概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型-2024屆高考數(shù)學(xué)拓展含答案

概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型—2024屆高考數(shù)學(xué)拓展

概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型

題目曰(2023?石家莊模擬)國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生

健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生,假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占m%，某體檢機(jī)構(gòu)通過抽血的方法篩查乙

肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)4000次.為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了

一種化驗(yàn)方法:隨機(jī)按照k個(gè)人進(jìn)行分組，將各組k個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn),如果混合血樣呈陰性，說明這

k個(gè)人全部陰性;如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別

化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.

⑴若m=0.4,記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,當(dāng)k取何值時(shí)，X的均值最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；

(2)若m=0.8,設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用為5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用為k+4元.求當(dāng)%取何值

時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的均值最小,并求化驗(yàn)總費(fèi)用.

參考數(shù)據(jù)及公式：，-3.16,(l+x)n^l+nx(nEN*,n>2,|cc|<0.01).

題目②(2023?廣州模擬)隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭(zhēng)奪越來越激烈，5G

手機(jī)也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)

惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測(cè)試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣.

(1)公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第i(iCN*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為3i+2,抽中的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)

充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè).若某次抽獎(jiǎng),剩余全部用戶均中獎(jiǎng)，則活

動(dòng)結(jié)束.參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均在其中.

①求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率；

②求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和均值；

(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測(cè)試非常順利,現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.報(bào)名參加第一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有20

萬用戶，該公司設(shè)置了第i(iCN*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p產(chǎn)生3二每次中獎(jiǎng)的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)

充相同人數(shù)的新用戶，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行2n(n￡jV*)次.已知用戶丙參加了第一次抽獎(jiǎng),并在這2幾次抽獎(jiǎng)

活動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證:用戶丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的均值小于告.

題目回(2023?晉中模擬)晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源,其中有保存完好的大院人文

景觀(如王家大院,常家莊園等)，也有風(fēng)景秀麗的自然景觀(如介休綿山，石膏山等).某旅行團(tuán)帶游客來晉

中旅游,游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽.若每位游客選擇人文景觀的概率是4，選擇

自然景觀的概率為-I,游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.

(1)從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為X,求X的均值與方差；

(2)現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分,選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過的累計(jì)得分為九分

的概率為2,求2.

題目目(2023?邯鄲模擬)某市為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語大賽.

比賽共設(shè)置n道題,參加比賽的選手從第一題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題

目.設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為漢0<p<1),各題回答正確與否相互之間沒有影響.

(1)記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為X,當(dāng)n=3時(shí)，若E(X)>1.75,求p的取值范圍；

(2)①記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為y,求E(y)；

②當(dāng)p=■!■時(shí),求使E(y)>4的n的最小值.

0

參考數(shù)據(jù)：1g2-0.301,1g3-0.477.

題目回(2023?淮北模擬)社會(huì)人口學(xué)是研究人口因素對(duì)社會(huì)結(jié)構(gòu)和社會(huì)發(fā)展的影響和制約的一門社會(huì)學(xué)分

支學(xué)科.其基本內(nèi)容包括:人口作為社會(huì)變動(dòng)的原始依據(jù)的探討，將人口行為作為引起社會(huì)體系特征變動(dòng)

的若干因素中的一個(gè)因素來研究.根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有f個(gè)孩子(僅考慮不超過3個(gè)孩

子家庭)的分布列為：

￡1230

m

Pmm(l—p)m(l—p)2

P

其中機(jī)每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨(dú)立，記A表示事件“一個(gè)家

庭有i個(gè)孩子(i=0,1,2,3)”，B表示事件“一個(gè)家庭的男孩比女孩多(若一個(gè)家庭只有一個(gè)孩子且恰為男

孩，則該家庭男孩多)”.

⑴若p=求P(B)；

(2)參數(shù)p受到各種因素的影響(如生育保險(xiǎn)的增加,教育、醫(yī)療福利的增加等),通過改變參數(shù)p的值來調(diào)

控未來人口結(jié)構(gòu).若希望P(￡=2)增大,如何調(diào)控p的值？

參考公式"(〃回=黑，，

k=0

題目回（2023?浙江金麗衢十二校聯(lián)考）某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件,每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率

為0.5,二等的概率為0.4,若達(dá)不到一、二等，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)一

件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：

等級(jí)一等二等三等

利潤(rùn)（萬元/每件）0.80.6-0.3

（1）求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；

（2）求該公司每天所獲利潤(rùn)久萬元）的均值；

（3）若該工廠要增加日產(chǎn)量，需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件，其成本也將相應(yīng)提升九-In萬元），假

如你作為工廠決策者，你覺得該廠目前該不該增產(chǎn)？請(qǐng)回答，并說明理由.

（In2仁0.69,In3^1.1）

概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型

題目工(2023?石家莊模擬)國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生

健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占機(jī)％，某體檢機(jī)構(gòu)通過抽血的方法篩查乙

肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)4000次.為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了

一種化驗(yàn)方法:隨機(jī)按照k個(gè)人進(jìn)行分組，將各組k個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn),如果混合血樣呈陰性，說明這

k個(gè)人全部陰性;如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別

化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.

(1)若巾=0.4,記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,當(dāng)k取何值時(shí)，X的均值最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；

(2)若m=0.8,設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用為5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用為％+4元.求當(dāng)k取何值

時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的均值最小,并求化驗(yàn)總費(fèi)用.

參考數(shù)據(jù)及公式：，-3.16,(l+x)n^l+nx(nEN，,n>2,|cc|<0.01).

【答案】解：(1)設(shè)每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,

若混合血樣呈陰性，則X=3，

K

若混合血樣呈陽性，則X=《+1,

P(X=J)=O.996\

P(X=(+1)=1—0.996%,

所以E(X)=《x0.996i+[1+4)x(1—0.996fc)=1+《-0.996fc

K\)k,

=l+4--(l-0.004)fc

k

也!+0.004/c,

k

令=—+0.004a;,

x

則f，(x)=--L+0.004=0.004『-1,

aTx

所以/(c)在(0,5V10)上單調(diào)遞減，在(5西，+oo)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閗eZ,且/(15)=二+0.004x15比0.1267,

15

/(16)=0.1265,

所以當(dāng)k=16時(shí)，/(力取得最小值，所以E(X)的最小值為0.1265.

所以按16人一組，每個(gè)人血樣化驗(yàn)次數(shù)的均值最小，此時(shí)化驗(yàn)總次數(shù)為4000x0.1265=506.

(2)設(shè)每組七人，每組化驗(yàn)總費(fèi)用為V元，

若混合血樣呈陰性，則y=%+4,若混合血樣為陽性，則Y=6fc+4,

且「(ynk+6no.ggz*

P(y=6k+4)=1—0.992，

所以E(y)=(%+4)xo.992fc+(6fc+4)(1-0.992i)

=6fc-5A;x0.992/:+4,

每個(gè)人血樣的化驗(yàn)費(fèi)用為

=6-5x0.992fc+4

k,k

=6-5x(l-0.008)fc+4

K

,、4

—5x(1—0.008k)+?

k

4

=l+0.04k+9

k.

>1+2,0.04%'=1.8,

當(dāng)且僅當(dāng)0.04%=金，即％=10時(shí)取等號(hào)，

k

所以當(dāng)10個(gè)人一組時(shí)，每個(gè)人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的均值最小，化驗(yàn)總費(fèi)用為4000X1.8=

7200(元).

題目區(qū)(2023?廣州模擬)隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快,手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭(zhēng)奪越來越激烈，5G

手機(jī)也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)

惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測(cè)試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣.

(1)公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第i(iCN*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為3i+2,抽中的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)

充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè).若某次抽獎(jiǎng),剩余全部用戶均中獎(jiǎng)，則活

動(dòng)結(jié)束.參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均在其中.

①求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率；

②求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和均值；

(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測(cè)試非常順利,現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.報(bào)名參加第一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有20

萬用戶，該公司設(shè)置了第i(ieM)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p產(chǎn)生3二每次中獎(jiǎng)的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)

充相同人數(shù)的新用戶，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行2九(九CN*)次.已知用戶丙參加了第一次抽獎(jiǎng),并在這2幾次抽獎(jiǎng)

活動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證:用戶丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的均值小于告.

【答案】(1)解:①甲在第一次中獎(jiǎng)的概率為呂=2=々，

153

乙在第二次中獎(jiǎng)的概率為

2151339-

②設(shè)甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為X,則X=1,2,3,

"=1)=得=右；

P(X=2)=普x/T；

151339

P(X=3)=—x—xl=—

'7151339

X123

11610

P

3939

.?歷(X)=lx曰+2x卷+3乂黑=魯.

OObzoy-LO

(2)證明丙在第奇數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為5,在第偶數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為4--

54

設(shè)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為y,“丙中獎(jiǎng)”為事件在，

?P(A)=l-(|x1)=l-(1)n,

令mWn,meN*,則丙在第2m—1次中獎(jiǎng)的概率_P(y=2m-1)=■廠”去，

在第2nz次中獎(jiǎng)的概率

P(y=2m)=(y)ra-'x|-x[=

即P(,y=2m-1、)=F(/y=2m).=(/―3-)、僅一1X-1

\5，5

±ttr

在丙中獎(jiǎng)的條件下，在第2小一1,27n次中獎(jiǎng)的概率為p⑷，則丙參加活動(dòng)次數(shù)的均值為E(Y)=

1

5P⑷?

設(shè)S=3+7X"1+llx(卷)2+■??+(4n-l)(-1-)n-1,

則=3x卷+7x管『+…+(4n—5)停廣+(4n—1)(卷)”,

所以看S=3+4[|■+信Y+…+

號(hào)-生產(chǎn)傳廣卻-⑶[-10喉92陪)"<9

5”信丹5[l-?n2」償『2?

[題目叵(2023?晉中模擬)晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源,其中有保存完好的大院人文

景觀(如王家大院,常家莊園等)，也有風(fēng)景秀麗的自然景觀(如介休綿山，石膏山等).某旅行團(tuán)帶游客來晉

中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽.若每位游客選擇人文景觀的概率是!■，選擇

自然景觀的概率為4,游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.

(1)從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為X,求X的均值與方差；

(2)現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過的累計(jì)得分為九分

的概率為2,求2.

【答案】解：⑴由題可知X~B(5,y)

(或者列出分布列)，于是E(X)=5x日=當(dāng)，

D(X)=5x~1xJ=率

ooy

(2)方法一由題可知冗=

O

23+339,

當(dāng)n>3時(shí)，2=得2_2，

OO

99

即2+可2-1=E-1+與2-2,

OO

歸+作叫為常數(shù)數(shù)列，

且2+看2一尸為+弱=WxbMn＞2），

Pn—

是以打—■1■=—±為首項(xiàng)，-3■為公比的等比數(shù)列,

5153

.尸_&=_Wx(_2尸

"Pn5-15(3J，

.昨旦」乂(_2/

"P~515(3),

方法二由題可知呂=：,

O

產(chǎn)=2J乂工=工

23+339-

19

當(dāng)n>3時(shí)，2=!2_1+作匕_2，

OO

即2-2_產(chǎn)-?(RT-2-2),

O

/.{2—RT}是以R—Pi=4■為首項(xiàng)，一日為公比的等比數(shù)列,

yo

4/2\n-2.、

?*?Pn~Pn-l—~7TX(——)伍>2),

y\j7

4/2、九一3

2—「2—2=石x(一_，

y\D/

呂一刀得X（4）°

以上各式相加得

表一看＞＜（?廠

.p_34/2產(chǎn)

又Pi~~~也滿足上式，

O

.p=3」x2\九-1

"n515

〔題目⑷（2023?邯鄲模擬）某市為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語大賽.

比賽共設(shè)置n道題，參加比賽的選手從第一題開始答題,一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù),直到答完所有題

目.設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為p（0VpV1）,各題回答正確與否相互之間沒有影響.

（1）記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為X,當(dāng)九=3時(shí)，若E（X）＞1.75,求p的取值范圍；

（2）①記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為y,求E（y）；

②當(dāng)p=■時(shí)，求使現(xiàn)丫）＞4的九的最小值.

0

參考數(shù)據(jù)：1g2?0.301,1g3-0.477.

【答案】解：⑴根據(jù)題意，X的所有可能取值為1,2,3,

P(X=l)=l—p,P(X=2)=0(l—p),

P(X=3)=

所以E(X)=1—p+2P(1—p)+3P2=p2+p+1,

由E(X)=p2+p+i>L75得p>。，

又0<p<l,

所以p的取值范圍是(弓，1).

⑵①p(y=%)=pA(i—p),

其中fc=0,l,2,-??,n—1,P(Y=n)=pn.

方法Y的均值E(y)=p(l—p)+2P1I—p)-\---F(n—l)pn-1(l—P)+nPn

=(1—p)[p+2p2+3p3+—I-(n—l)pn-1]+npn,

23n-1

設(shè)Sn=p+2p+3p+—卜(n—l)p,

23n-1n

利用錯(cuò)位相減可得(1—p)Sn=p+p+p+—l-p—(n—l)p,

所以E(y)=0+p2+p3+—Fpn-1—(n—l)pn+npn

—p-\-p2+p3d---Fpn-1+pn=PP—.

1—p

方法二E(y)=(p-p2)+(2p2-2p3)+(3p3-3p4)+-??+

[(n—l)pn-1—(n—l)pn]+

=p+p2+p3H---f-pn-1+pn

_P-Pn+1

1—p

5__/J

②依題意，一-A〉4,

5

1-6"

即傳r<:，

lg6

?Pn+l>log||=lg6_lg5

=續(xù)+坨3.9848

21g2+lg3-l-'

所以n>8.848,又nCN*,故外的最小值為9.

、題目回（2023?淮北模擬）社會(huì)人口學(xué)是研究人口因素對(duì)社會(huì)結(jié)構(gòu)和社會(huì)發(fā)展的影響和制約的一門社會(huì)學(xué)分

支學(xué)科.其基本內(nèi)容包括：人口作為社會(huì)變動(dòng)的原始依據(jù)的探討,將人口行為作為引起社會(huì)體系特征變動(dòng)

的若干因素中的一個(gè)因素來研究.根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有￡個(gè)孩子（僅考慮不超過3個(gè)孩

子家庭）的分布列為：

a1230

m

Pmm(l—p)m(l—p)2

P

其中機(jī)>0,0<p<1,每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為］且相互獨(dú)立，記A表示事件“一個(gè)家

庭有i個(gè)孩子（i=0,1,2,3）”，B表示事件”一個(gè)家庭的男孩比女孩多（若一個(gè)家庭只有一個(gè)孩子且恰為男

孩,則該家庭男孩多）”.

⑴若P="，求P(B)；

(2)參數(shù)p受到各種因素的影響(如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等),通過改變參數(shù)p的值來調(diào)

控未來人口結(jié)構(gòu).若希望P代=2)增大,如何調(diào)控p的值？

參考公式：P(MN)=g需，

k=0

【答案】解：(1)由題意得處+m+m(l—p)+m(l—pY=2m+m+3m=1,解得m=

p2415

又P(B4)=0,F(B|A)=

P(B㈤=G居『，

p(Bi4)=0居y+c6):

-ELB—BAQ~\~,

由全概率公式，

得p⑻=^P(H4)P(4)

?=0

4a

[或6丫+。聘丫同(i_p)

=2F+T+Tm(1-p),

由p=]~,?n=A，得P(8)=3.

乙-LuO

(2)由題意得_P(g=2)=772,考慮館的變化即可，

由221-f-Tn+m(l—p)+m(l—p)2—1,

P

得—=p2—3p+—+3,

mp

設(shè)/(P)=p2-^p+—+3,0<p<l,

P

則7(p)=2pjy-i,

p

記g(p)=2p3—3p2—1,則g'(p)=6p2—6p—6P(p—1)<0,

故g(p)在(0,1)上單調(diào)遞減，

g(o)=T,

Ag(p)<0,.-J,(p)<0,/(p)在(0,1)上單調(diào)遞減,

因此，增加p的取值，—會(huì)減(J',m會(huì)增大，即P(g=2)增大.

題目舊(2023?浙江金麗衢十二校聯(lián)考)某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件,每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率

為0.5,二等的概率為0.4,若達(dá)不到一、二等，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)一

件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：

二竺

等級(jí)一等一寺—^寸

利潤(rùn)(萬元/每件)0.80.6-0.3

(1)求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；

(2)求該公司每天所獲利潤(rùn)其萬元)的均值；

(3)若該工廠要增加日產(chǎn)量,需引入設(shè)備及更新技術(shù),但增加n件，其成本也將相應(yīng)提升n