發(fā)1.5小時(shí)后達(dá)點(diǎn)D，若，求實(shí)數(shù)x、y的值；（2）若甲乙兩人通過(guò)對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過(guò)3千米，試問(wèn)有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話？（精確到0.01小時(shí)）13．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心為O，過(guò)點(diǎn)O的直線與邊AB、AC分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M、N可以和端點(diǎn)重合）．（1）用的線性組合表示；（2）設(shè)，求的值；（3）求的取值范圍．14．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)O為△OAB所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則△ABC的面積與△OAB的面積的比值為（）A．6 B． C． D．415．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)H是△ABC的垂心，且，則cos∠ABC＝．16．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)銳角△ABC的外心為O，且，則tanA+cotA＝．17．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使DE＝CD，若點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧（不超出正方形）上的任一點(diǎn)，設(shè)向量＝+，則λ+μ的取值范圍是．二．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共11小題）18．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)m的值為．19．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)A（2，3）、B（1，4），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（0，5） B． C．（3，2） D．（﹣3，2）20．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)M（3，2），N（﹣5，﹣1），則，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．21．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若＝（2，b）為直線l：y＝2x﹣1的一個(gè)法向量，則b＝．22．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知兩點(diǎn)M（1，﹣2）、N（2，3），點(diǎn)P滿足，則P的坐標(biāo)為．23．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若，則＝．24．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)，若向量與同向，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．25．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）已知P1（2，7），P（3，9），，則點(diǎn)P2的坐標(biāo)為．26．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），向量＝（﹣4，﹣3），則向量＝．27．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，且，則mn＝．28．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）已知向量＝（﹣1，1），＝（m，2），若存在實(shí)數(shù)λ，使得，則實(shí)數(shù)m的值為．三．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題）29．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知向量，，m∈R，，則m＝．30．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)x的值是．四．向量在物理中的應(yīng)用（共1小題）31．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）高一學(xué)生將質(zhì)量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來(lái)，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力與大小的比值為．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，假設(shè)旦華樓坐標(biāo)為，篤志樓的坐標(biāo)為，問(wèn)思樓的坐標(biāo)為，噴水池的坐標(biāo)為，則噴水池是以旦華樓，篤志樓，問(wèn)思樓構(gòu)成的三角形的（

）A．重心 B．外心 C．垂心 D．內(nèi)心2．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┮阎蛄繛閱挝幌蛄浚?，向量與共線，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．3．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若是的重心，則 B．若是的內(nèi)心，則C．若是的垂心，則 D．若是的外心，則二、填空題4．（2021春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┤酎c(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為______.5．（2023春·上海青浦·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，且，則實(shí)數(shù)的值是__________.6．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┤粝蛄颗c的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．7．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎蛄?，，則向量在方向上的數(shù)量投影為___________.8．（2022春·上海浦東新·高一上海市川沙中學(xué)校考期中）已知，，向量在上的投影向量為__.9．（2022春·上海閔行·高一?？计谀┮阎蛄浚?，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．10．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎?，點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．11．（2022春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谀┦沁呴L(zhǎng)為4的正三角形，以為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是______．12．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，且，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)_____．13．（2021春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中校考期末）已知是平面內(nèi)兩兩互不平行的向量（為正整數(shù)），滿足，，則的最大值為______.14．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）三角形蘊(yùn)涵大量迷人性質(zhì)，例如：若點(diǎn)在內(nèi)部，用分別代表、、的面積，則有．現(xiàn)在假設(shè)銳角三角形頂點(diǎn)所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為為其垂心，的單位向量分別為，則_________．三、解答題15．（2022春·上海浦東新·高一上海中學(xué)東校?？计谀┮阎蛄?，．(1)求；(2)若向量與互相垂直，求的值．16．（2021春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┤鐖D，若，，，點(diǎn)分別在線段上，且滿足.(1)求；(2)求.17．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┢矫鎯?nèi)給定兩個(gè)向量.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.18．（2022春·上海閔行·高一?？计谀┮阎蛄?，，且與的夾角為．(1)求及；(2)若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．19．（2022春·上海黃浦·高一上海市向明中學(xué)校考期末）已知向量.(1)求?的夾角；(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（2021春·上?！じ咭黄谀┮阎蛄?，.（1）若向量，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量滿足，求的值.21．（2021春·上?！じ咭黄谀┤鐖D，已知的面積為14，D、分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且，AE與C