5.1.1任意角（第一課時(shí)）課件-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A

第5章

三角函數(shù)人教A版2019必修第一冊(cè)5.1.1任意角01.任意角02.角的運(yùn)算目錄03.象限角和終邊相同角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義．3.掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．Topic.0101復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入

在初中我們是如何定義一個(gè)角的？角的范圍是什么？

角是由平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形.oBA定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．oAB角的范圍是

0°～360°

晝夜變化

四季交替

月亮圓缺

潮起潮落圓周運(yùn)動(dòng)情景導(dǎo)入現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種規(guī)律稱(chēng)為周期性.情景導(dǎo)入圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)性的周期性變化現(xiàn)象所以，為了借助角的大小變化刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)，需要先擴(kuò)大角的范圍.問(wèn)題1：如何刻畫(huà)圓周上一點(diǎn)P的位置變化？可以借助角α來(lái)描述P點(diǎn)的位置變化Topic.0202任意角任意角

現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)超出了0°～360°的角，如在體操、跳水等比賽中，常常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體1080°”、“轉(zhuǎn)體1260°”。再如鐘表的指針、擰動(dòng)螺絲的扳手旋轉(zhuǎn)所成的角方向不同.因此，要準(zhǔn)確的描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的角度，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要對(duì)角的概念進(jìn)行推廣。任意角一條射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB，

所形成的圖形為角α。角的定義“角α”或“∠α”可以簡(jiǎn)記為“α”角的圖示角的記法O為頂點(diǎn)，OA為始邊，OB為終邊任意角（1）旋轉(zhuǎn)方向我們規(guī)定，一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角沒(méi)有任何旋轉(zhuǎn)，就稱(chēng)它形成了一個(gè)零角+-與角有關(guān)系的兩個(gè)量：旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度任意角（2）旋轉(zhuǎn)角度與角有關(guān)系的兩個(gè)量：旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)可以沿順時(shí)針或者逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意圈數(shù)，如右圖這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（anyangle），包括正角、負(fù)角和零角．1.若手表時(shí)針走過(guò)4小時(shí),則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為(

).A.120° B.-120° C.-60° D.60°任意角時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn),故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為負(fù)數(shù),即為

Ｂ3.寫(xiě)出下列說(shuō)法所表示的角：(1)順時(shí)針擰螺絲2圈；(2)將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分鐘，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角；(3)向右轉(zhuǎn)體3周．－720°900°－1080°任意角Topic.0303角的運(yùn)算角的運(yùn)算相等角角α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線Ｏ＇Ａ＇繞端點(diǎn)Ｏ＇旋轉(zhuǎn)而成。即它們的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向相等，那么就稱(chēng)α＝βoBAo角的加法

角的運(yùn)算相反角角的減法我們把射線ＯＡ繞端點(diǎn)Ｏ按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．α-β=α+(-β)角的運(yùn)算1.平行于x軸且方向與x軸正方向相同的射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到射線OB的位置,接著再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到OC的位置,則∠AOC的度數(shù)為

.60°由圖和已知可得∠AOC=90°+(-30°)=60°.

所以∠AOC的度數(shù)為60°.角的運(yùn)算

60°90°xOxO60°180°

角的運(yùn)算Topic.0404象限角、終邊相同角象限角

使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．

角的范圍擴(kuò)充后，為了方便

研究角，一般我們把角放在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)研究。如圖30°和-120°分別是第一象限角和第三象限角。象限角軸線角終邊落在坐標(biāo)軸上的角象限角1.下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分別是第幾象限的角？答：分別是第四象限，第一象限，第三象限，第二象限，軸線角-50°xyO405°xyO210°xyO-200°xyO-450°xyO象限角探究1：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？第二象限的角一定不一定比第一象限的角大。例120°是第二象限角，400°是第一象限角，但120°<400°探究2：辨析銳角與第一象限角銳角都是第一象限角，第一象限角不一定都是銳角，例如405°，370°等探究3：小于90°的角都是銳角嗎？小于90°的角并不都是銳角，它也有可能是零角或負(fù)角。終邊相同角思考：

-32°，328°，-392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？

在坐標(biāo)系中作出

-32°，328°，-392°，不難發(fā)現(xiàn)，-32°角的終邊為OB，328°，-392°的終邊也為OB，并且與-32°角相差k個(gè)（k∈Z）個(gè)周角328°=-32°+360°（這里k=1）-392°=-32°-360°（這里k=-1）終邊相同角所有與

終邊相同的角,連同角

在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合終邊相同角S={β

|

β=α+k·360o,k∈Z}即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。在直角坐標(biāo)系中，角的終邊繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°后回到原來(lái)的位置。因此，在直角坐標(biāo)系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。終邊相同角1.下列說(shuō)法正確的有________．(填序號(hào))①零角的始邊和終邊重合．②始邊和終邊重合的角是零角．③如圖，若射線OA為角的始邊，OB為角的終邊，則∠AOB＝45°；若射線OB為角的始邊，OA為角的終邊，則∠BOA＝－45°.④絕對(duì)值最小的角是零角．360°始邊和終邊也重合終邊相同角2.經(jīng)過(guò)5小時(shí)25分鐘，時(shí)鐘的分針和時(shí)針各轉(zhuǎn)多少度？

終邊相同角3.已知α=2021°.(1)把α改寫(xiě)成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.方法指導(dǎo)

(1)利用終邊相同的角的表示方法,把角α改寫(xiě)成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,然后指出它是第幾象限的角;(2)利用終邊相同的角的表示方法,通過(guò)對(duì)k進(jìn)行賦值,求出θ即可.終邊相同角終邊相同角4.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角．(1)－150°；(2)650°.

（2）290°與650°終邊相同，650°是第四象限角5.與－2010°終邊相同的最小正角是________．150°終邊相同角6.下列各角分別是第幾象限角？請(qǐng)寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角β的集合S，并求出S中適合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.

復(fù)習(xí)導(dǎo)入一條射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB，

所形成的圖形為角α。角的定義“角α”或“∠α”可以簡(jiǎn)記為“α”角的圖示角的記法O為頂點(diǎn)，OA為始邊，OB為終邊復(fù)習(xí)導(dǎo)入所有與

終邊相同的角,連同角

在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合終邊相同角S={β

|

β=α+k·360o,k∈Z}即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。Topic.0202軸線角、象限角軸線角判斷1．第二象限角是鈍角．()2．終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．()3．終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．()4.第二象限角大于第一象限角。（

）課前小測(cè)軸線角1.終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？x軸、y軸上的角呢？

x軸正半軸

x軸負(fù)半軸

y軸正半軸

y軸負(fù)半軸

x軸

y軸軸線角2.（1）寫(xiě)出y=x(x>0)上的角的集合S.

（2）S中滿足不等式-360°≤β≤720°

變式.（1）寫(xiě)出y=x上的角的集合S.

（2）S中滿足不等式-360°≤β≤720°

象限角四個(gè)象限角如何用集合的形式表示？

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限象限角

象限角

12341234法二:平分象限法

象限角

象限角

法二:平分象限法

12341234象限角nα或所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角nα或的范圍；(2)用平方象限法確定角nα或所在象限．方法總結(jié)Topic.0303區(qū)間角區(qū)間角1.如圖，已知角α的終邊在圖中陰影部分所表示的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)，用集合表示角α的取值范圍。

區(qū)間角6.如圖所示，寫(xiě)出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角θ的集合(不包含邊界)．

區(qū)間角表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°（或者180°）的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．方法總結(jié)區(qū)間角

②復(fù)習(xí)回顧3、什么叫圓心角？什么叫做圓周角？1、弧度制定義：（1）1弧度的角：______________________；（注：弧度的單位符號(hào)是rad，讀作弧度)長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角23正數(shù)負(fù)數(shù)05、弧度制：__________________________；6、角度制與弧度制的聯(lián)系與區(qū)別：用弧度做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，(4)不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值．角度制與弧度制的互換：（1）把角度換成弧度（2）把弧度換成角度解：∵∴注意：1、弧度與角度的換算，可以利用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行，。2、一般地，“弧度”與“rad“通常略去不寫(xiě)，而只寫(xiě)這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù).3、角度制與弧度制互化時(shí)要抓住弧度這個(gè)關(guān)鍵．把化成度．例2解：須記住的一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表：度0o30o