2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊 同步講義 第21講 指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)壓軸題 含解析

第21講指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)壓軸題精選

一、單選題

O

1.（2021?河南?內(nèi)黃縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知兩條直線=和∕2f=^ry（m>0）,4與函

數(shù)y=∣l0g2X∣的圖像從左至右相交于點人，8,/2與函數(shù)^=|1限乂的圖像從左至右相交于。,。.記線段NC和

80在X軸上的投影長度分別為。，b,當(dāng)機(jī)變化時，2的最小值為（）

a

A.16√2B.8√2C.8√4D.4√4

【答案】B

【分析】作出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像計算48,C,。四點的橫坐標(biāo)，然后求出線段/C和8。在X軸上的投影長

度α,b,代入包,表達(dá)2關(guān)于加的函數(shù)，整理后，換元法利用基本不等式求最小值.

aa

【詳解】作出函數(shù)y=llogzxl圖像如圖，如圖所示，

88

設(shè)點N(X1"),8(x,,w),C?xi,-I,D?X4,~-

I2tn+1J?2/H+1

則O<%<1<々，O<x3<1<X4,

O

此時有一IogO玉=陽，IogX=m,-IogX=-——-,Iogx=-0—

22232/w+l242/77+1

解得X1

線段ZC和8。在X軸上的投影長度分別為，

mτ

α=∣x1-x3∣=?-(獷"，b=?x2-x4?=2-2^

8

2m—72W+,8

2m+l,令E=Zπ+

4

t=m+------P

則

m+-

2

當(dāng)且僅當(dāng)（*）=4,即《4時，取得最小值？此時軟最小值為8萬

故選：B.

【點睛】（I）求最值幾個常見的兩個方向：一是解不等式求范圍產(chǎn)生最值；二是利用函數(shù)求最值，其中利

用函數(shù)求最值是首選；

（2）函數(shù)求最值又常見兩種類型：一是給出函數(shù)表達(dá)式求最值，二是沒有表達(dá)式求最值，此類問題需首選

要尋找合適的變量，表達(dá)函數(shù)關(guān)系式；

（3）求函數(shù)最值常用的方法有利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.如果是分段函數(shù)，應(yīng)先

求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.

（4）本題屬于沒有函數(shù)表達(dá)式求最值，取自變量為，“，分別表達(dá)線段NC和8。在X軸上的投影長度。，b,

代入2,得到關(guān)于2=/（M的函數(shù)關(guān)系式，通過基本不等式求出最小值，屬于難題.

aa

2.（2022?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=log2（4'+l）+〃x是偶函數(shù)，函數(shù)8（力=22、+22+“2/3的

最小值為-3,則實數(shù)W的值為（）

54

A.3B.—C.—2D.—

23

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)，在利用換元法把問題轉(zhuǎn)化為含參的二次函數(shù)問題，再通過討論參數(shù)

來處理二次函數(shù)軸動區(qū)間定的問題進(jìn)行求解.

【詳解】因為函數(shù)/（x）=logj4'+l）+"是偶函數(shù)，所以/（-x）=∕（x）,即

jrr

log2(4^+l)-αx=log2(4+l)+ax,所以2αx+log?(4*+1)-Iog2(4一、+1)=0,

Λ?II(4r+l)?4x(4X+1)?4Λ

,tv

?φlog2(4+l)-log2(4-+1)=log,^τr^=log2(4-+1)?4Lbg2Iog4=2X,所以

4*+l2

2ax+2x=0,解得α=-l,所以〃N）=1隰（4'+1）-》，所以2?。?2蚓""卜=*=2、+2,故函數(shù)

g(x)=22'+2%+wj(2'+2τ)的最小值為—3.令2—,則f≥2,故函數(shù)g(x)=22、+2辦+機(jī)(2'+2一、)

---≤2

的最小值為-3等價于Mf)=/+3-2(r≥2)的最小值為一3,等價于2^或

λ(2)=2∕n+2=-3

解得，*=-g.故A,C,D錯誤.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))關(guān)于函數(shù),f(x)=InlXl+ln∣x-2∣有下述四個結(jié)論：

①/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱②/S)在區(qū)間(2,+∞)單調(diào)遞減

③/(χ)的極大值為0④/U)有3個零點

其中所有正確結(jié)論的編號為()

A.①③B.①④C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根據(jù)給定函數(shù)，計算/(2-x)判斷①；探討/(χ)在(2,+∞)上單調(diào)性判斷②；探討/(χ)在(0,1)和(1,2)

上單調(diào)性判斷③；求出/(x)的零點判斷④作答.

【詳解】函數(shù)"X)=InIXl+ln∣x-2∣的定義域為(-8,0)U(0,2)u(2,+∞),

對于①,XW(-8,0)5。,2)52,+8),則2-XW(-∞,0)50,2)52,+8),

/(2-X)=InI2-x∣+ln∣x∣=∕(x),/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱,①正確：

對于②，當(dāng)x>2時，/(x)=lnx+ln(x-2),/(χ)在(2,+∞)單調(diào)遞增，②不正確；

對于③，當(dāng)Xeo時，/(x)=ln(-x)+ln(2-x),/(χ)在(-8,0)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<2時，/(x)=InX+ln(2-X)=ln[-(x-1)2+1],/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

又/(χ)在(2,+8)單調(diào)遞增，因此/(χ)在x=l處取極大值"1)=0,③正確；

對于④,由/(x)=0得：∣χ2-2x∣=l,即χ2-2χ-l=0或χ2-2x+l=0,解得X=I±√Σ或X=I，

于是得/")有3個零點，④正確，

所以所有正確結(jié)論的編號為①③④.

故選：D

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)V=∕(x)的定義域為。，Vx∈Q,存在常數(shù)。使得

/(x)=f(2a-X)?f{a+x)=/(α-x),則函數(shù)y=∕(x)圖象關(guān)于直線x=α對稱.

4.(2022?湖北?二模)已知函數(shù)/(x)=Ig(IXl-I)+2'+2L則使不等式f(x+l)<f(2x)成立的X的取值范圍

是()

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.(-2,-1)

C.U(I,+8)D.(-∞,-2)U(l,+∞)

【答案】D

【分析】判斷/(x)的奇偶性與單調(diào)性，由題意列不等式后求解

【詳解】由IXI-I>0得/(χ)定義域為(-∞,T)u(L+∞),

/(-X)=lg(∣XlT)+2-*+2*=/(x),故/(χ)為偶函數(shù)，

而y=lg(∣x∣-l),夕=2，+/在(1收)上單調(diào)遞增，

故/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

∣χ+ι∣<∣2χ∣22

11Y2+2x+1<4Y2

則/(χ+l)<∕.(2χ)可化為∣∣χ+l∣>l,得《\；

[∣2x∣>l

解得X>1或X<-2

故選：D

5.(2022?吉林?梅河口市第五中學(xué)高一期末)已知函數(shù)/(x)=∕-2x+ln∣x-l∣,若實數(shù)α滿足

/(α-l)>∕(2α-l),則實數(shù)α的取值范圍是()

A.(θ,g)B.(-8,0)

C.卜搭)D.(0,l)u(lg)

【答案】D

【分析】由題可得函數(shù)/(x)=f-2x+ln∣xT關(guān)了χ=l對稱，且在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-∞,1)上單調(diào)遞

∣α-l-l∣>∣2α-l-l∣

減，進(jìn)而可得,”1x1,即得.

2a-]≠?

【詳解】：函數(shù)/(x)=χ2-2x+ln∣x-l∣,定義域為xe(-*l)U(l,?κo),

X/(2—x)=(2-x)2—2(2—j^+ln∣2-X—J=i—2x+lι∣x-11=j(,，

所以函數(shù)/("=》2-2》+111卜-1|關(guān)于》=1對稱，

當(dāng)Xe(I,+∞)時，y=x2-2x,y=ln∣x-l∣單調(diào)遞增，故函數(shù)/(x)=Y-2x+ln∣x-l∣單調(diào)遞增，

.?.函數(shù)/(x)=χ2-2x+ln∣x-l∣在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-∞,1)匕單調(diào)遞減，

'∣α-l-l∣>∣2a-l-l∣

由/(α-l)>∕(2α-l)可得，,α-l*l,

2α-l≠l

4

解得0<cι<—9∣Lαwl.

故選：D.

6.(2022?江西撫州?高一期末)函數(shù)/(x)的定義域為0,若滿足：(1)/(x)在。內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：(2)存在

U。，使得〃力在p?上的值域為卜明〃],那么就稱函數(shù)/(X)為“夢想函數(shù)若函數(shù)

/(x)=Iog.(屋+。(〃>0,4")是“夢想函數(shù)”，則f的取值范圍是()

A.(-?V2,θ)B.(-?,θ)

C?D.中)

【答案】D

【分析】由題意可判斷函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)/(x)=log.(4'+0=2x,可以求出使得

/(x)=IOg,,(α*+f)=2x有兩解的t的取值范圍.

【詳解】因為/(*)=Iog?(∕+f)(α>O,a≠l)是單調(diào)函數(shù)

若O<α<l,則g(x)=α"+f是減函數(shù)，所以/(x)=Iog.(/+，)為增函數(shù)；

若”>1,則g(x)=α*+f是增函數(shù)，所以/(x)=bg,,(a'+/)為增函數(shù)；

〃)n

由于/《=1。8TlZHCJi->

a2+M=m=~2,/QJ=Ega"+￡=n=-×2

所以/(x)=bg.(/+r)=2χ

所以f=∕-∕=α"-i)=卜_1

又因為∕e(0,+8),所以滿足/(x)=k)g,(αjl+f)=2x有兩解的f的取值范圍為(-；,0

故選：D

7.(2022?浙江?嘉興一中高二期中)設(shè)函數(shù)/(x)=In[H+/(?,bcR,且。>0),則函數(shù)/(x)的奇偶

性()

A.與a無關(guān),且與6無關(guān)B.與“有關(guān)，且與b有關(guān)

C.與。有關(guān)，且與b無關(guān)D.與。無關(guān)，且與6有關(guān)

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義域關(guān)于原點對稱，及奇偶性定義判斷參數(shù)滿足的條件.

【詳解】由函數(shù)/(x)=In(念+“=ln(怨等B,

令2"+^l>o,即[?r-(2α+α/))](X-4)>O,

方程[bx-(2α+αb)](x-α)=0的一個根為x=",要保證函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，

需另一個根為x=-α，β∣J?(-a)-(2α+α?)=0,解得6=-1

.?.[-x-α](x-α)>0,即函數(shù)的定義域為(-凡。)

當(dāng)6=-1時，/(χ)=In("B=In(M)=-∣∏f^'∣=-∕∏)`/(x)為奇函數(shù);

當(dāng)6w-l時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)

所以函數(shù)/(x)的奇偶性與α無關(guān)，但與6有關(guān)

故選：D

8.(2022?寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高一開學(xué)考試)已知/。)=，：；[，，個4>0,"1)是減函數(shù),

則α的取值范圍是()

?-苗B.陷CUDm

【答案】D

【分析】利用分段函數(shù)在R匕單調(diào)遞減的特征直接列出不等式組求解即得.

【詳解】因函數(shù)/(x)=≤】(α>0,4wl)是定義在R上的減函數(shù)，

5a-l<0

,解得

則有，O<a<lJ≤α<L

75

(5。-l)+2α≥Iogal

所以°的取值范圍是?,?

故選：D

9.(2021?福建三明?高一期中)若函數(shù)/'(x)=及*是奇函數(shù)，則使0<∕(x)<3成立的X的取值范圍是()

2x-a

A.(-∞,-l)B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+∞)

【答案】D

【分析】由/(X)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求。，代入即可求解不等式.

2x+l2?χ+l2v+l

【詳解】是奇函數(shù)，即

????∕(-χ)=-Λχ),χ,

?,/(X)=2x-a6∕-2

整理可得上l+2x2x+l

Zxx

x.?l-a?2=a-2f?a=lf.*./(x)=

\-a-2~~a-22Λ-1

x

2+lx

>02-1>0[2v-l>0r

2x-?[2>1

?.?O</(x)<3,.,.

=2+1Cnj,

空<3------<32r+1<3(2-l)>2

[2t-l

l2x-l

.?.2*>2，解可得X>L

所以不等式的解集為(1,+8)

故選：D.

1°?(2。2卜云南?昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高二期中)已知直線/Qig=焉(，"°),若小分別與函

數(shù)N=Ibg2$的圖象相交于C,4員。(從左到右)4個不同的交點，曲線段C4B。在X軸上投影的長度為“力,

則當(dāng)10g22取得最小值時，”的值為(

)

a

1

?-7b?Ic?4d?I

【答案】C

【分析】根據(jù)題意,易得XAXB=XCxD=I,再結(jié)合對數(shù)運算以及均值不等式即可求解.

【詳解】設(shè)點C,48,。的橫坐標(biāo)分別為2,X”4,X。，則結(jié)合函數(shù)y=∣∣0g2M的圖象，易得XzA=XCxO=L

由題意得，a=^Λ-χC=—1

，b=XD—XB,故——XBXD

XBXBXDa

14〃+1∣_J_1>2110∕.∣∕4/77+111

×-當(dāng)M/且僅π當(dāng)——=-——-,即

因此?og,-=log,XJ+log,X=m+M=:

a9D4〃+144??+142444w÷14

時，取等號.

因此當(dāng)Iog,9取得最小值時，，*=：.

a4

故選：C.

二、多選題

11?(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(X)的定義域為O,若存在閉區(qū)間［。力仁。，使得函數(shù)“X)同時滿

足①"x)在［。為］上是單調(diào)函數(shù)；②/(x)在M上的值域為［她附(左>0),則稱區(qū)間［。,可為/⑺的“加倍

值區(qū)間下列函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”的有()

A./(x)=InXB./(x)=L(X>0)

γ?

C./(X)=JT2(Λ->O)D./(x)=?',(0≤x≤l)

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合各選項中函數(shù)的單調(diào)性判斷。、人的存在性，即可得答案.

【詳解】A：/(x)=InX為增函數(shù)，

若/(x)=InX存在“3倍值區(qū)間”［α,6］,貝“悅;：二：；，

結(jié)合P=Inx及y=3x的圖象知，方程InX=3x無解，

故/(x)=InX不存在“3倍值區(qū)間”，A錯誤；

B：/(x)=g(x>0)為減函數(shù)，

f(α)=L%

若存在“3倍值區(qū)間”［。,可，則有:，得"J,又α>0,b>0,

/(b)=g=%

所以可取α=g,b=1,

所以/(x)=g(x>0)存在“3倍值區(qū)間”，B正確；

C:/(x)=χ2(x≥0)為增函數(shù),

懦;，得Q=O

若/(x)=X2(x≥0)存在“3倍值區(qū)間”b?,則

b=3

所以/(力=/0^0)存在“3倍值區(qū)間”，C正確;

D：當(dāng)x=0時，f(x)=0；當(dāng)0<x≤l時，/⑺=：]，從而可得/(x)在[0』]上單調(diào)遞增，

X

/(Q)=-~~2=FQ-O

若/(x)=Γ2?存在“3倍值區(qū)間”H，句且[α,b]<[0,l],則有可,解得二八，不符合題意,

1+xf(b)=-^=2b=°

LM,ι+?2

Y

所以/(X)=不7(0≤x≤l)不存在“3倍值區(qū)間”，D錯誤.

故選：BC

[log,(l-x),-l≤x≤n

12.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知〃<〃?，函數(shù)/(X)=3的值域是[-1,1],則下列結(jié)

匕2-M-3,”<χ≤zπ

論正確的是()

A.當(dāng)〃=0時，me1，'？B.當(dāng)“e。,萬)時，機(jī)e(w,2]

C.當(dāng)"eO,gj時，me[L2]D.當(dāng)時，機(jī)e(；,2

【答案】CD

【分析詵對分段函數(shù)去絕對值討論單調(diào)性,作出V=l°g[(l-X),X≥T和尸2?TT-3,X≥-1的圖象，〃=0

2

時，由圖可得用的范圍，可判斷A；當(dāng)〃∈h?時先求出yT°g1(l-x),T4x≤〃的值域，進(jìn)而可判斷

L2)2

xe(〃,同時，/(x)=l必有解，即可得"?的范圍，可判斷B,C；當(dāng)時，先計算/(x)=l°gjl-x)在-l?

上的值域，即可得y=22+T-3,”<x≤機(jī)的范圍，進(jìn)而可得〃，的范圍，可判斷D.

【詳解】當(dāng)x>l時，x-l>0,此時^=22+-"-3=22/|-3=23-*-3單調(diào)遞減，當(dāng)T<χ<1時，x-l<0,此

時y=22TT-3=22+Z-3=2""-3單調(diào)遞增，所以y=2沖一"一3在(TI)匕單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=l時，y=22*"-3取得最大值，為22-3=1.作出y=k?(l-x)與y=22*"-3在11,+8)上的

2

圖象如圖所示:

log,(l-x),-l≤x≤0

對于A,當(dāng)〃=0時，/(X)=5,因為/(x)的值域為[-1,1]?結(jié)合圖象知〃[1,2],故A

2%'T-3,0<x≤m

不正確；

對于B,當(dāng)0?J,X∈[-1,H]∣?,1-XE[1-H,2],此時/(x)=k>g∣(l-x)e-l,log?(l-n),止匕時

-l≤∕(x)≤log,(l-w)<l?因為〃χ)的值域為卜1』，則χe(%"7]時，/(x)=l必有解，即22*"-3=l,

2

解得x=l,由圖知故B不正確，C正確；

對于D,當(dāng)〃=!時，/(x)=∣og∣(lτ)在-l?上單調(diào)遞增，此時/(x)的最小值為/(T)=bg∣2=T,

22L2」2

/(X)的最大值為嗎)=1叫(1-%1，要使“X)的值域為[Tl],由圖知力4,2,故D正確.

故選：CD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分段函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作

出/(x)的圖象，結(jié)合圖象逐個分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題

13.(2021?江蘇?礦大附中高三階段練習(xí))函數(shù)F(X)=22*-2*"+2的定義域為M,值域為[1,2],下列結(jié)論中

一定成立的結(jié)論的序號是()

A.Λ∕?(-∞,l]B.M?[-2,l]C.1∈Λ∕D.OeM

【答案】ACD

【分析】先研究值域為[1，2]時函數(shù)的定義域，再研究使得值域為[1,2]得函數(shù)的最小值的自變量的取值集合，

研究函數(shù)值取1,2時對應(yīng)的自變量的取值，由此可判斷各個選項.

【詳解】由于/(X)=22,-2加+2=⑵一Ip+1∈[1,1,

.?.(2X-1)2E[0,1],Λ2r-1∈[-1,1],.?.2v∈[θ,2],.?.x∈(-∞,l],

即函數(shù)/(X)=22V-2X+I+2的定義域為(-8/

當(dāng)函數(shù)的最小值為1時，僅有X=O滿足，所以O(shè)e",故D正確；

當(dāng)函數(shù)的最大值為2時，僅有X=I滿足，所以1∈M,故C正確；

即當(dāng)何=[0,1]時，函數(shù)的值域為[⑶，故Mq(YO,1],故“衛(wèi)[-2,1]不一定正確，故A正確，B錯誤；

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，

再利用元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2022?河北?大名縣第一中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/'(X)=Ig(J/-2x+2-x+,,g(χ)=∣^∣則下列說

法正確的是()

A./(x)是奇函數(shù)

B.g(x)的圖象關(guān)于點(1，2)對稱

C.若函數(shù)尸(X)=/(x)+g(x)在xe[l-m,l+機(jī)]上的最大值、最小值分別為M、N,則M+N=4

D.令f(X)=/(x)+g(x),若尸⑷+尸(一2α+l)>4,則實數(shù)α的取值范圍是(T,+∞)

【答案】BCD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義，可判定A錯誤；利用圖像的平移變換，可判定B正確：利用函數(shù)的圖

象平移和奇偶性，可得判定C正確；利用函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.

【詳解】由題意函數(shù)/(x)=Ig(JX2-2χ+2-x+l)=Ig(J(X-I)2+l-(χ-l)),

因為J(X-I)2+l-(x-l)>。恒成立,即函數(shù)/(x)的定義域為尺,

又因為/(0)=lg(√∑+D≠0,所以/(x)不是奇函數(shù)，所以A錯誤；

將g(x)=言■的圖象向下平移兩個單位得到》=圣火一2=1二2，

〃I乙XvI44I4

2一2x+,l-2t

再向左平移一個單位得到MX)=*=

1+2X

1-2-_

此時MT)=—≈-A(r),所以MX)圖象關(guān)于點(0,0)對稱,

l+2^x-2x+l

所以g(x)的圖象關(guān)于(1,2)對稱,所以B正確;

+X=Ig1=0

即加(-x)=-m(x),所以函數(shù)m(x)為奇函數(shù),

所以函數(shù)/(x)關(guān)于(LO)點對稱,

所以F(X)若在l+α處取得最大值，則尸(x)在l-α處取得最小值,

則尸(l+a)+尸(l-α)=∕(l+α)+f(l-α)+g(l+α)+g(l-α)=0+4=4,所以C正確;

由F(a)+F(-2a+1)>4,可得f(a)+/(1-2a)+g(α)+g(l-2α)>4,

由/(x)=Ig(J(X-I)2+l-(x-l)),

設(shè)加(X)=Ig(JX2+1-χ)

t=yjx2+?-X>

X

可得f'=-l<0所以f=J7TT-X為減函數(shù)，

y∣x2+?

可得函數(shù)機(jī)(X)=1g(Jx2+1-X)為減函數(shù),

所以函數(shù)/(χ)=Ig(J(X-I)2+1-(X-I))為單調(diào)遞減函數(shù)，

又由g(x)=∣^∣=l+U^為減函數(shù)，所以E(X)為減函數(shù),

因為F(X)關(guān)于點(1,2)對稱,

所以F(α)+F(-2a+l)>4=F(a)+F(2-a),即77(-2a+l)>F(2-a),

即-2α+1<2-α,解得α>-1,所以D正確.

故選：BCD.

【點睛】求解函數(shù)有關(guān)的不等式的方法及策略：

1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，

具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為/區(qū))>/(々)的形式；

②根據(jù)函數(shù)/(χ)的單調(diào)性去掉對應(yīng)法則轉(zhuǎn)化為形如："％>々''或"±<七”的常規(guī)不等式，從而得解.

2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化

為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.

15.(2022?江蘇?高一期末)已知正實數(shù)X,y,Z滿足2*=3，=6二，則()

A.x+y=zB.XZ+yz=xyC.三>上>二D.xy≥4z2

236λ

【答案】BCD

【解析】令2*=3,=6：=f則，>1，UJ得：X=IOg2，y=>og31-Z=IOg6，，

利用對數(shù)的換底公式計算X+V可判斷選項A,險證1+4=,是否正確可判斷選項B,由于強(qiáng)?=乎

xyzaalga

比較2lg2<31g3<6lg6可判處選項C,利用基本不等式可判斷選項D,進(jìn)而可得正確選項.

【詳解】令2*=3,=6：=f貝h>l,可得：?=Iog21y=?θg?t.Z=Iog6，，

對于選項A……g"+bg”言哥Ig年+春卜g，版墨1g，哉,

z=ι?若f"則ι??rι?'因為溫1檢，所以f—故選項A不正確;

對于選項B：由xz+yz=孫可得~~^二?1,即—+—=一,

xyzxyz

,1111lg2lg31八-I八lg6.,1

因為一+-=?j------+-------=-----H:—=I—(Igalg?)=-Llog,6=-,

Xylog2∕log3∕IgZlg∕Ig/IgZZ

所以‘+'=」，即xz+yz=孫，故選項B正確；

xyz

對于選項C：:?=畢，因為21g2<31g3<61g6,所以熹萬，

aa?ga2Ig23lg36Ig6

因為lgf>O,所以黑>里?>裊，BP?>?>?,B∣］Ξ>Z>Ξ,故選項C正確;

21g231g361g6236236

lg∕Igf=(Ig廳

對于選項：

DΛy=Iog2Z+log3Z=

?2^?3^lg2×Ig3

4zJ4(?√)2=儒=(?(?ft

因為Ig2XIg3<Fg2產(chǎn)］-=(?,因為Ig2HIg3所以等號不成立,

14(愴八24、2

所以［g2,lg3>訴,即西西〉說(愴“’

所以孫>4Z2,根據(jù)“或”命題的性質(zhì)可知選項D正確.

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是令2'=3,=6==/則，>1,可得：?=Iog21y=Iog31,z=log√,

再利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及換底公式化簡每一個選項的等式，注意利用基本不等式時等號能否成立.

16.(2020?全國?高一單元測試)對于函數(shù)/(x)定義域中任意的再,當(dāng)(X戶與)，有如下結(jié)論，當(dāng)f(x)=g時,

上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是()

A./(xl+x2)=∕(x∣)√(x2)B.f(xt?x2)=f(xi)+∕(x2)

D?Γ?+XA/(x)+∕(x)

C.z2l2

Xif

【答案】BC

【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)判斷A,B,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C,由對數(shù)的運算結(jié)合基本不等式判斷D.

【詳解】對于A,Q/(xl+x2)=lg(xl+x2)≠Igxl-Igx2,即∕6+X2)≠∕(x∣)/(々)，故A錯誤;

對于B,Q/(再.)=Ig(XIX2)TgXI+Igx2=/4J+/《2)，故B正確;

對于c,Qy(X)=IgX在定義域中單調(diào)遞增，>0,故C正確;

X\~X2

I

對于D,Qx,,x2>0(x1≠x2),利用基本不等式知/(五產(chǎn)卜IgW)>lg而；，又

/(χj+∕(χj??=IgU=IgAξ則｛詈)>/叫/⑸

=故D錯誤:

故選：BC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查命題的真假判斷，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，解決本

題的關(guān)鍵點是將對數(shù)形式化為根式，即里智地=Iga■,利用對數(shù)的運算結(jié)合基本不等式放縮得出答

案，并驗證取等條件，考查了學(xué)生邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題.

17.(2023?全國?高三階段練習(xí))關(guān)于函數(shù)y=∣g(占-1］說法正確的是()

A.定義域為(7,1)B.圖象關(guān)于>軸對稱

C.圖象關(guān)于原點對稱D.在(0/)內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】ACD

2

【分析】由丁J-l>0即可求出其的定義域;利用f(τ)=-f(%)可判斷求力為奇函撕求利用復(fù)合函數(shù)的

I-X

單調(diào)性即可判斷了?在(0,1)內(nèi)的單調(diào)性.

1+x

【詳解】因為/(χ)=iglg

τ?~τ1-x

g、i1+XΛχ+ι八

所以--->0=-------<0=>-1l<x<l1,

l-xx-1

所以定義域為(T,l),故A正確;

因為/(-χ)=∣g(?^)=-/(X)，

所以/(X)圖象關(guān)于原點對稱，故B錯誤，CIE確;

又y=I-*>O在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以》二六一1〉0在(0,1)上單調(diào)遞增,

I-X

又y=Igx在(0,+8)上單調(diào)遞增,

占-I)在(0,1)上單調(diào)遞增，故D正確.

所以y=Ig

故選：ACD.

第∏卷(非選擇題)

三、解答題

l-kx

18.(2022?河北武強(qiáng)中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(x)=log∣為奇函數(shù).

x-1

⑴求常數(shù)衣的值;

(2)當(dāng)x>l時，判斷/U)的單調(diào)性，并用定義給出證明;

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)-^j'+∕n,且g(x)在區(qū)間［3,4］上沒有零點，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)后=-1；

(2)∕(χ)單調(diào)遞增，證明見解析:

C，1,5、/9、

(3)ZM∈(-∞,—+log-)U(-,+∞).

Io23o

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值；

(2)令X∣>W>1,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷/(再),∕(Z)的大小關(guān)系即可.

(3)將問題轉(zhuǎn)化為〃?=(；)-IoglE在區(qū)間［3,4］上無解，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性求值域，即可確定機(jī)的

范圍.

(1)

?+kxI-Axx-1

由/(-X)=-f(x),即1log-------=-l1og--=1log∣,

2l-X-I21XT2］一奴

所以上"=二,故/fτ=χ2-］,則4=土1,

-X-I1—0

1—Y

當(dāng)先=1時，—>0顯然不成立，經(jīng)驗證：％=-1符合題意;

x—1

所以A=—1；

⑵

/(X)單調(diào)遞增，證明如下:

1+X

由(1)知：∕ω=iogl-若x∣>z>L

2X—1

則f(xi)-f(×2)=?og1??Tog?ll?=∣0g(l+xl)(?-l)zlogNX2_1+x?_1

2?l-?2x2-l?(x1-1)(1+x2)?x1x2+x1-x2-1

XX-X+x-1

17!191

而x1x2-x1+x2-1<x1x2÷x1-x2-1BP--~~<1,

x1x2+x1-X2-1

所以/(再)-/(工2)>0,故/(X)單調(diào)遞增.

⑶

由g(χ)=%Q

+m令g(%)=O，

=(；)-?og,?^,由(2)知：/(x)在［3,4］上遞增，而y=J在［3,4］上遞減,

所以加

所以MX)=P■)-IoglIJ三在［3,4］上遞減，則心)€［上+噬熱,，

?2Jx-?1638

159

又加=∕ι(x)在區(qū)間［3,4］上無解，故m∈(-∞,—+log-)u(-,+∞)

16238

19.(2022?廣東韶關(guān)?高一期末)雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲

正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)(歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)).記雙曲正弦函數(shù)為/(x),雙曲余弦函數(shù)

為g(x),已知這兩個最基本的雙曲函數(shù)具有如下性質(zhì):

①定義域均為R，且/(x)在R上是增函數(shù)；

②/(X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)；

③/(x)+g(x)=e、(常數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828???).

利用上述性質(zhì)，解決以下問題:

(1)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；

(2)證明：對任意實數(shù)X,[f(x)T-[g(x)(為定值；

(3)已知〃?eR,記函數(shù)y=2?g(2x)-4∕(x),xw[θ,ln2]的最小值為e(機(jī))，求夕(加).

【答案】(l)"x)=≤^,g(x)=≤^

(2)證明見解析

'?lmC2

----3,m<—

⑶*(M=?4??

2m--,m>一

m3

【分析】(1)利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得出關(guān)于〃x)、g(x)的等式組，即可求得這兩個函數(shù)的解析式；

(2)利用指數(shù)的運算性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

"3"1「3"

(3)設(shè)t=e*-eτ,可得出fe0,-,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)力(。=加〃-2+如,Ze0,-的最小值，對實數(shù)機(jī)

「3"

的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)M?)在0,-上的單調(diào)性，即可求得S(W)的表達(dá)式.

(1)

解：由性質(zhì)③知/(χ)+g(χ)=e*,所以/(τ)+g(τ)=eτ,

由性質(zhì)②知，/(-x)=-∕(x)，g(-x)=g(x),所以-/(x)+g(x)=e7,

/(x)+g(%)=ev

即?解得/(χ)=Wg(χ)==

-/(x)+g(x)=e

因為函數(shù)M=e'、y=-e-*均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)f(可為R上的增函數(shù)，合乎題意.

(2)

證明：由(1)可得：

e+2

卜(切Hg(X)T=(三'f-

(3)

解：函數(shù)y=2%g(2x)-4/(X)=M*+曉》)-才d-6"),設(shè)f=e*-eτ,

X_-x?

由性質(zhì)①，/(x)=±二^在R是增函數(shù)知，當(dāng)xw[0,ln2]時，，€0,1,

2L2_

-3'

所以原函數(shù)即歹=加2-2f+2m,∕∈0,-,

「3"

設(shè)〃(/)=加J-2∕+2w,t∈0,—,

當(dāng)加=O時，∕φ)=-2/在0,|上單調(diào)遞減，此時/()mM=∏=-3.

當(dāng)加≠o時，函數(shù)〃0)的對稱軸為，=’,

tn

當(dāng)機(jī)<o時，則A<o,Mf)在o,∣上單調(diào)遞減，此時MfL=〃圖=與一3,

當(dāng)0<,<I時，即寸，Mf)在(θ,L]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

m23\^)1m2)

此時

I加/m

當(dāng)、弓時，即°<'"≤g時，"S在04上單調(diào)遞減，止匕時MAn=〃圖=子一3.

17mr2

--------3,m<—

43

綜上所述，φ(tn)=<

2'

2Cm----1-.tn>-

m3

【點睛】方法點睛：“動軸定區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法:

(I)根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論;

(2)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值

進(jìn)行分析；

(3)將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.

20.(2022?山西運城?高二期末)已知函數(shù)/(X)=Iogf+l)-log,2",g(x)=Iog4∣αl.

⑴若”eR,對加e[-l,