新高考專用 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講必備 第14講 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（講義含解析）

第14講三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

學(xué)校姓名—班級(jí)

一、知識(shí)梳理

（1）正弦函數(shù)了=$皿x,xG[O,2n]的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,仔，1）

0),(拳T),(2貝，0).

(0,1),仔,0)

（2）余弦函數(shù)尸cosx,xG[0,2n]的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

—1),(釜，0),(2Jt,1).

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（下表中衣GZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

A3.屮.

圖像

定義域RR{x\xRR,且xW〃五十》}

值域[-1,1][-1,1]R

最小正周期2Ji2nJI

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

rJI五一g%Ajr+f)

遞增區(qū)間2An—=,2kTI+=[2"-Ji,22JI]

[_2--2J

2kx+1，

遞減區(qū)間[22五,22五+Ji]無

3n"

2k“十〒

（處土機(jī)工（容。）

對(duì)稱中心(kx,0)

H

對(duì)稱軸方程X=kTi+°x=k五無

二、考點(diǎn)和典型例題

1、三角函數(shù)的定義域和值域

【典例1-1](2022?河北邯鄲?二模)函數(shù)〃x)=sin(2K至在[-上的值域?yàn)?/p>

()

A.(0,1]B.

\/

(G-

c.—D.[-1,1]

【答案】C

【詳解】

當(dāng)xw(-時(shí),2x+-^ef—j,當(dāng)2%+'=5時(shí),即％=卜時(shí)，/(x)=sin(2x+g)取

最大值1,當(dāng)2x+g=q,即x=J時(shí)，/(x)=sin(2x+?取最小值大于,故值域?yàn)?/p>

(凡]

故選：C

【典例1-2[(2022?遼寧?東港市第二中學(xué)高一期中)函數(shù)/(x)=6sin2x+2siMx,若

/(%)?/(々)=-3,則|2為-司的最小值是()

A.至B.三C.七D.二

3436

【答案】I)

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=Gsin2x+2sin2x,

=6sin2x-cos2x+1,

=2sin(2x-f+1,

因?yàn)?x—?jiǎng)tsin(2x—k)￡[—1,1]

所以/(x)4T3],

因?yàn)椤?)?/(巧)=3

所以“5)，f(W)一個(gè)為〃力的最大值，一個(gè)為最小值，

-71TC

2X1----=2k、7T-----2x,--=2fcj^4--

則62化,&wz),或62(K，&€Z)

2x2--=2k27r^^2X2--=2^-1

,兀

%=k普一?石=尤萬+工

解得(KReZ),或.、（勺&￡Z）

.71

x2=k2^+-X2=k27T--

所以|2%-引=|(2勺-&)%---(i),或|2X|-x,|=(24-公)乃+多(ii)

6

對(duì)于（i）,當(dāng)羽-厶=1時(shí)，|2x「目的最小值是

對(duì)于（ii）,當(dāng)超-&=-1時(shí)，|2西一切的最小值是（

綜上，12Al-引的最小值是2，

故選：D

【典例1-3】（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)/（x）=2sinxcosx-Gcos2x,則

下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為2萬B.x=（時(shí)f（x）取得最小值

5TT

C.關(guān)于尤=/對(duì)稱D.x=/時(shí)f（x）取得最大值

【答案】D

【詳解】

因?yàn)?（%）=2sinxcosX-A/3COS2X,

所以/（x）=sin2x—>/3cos2x,

所以〃x）=2sin12xq}

0jr

所以函數(shù)/（X）的最小正周期7=半=》A錯(cuò)誤,

K=2sin（2x1-訴百#一2,BC錯(cuò)誤,

故選：D.

【典例1-4]（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知不等式

sinxcosx-cos2x+—+^>0（A?2GR）7恒成立，則/的最小值為

（）

A.叵茁B.1r72八a

4222

【答案】D

【詳解】

TTTT

解：因?yàn)椴坏仁絪inxcosx-cos?x+丄220（〃?￡R）對(duì)VX￡--,y恒成立，

2

所以不等式對(duì)V-恒成立，

43

.,.ren——713157r

因?yàn)閤e-『5，所以2》一片

則sin|2x-j=-1,

所以〃X）.=一顯，

,\/min2

所以一機(jī)4一1,解得機(jī)士也，

22

所以加的最小值為也，

2

故選：D

【典例1-5】（2022?重慶八中高三階段練習(xí)）函數(shù)〃力=2$也"-。">0）在[0,兀]上

的值域是卜有,2],則。的取值范圍是（）

[4]「14]「55]「55一

A.B.-7t,--7iC.D.二九，二1兀

1_23」|_23J|_63J163」

【答案】c

【詳解】

r--I.,.7T7U7C

o>0,XG[0,7i],JrliJtyx--e,

要使f（x）在[o,兀]上的值域是[-V3,2],

ri兀,兀，九5,,5

貝U—W兀/——<n+—=>—<6><—.

23363

故選：c.

2、三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性

【典例2-1](2022?山東威海?三模)己知函數(shù)/'(x)=sin尤cos(2x+0(/w[O，M為偶函

數(shù)，則9=()

A.0B.-C.-D.兀

42

【答案】C

【詳解】

定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù)，

/./--=/—=>一cos(—兀+9)=cos(兀+9)=>cos°=-cos0=>cos°=0,

71

3￡(0,兀)，：.(P=一

2

7T

當(dāng)9=1時(shí),，f(x)=-sinxsin(2x)為偶函數(shù)滿足題意.

故選：C.

【典例2-2】(2022?天津和平?三模)?Ul/M=cosl2x-yl-sinl2x-yI,將函數(shù)

的圖象向左平移火>>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)為偶函數(shù)，則

。的最小值是()

A.土B.2

1212

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閒(x)=cos12x-■—--cos2x+—sin2x-cos2x

22

=—sin2x--cos2x=V3sin[2x-—

22I3

所以g(x)=/(x+e)=6sin(2*+2e-Wj,而g(x)為偶函數(shù)，所以

冗冗51STT

—m=]+即°=或兀+而9〉0,所以8的最小值是三.

故選：B.

【典例2-3](2022?內(nèi)蒙古赤峰?三模(文))已知函數(shù)/(x)=2sin(0x-S)+l(O<o<5)的

圖像經(jīng)過點(diǎn)則f(x)的最小正周期為()

A.処8兀5兀

D.

2.TT

【答案】C

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2sin"-1]+l(O<0<5)的圖像經(jīng)過點(diǎn)信,3

所以2sin償0-聿)+1=3,

所以]+2E,AwZ,得69=(+日女,攵￡2,

所以O(shè)v0<5,所以69=3，

4

所以f(x)=2sin序-[)+1,

2兀_8兀

所以“X)的最小正周期為5=彳,

4

故選：C

【典例2-4](2022?陜西西安?一模(理))若函數(shù)f(x)=4sin

小正周期為3%，則/(同是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

【答案】B

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的最小正周期為—=3^,解得。=?,

(D3

所以,/(X)=4sin[|J=4sin-^=-4cosy,

所以，函數(shù)/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

【典例2-5】(2022?新疆克拉瑪依?三模(文))已知函數(shù)/(x)=100sinLx+g)?>0)

的最小值周期為將/（x）的圖象向右平移。3>o）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱，則。的一個(gè)值是（）

A.-B.1

126

71171

C.-D.—

412

【答案】B

【詳解】

由題可得主=3，即0=4,則函數(shù)的解析式為，（x）=100sin（4x+m，

co2I6丿

將/（X）的圖象向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度所得的函數(shù)解析式為：

y=100sin4（》-夕）+看=100sin（4x-4e+￡）,又函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

TTTT

當(dāng)％=0時(shí)，—4（p+-=k冗+—也wZ）,

62

則（P=一竺一尚'（%eZ）①，

412

TT

令k=—l,可得：<p=J其余選項(xiàng)不適合①式.

6

故選:B.

3、三角函數(shù)的單調(diào)性

【典例37]（2022?天津南開?三模）將函數(shù)/（x）=2sin[s-引（3>0）的圖象向左平

移白個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間0,￡上單調(diào)遞增，則。的

值可能為（）

71

A.-B.-C.3D.4

33

【答案】B

【詳解】

解：將函數(shù)/（x）=2sinjs-M（（y>0）的圖象向左平移盧個(gè)單位，

I3丿

得至IJ函數(shù)g（x）=2sin5〃y>（））,

廣…門CD71

因?yàn)閄E哈,所以K°'彳,

又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間o,￡上單調(diào)遞增，

所以竺〈I，解得，042

42

所以。的值可能為g，

故選：B

【典例3-2](2022?湖北?荊州中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sin2x+cos2x在

[乃-單調(diào)遞減，則機(jī)的最大值為()

,3萬K5"171n9汽

A.—B.—C.—D.—

8888

【答案】B

【詳解】

/(x)=sin2x+cos2x=y/2sin[2x+'，

777F3乃7T5

令一+Zkji<2,x4—W----F2kjv,解得—HkjiWxW—7t+k/r,keZ,

24288

JI冗

因?yàn)?一"2〈機(jī)，所以相>一,則乃一V—,

22

九一mN、一九

故(8，解得苧，所以加最大值為苧?

/5%288

m<——

8

故選:B.

【典例3-3[(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(文))將函數(shù)〃x)=sin(2xqj的圖象向左平移已

個(gè)單位長(zhǎng)度，再保持所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的

圖象，則使得g(x)單調(diào)遞增的一個(gè)區(qū)間是()

【答案】C

【詳解】

將函數(shù)〃x)=sin(2x-q)的圖象向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度，再保持所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫

坐標(biāo)縮短為原來的^■倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=sin4x,則g(x)單調(diào)遞增區(qū)間

k兀，,冗

為:則_￡+——<x<—+容化eZ）

O28

當(dāng)女=0時(shí)，一生4x4生.

88

故選：C.

【典例3-4】（2022?安徽?合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)

間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為（）

A.y=e；B.y=|sinx|

C.y=cosxD.j=log2|x-l|

【答案】A

【詳解】

/（_司=￡乎==二=/（x）,所以f（x）是偶函數(shù)，丿，=二二,尸==￡二＞0,

=上n?在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，yJ-e'=（）,當(dāng)尤＞o時(shí)，

22

y=C=二＞0,.?丿=々:在（1,2）上單調(diào)遞增，故正確；

22

B./（-%）=|sin（-x）|=|sinx|=/（j：）,所以是偶函數(shù)，易知y=卜皿耳在上遞

增，在（；,2）上遞減，故錯(cuò)誤；

C./（-x）=cos（-x）=cosx=./?（%）,所以/（X）是偶函數(shù)，易知y=cosx在（1,2）上遞減，

故錯(cuò)誤；

D.因?yàn)閥（-x）=k）g2|x+l|J（x）=log2所以,則/（X）不是偶函數(shù)，

故錯(cuò)誤；

故選：A

【典例3-5]（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將函數(shù)f（x）=sinoMo＞0）圖象上所有點(diǎn)的橫

1jr

坐標(biāo)縮短到原來的V倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖

象，若g（x）在（],"）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（）

A.（0,—]B.（0,—]C.—?D.■

484448

【答案】D

【詳解】

解：將函數(shù)./（X）=sin如（3>0）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的；倍（縱坐標(biāo)不變）,

得到y(tǒng)=sin2s,再向左平移F個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，

即g（x）=sin20[x+卷）=sin（2。x+：）,若g（x）在（^,乃）上單調(diào)遞減，

則g（x）的周期722（萬—乙）="，即紅2兀，得0<。42,

2co

TTTT7TS冗

由2kiH—<H—424乃H------,kwZ,得2kTT-\—42.（oxW2k兀H------,kwZ、

24244

2k7r+-2k冗+雙

5TT

AII2k兀H—2丘十彳,即g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為4,4

,keZ、

即^—4<x<2a)'2co

2692co

2br+&

_____4<￡co>2k+-

若g（x）在（g或上單調(diào)遞減，則.2a)~24

2k;r+—a)<k+-

------丄*兀8

2co

Y即。的取值范圍是長(zhǎng)15

即2%H—W6y4左H—,kGZ,當(dāng)&=0時(shí)，—

48448

故選：D.

【典例3-6]（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

/(x)=卜inx+6cosx)(cosx->/3sinxj.

⑴求函數(shù)〃力在[0,句上的單調(diào)增區(qū)間;

67T

⑵若/(%)=不/€0,-,求COS2%的值.

【答案】⑴［監(jiān),普卜2)把更

L1212J10

【解析】(1)

解：f(^)-(sinx+VJCOSA^COSX-x/3siarj,

=-2sinxcosx+V3cos2x-\/3sin2x,

=-sin2x+>/3cos2x,

=2sinI2%H——I,

*7T-,—2/F7T_,.__

令-3+2k冗<2x+—+2k/r,keZ,

77r7T

解得-----\-k7i<x<-------\-k7r,keZ,

1212

所以的單調(diào)增區(qū)間為k兀-果k兀-3,kwZ.

令4=1得區(qū)間為If,詈

5