線性微分方程解的結構

關于線性微分方程解的結構高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為第2頁,共48頁，2024年2月25日，星期天二階線性微分方程的一般形式為通常稱第二式為第一式的相對應的齊方程。注意：我們討論二階線性方程的一般理論，所得結論可自然推廣至n階線性方程中。復習:一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y這種解法叫常數變易法。第3頁,共48頁，2024年2月25日，星期天1.二階齊次線性微分方程的性質和解的結構(1)疊加原理:則它們的線性組合第4頁,共48頁，2024年2月25日，星期天的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。問題:例：設y1為(1)的解,則y2=2y1是方程(1)的解,但

y=C1y1+C2y2不為方程(1)的通解.第5頁,共48頁，2024年2月25日，星期天又如.

對于二階常系數線性齊次微分方程容易驗證:但這個解中只含有一個任意常數C,顯然它不是所給方程的通解.由定理知都是它的解.也是它的解.在什么情況下，疊加所得可以成為方程(1)的通解？為解決通解的判別問題,下面引入函數的線性相關與線性無關概念.第6頁,共48頁，2024年2月25日，星期天(2)線性無關、線性相關定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數,使得則稱這

n個函數在I

上線性相關,否則稱為線性無關.若存在不全為0

的常數第7頁,共48頁，2024年2月25日，星期天在區(qū)間I上線性相關存在不全為0的線性無關常數思考:中有一個恒為0,

則必線性相關兩個函數在區(qū)間I

上線性相關與線性無關的充要條件:(不妨設第8頁,共48頁，2024年2月25日，星期天例1：

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關;3.如：若在某區(qū)間

I

上則根據二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關.第9頁,共48頁，2024年2月25日，星期天由三角函數知識可知，這是不可能的，故第10頁,共48頁，2024年2月25日，星期天(一)二階齊線性微分方程解的結構的兩個線性無關的特解，則是方程(1)的通解。例如第11頁,共48頁，2024年2月25日，星期天推論：是

n

階線性齊次微分方程

的n

個線性無關的特解,

則方程的通解為：第12頁,共48頁，2024年2月25日，星期天下面要用到的幾個重要的結論（要記住）通過觀察可得方程的一個特解：第13頁,共48頁，2024年2月25日，星期天又容易看出：由疊加原理，原方程的通解為第14頁,共48頁，2024年2月25日，星期天代入方程（1）中，得怎么做？關于z的一階線性方程該問題的解決歸功于數學家劉維爾。第15頁,共48頁，2024年2月25日，星期天即故有兩邊積分，得這是關于z的一階線性方程劉維爾公式第16頁,共48頁，2024年2月25日，星期天由劉維爾公式故原方程的通解為第17頁,共48頁，2024年2月25日，星期天（二)二階非齊線性微分方程解的結構的一個通解，則證將代入方程（2）的左端得是非齊次方程的解,又y中含有兩個獨立任意常數,因而是通解.第18頁,共48頁，2024年2月25日，星期天是對應齊次方程的n

個線性無關特解,推廣:給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解第19頁,共48頁，2024年2月25日，星期天例1：方程有特解對應齊次方程有通解：因此該方程的通解為第20頁,共48頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共48頁，2024年2月25日，星期天是其對應的齊方程的一個特解。第22頁,共48頁，2024年2月25日，星期天則該方程的通解是().例4.設線性無關函數都是二階非齊次線性方程的解,是任意常數,提示:都是對應齊次方程的解,且二者線性無關

(反證法可證)。由非齊線性微分方程解的結構定理可得（D）是正確的。第23頁,共48頁，2024年2月25日，星期天例5.設

是二階線性非齊次方程的三個線性無關的解，試用

表示二階線性非齊次方程的通解.都是對應齊次方程的解,且二者線性無關.(反證法可證)。第24頁,共48頁，2024年2月25日，星期天例6.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.是對應齊次方程的解,且常數因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為：有三第25頁,共48頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共48頁，2024年2月25日，星期天解都是微分方程的解,是對應齊次方程的解,常數對應齊次方程的通解原方程的通解第27頁,共48頁，2024年2月25日，星期天例8.已知y=x及y=sinx為某二階線性齊次方程的解,求該方程.解第28頁,共48頁，2024年2月25日，星期天解(1)由題設可得：解此方程組，得(2)原方程為由解的結構定理得方程的通解為第29頁,共48頁，2024年2月25日，星期天(非齊次方程之解的疊加原理)第30頁,共48頁，2024年2月25日，星期天(非齊次方程之解的疊加原理)第31頁,共48頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共48頁，2024年2月25日，星期天下面介紹如何求方程（2）的特解？的通解，則是方程(2)的通解。第33頁,共48頁，2024年2月25日，星期天1、常數變易法復習:常數變易法:對應齊次方程的通解:設非齊次方程的解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.

已知對應齊次方程通解:設③的解為③由于有兩個待定函數,所以要建立兩個方程:④第34頁,共48頁，2024年2月25日，星期天⑤令于是將以上結果代入方程③:得⑥故⑤,⑥的系數行列式是對應齊次方程的解第35頁,共48頁，2024年2月25日，星期天積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說明:將③的解設為只有一個必須滿足的條件即因此必需再附加一個條件,方程⑤的引入是為了簡化計算.方程③第36頁,共48頁，2024年2月25日，星期天情形2.僅知③的齊次方程的一個非零特解代入③化簡得設其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:③第37頁,共48頁，2024年2月25日，星期天常數變易法則有這是以下推導的前提。1、常數變易法第38頁,共48頁，2024年2月25日，星期天于是對上式兩邊關于x求導，得這兩部分為零。即第39頁,共48頁，2024年2月25日，星期天聯立

(3)、(4)

構成方程組解此方程組，再積分，并取積分常數為零，即可得到

在這一節(jié)中所講述的理論均可推廣到

n階線性微分方程中去。第40頁,共48頁，2024年2月25日，星期天解：該方程所對應的齊方程為它就是前面剛剛講過的例題，由劉維爾公式得其通解為由常數變易法，解方程組第41頁,共48頁，2024年2月25日，星期天兩邊積分，取積分常數為零，得兩邊積分，取積分常數為零，得故原方程有一特解從而原方程的通解為：第42頁,共48頁，2024年2月25日，星期天解：先將方程變形為第43頁,共48頁，2024年2月25日，星期天所以，對應的齊次的通解為設原方程的解為由常數變易法知，應有解之得所以原方程的通解為第44頁,共48頁，2024年2月25日，星期天例3.的通解為

的通解.解:

將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方程組:故所求通解為⑤⑥積分得第45頁,共48頁，2024年2月2