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中山中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)返??家唬畣芜x題(共10小題,每小題4分,滿分40分)1.下列方程中,屬于一元二次方程的是()A.32x﹣1=0B.x+=3C.x2=(x﹣2)(x+1)D.(x﹣2)(x+2)+4=02.二次函數(shù)y=(m﹣2)x2+2x﹣1中,m的取值范圍是()A.m>2B.m<2C.m≠2 D.一切實(shí)數(shù)3.如圖,是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c=0的解是()x1=1;x2=3B.x1=﹣1;x2=3 x1=1;x2=﹣3D.x1=﹣1;x2=﹣34.將二次函數(shù)y=x2的圖象先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,得到的二次函數(shù)的表達(dá)式為()A.y=2x2+3B.y=﹣2x2﹣3C.y=(x﹣2)2﹣3D.y=(x+2)2+35.已知2+3是方程x2﹣4x+c=0的一個(gè)根,則c的值是()A.2﹣3 B.3 C.2 D.16.已知二次函數(shù)y=(a﹣1)x2,當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x增大而減小,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a(chǎn)>0 B.a(chǎn)<1C.a(chǎn)≠1D.a(chǎn)>17.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A.B.C.D.8.春意復(fù)蘇,鄭州綠化工程正在如火如荼地進(jìn)行著,某工程隊(duì)計(jì)劃將一塊長(zhǎng)64m,寬40m的矩形場(chǎng)地建設(shè)成綠化廣場(chǎng)如圖,廣場(chǎng)內(nèi)部修建三條寬相等的小路,其余區(qū)域進(jìn)行綠化.若使綠化區(qū)域的面積為廣場(chǎng)總面積的80%,求小路的寬,設(shè)小路的寬為xm,則可列方程()A.(64﹣2x)(40﹣x)=64×40×80% B.(40﹣2x)(64﹣x)=64×40×80% C.64x+2×40x﹣2x2=64×40×80% D.64x+2×40x=64×40×(1﹣80%)9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中x和y的值如下表()x0.100.110.120.130.14y﹣5.6﹣3.1﹣1.50.91.8則ax2+bx+c=0的一個(gè)根的范圍是()A.0.10<x<0.11 B.0.11<x<0.12 C.0.12<x<0.13 D.0.13<x<0.1410.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,以下結(jié)論:①abc>0;②4ac<b2;③a+b=0;④若x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-2)=4的兩個(gè)根,且x1<x2,則x1<-1<x2<2,正確的有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)二.填空題(共6小題,每小題4分,滿分24分)11.方程x2﹣2=0的解為12.某商品原價(jià)為每件75元,兩次降價(jià)后每件48元,則平均每次的降價(jià)百分率是.13.若a為方程x2+2x﹣4=0的解,則3a2+6a﹣8的值為14.加工爆米花時(shí),爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率y與加工時(shí)間x(單位:min)滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=﹣0.2x2+1.5x﹣2,則最佳加工時(shí)間為min.15.已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c,當(dāng)﹣3<x<﹣2時(shí),y>0;當(dāng)3<x<4時(shí),y<0.則a與c滿足的關(guān)系式是.16.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn),連接CE,以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG,連接DF,DG,則△DFG面積的最小值為.三.解答題(共9小題,滿分86分)17.(8分)計(jì)算:√8-√6(√2-√3)-(-√3)018.(8分)解方程:(1)x2﹣6x+8=0;(2)(x+4)2=5(x+4).19.(8分)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線頂點(diǎn),(1)求該拋物線的解析式;(2)拋物線與y軸交點(diǎn)為D,求S△BCD20.(8分)已知拋物線y=x2+2kx﹣2的頂點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)是(﹣2,﹣6),求拋物線的解析式.(2)求證:不論k取何值,頂點(diǎn)M總在x軸的下方.21.(8分)已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+2k﹣1=0有實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)方程的兩根分別是x1、x2,且+=x1?x2,試求k的值.22.(10分)擲實(shí)心球是高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目.如圖1是一名女生投實(shí)心球,實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線,行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,擲出時(shí)起點(diǎn)處高度為m,當(dāng)水平距離為3m時(shí),實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)根據(jù)福建省高中階段學(xué)校招生體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(女生),投擲過(guò)程中,實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于7.70m,此項(xiàng)考試得分為滿分10分.該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分,請(qǐng)說(shuō)明理由.23.(10分)某水果超市經(jīng)銷一種高檔水果,售價(jià)為每千克50元.。若按現(xiàn)售價(jià)銷售,每千克盈利10元,每天可售出500千克,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下,超市決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施,若每千克漲價(jià)1元,日銷售量將減少20千克。(1)若超市規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過(guò)7元,元,那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元時(shí),該超市每天盈利最多?(2)為了迎接新學(xué)期,超市決定每賣出1千克捐贈(zèng)a元(a≤2)給貧困山區(qū)學(xué)生,設(shè)每千克漲價(jià)x元,若要保證當(dāng)0≤x≤8時(shí),每天盈利隨著x的增加而增大,直接寫出a的取值范圍。24.(12分)24.(12分)定義:若-一個(gè)函數(shù)田象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn),則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”.(1)若二次函數(shù)y=x2+bx+2的圖象上存在唯一的“等值點(diǎn)”,求b的值;(2)若將函數(shù)y=-x2+2的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,翻折后的部分與圖象其余部分組成新的圖象,求該圖象上的所有“等值點(diǎn)”的坐標(biāo);(3)若將函數(shù)y=-x2+2的圖象在直線y=m下方的部分沿直線y=m翻折,翻折后的部分與圖象的其余部分組成新的圖象,當(dāng)該圖象上恰好有三個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí),請(qǐng)直接寫出m的值.25.已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC.(1)直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);(2)如圖1,點(diǎn)D是拋物線第一象限上一點(diǎn),∠DBA=∠ACB,求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);(3)過(guò)點(diǎn)(1,﹣1)的直線l與拋物線交于M、N兩點(diǎn),連接MA交y軸于E,連接NA交y軸于F點(diǎn),若OE?OF=,試求直線l的解析式.參考答案與試題解析一.選擇題(共10小題)1.下列方程中,屬于一元二次方程的是()A.32x﹣1=0 B.x+=3 C.x2=(x﹣2)(x+1) D.(x﹣2)(x+2)+4=0【解答】解:A.32x﹣1=0,是一元一次方程,故A不符合題意;B.是分式方程,故B不符合題意;C.方程整理可得x+2=0,是一元一次方程,故C不符合題意;D.(x﹣2)(x+2)+4=0是一元二次方程,故D符合題意;故選:D.2.二次函數(shù)y=(m﹣2)x2+2x﹣1中,m的取值范圍是()A.m>2 B.m<2 C.m≠2 D.一切實(shí)數(shù)【解答】解:函數(shù)y=(m﹣2)x2+2x﹣1是二次函數(shù),∴m﹣2≠0,∴m≠2;故選:C.3.如圖,是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c>0的解是()x1=1;x2=3B.x1=﹣1;x2=3 x1=1;x2=﹣3D.x1=﹣1;x2=﹣3【解答】解:∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0),對(duì)稱軸為直線x=1,∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(﹣1,0),∵ax2+bx+c>0,∴y>0,∴對(duì)應(yīng)拋物線在x軸上方,即在(﹣1,0)與(3,0)之間.∴x1=﹣1;x2=3.故選:B.4.將二次函數(shù)y=x2的圖象先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,得到的二次函數(shù)的表達(dá)式為()A.y=2x2+3 B.y=﹣2x2﹣3 C.y=(x﹣2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3【解答】解:依題意可知,原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,3),又因?yàn)槠揭撇桓淖兌雾?xiàng)系數(shù),所以所得拋物線解析式為:y=(x+2)2+3.故選:D.5.已知2+3是方程x2﹣4x+c=0的一個(gè)根,則c的值是()A.2﹣3 B.3C.2 D.1【解答】解:∵2+3是方程x2-4x+c=0的一個(gè)根,(2+3)2﹣4(2+3)+c=0,解得c=1.故選:D.6.已知二次函數(shù)y=(a﹣1)x2,當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x增大而減小,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a(chǎn)>0 B.a(chǎn)<1C.a(chǎn)≠1D.a(chǎn)>1【解答】解:∵當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x增大而減小,∴拋物線開(kāi)口向上,∴a﹣1>0,∴a>1.故選:D.7.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A.B.C.D.【解答】解:A、由拋物線可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直線可知,a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、由拋物線可知,a>0,x=﹣<0,得b>0,由直線可知,a>0,b>0,故本選項(xiàng)正確;C、由拋物線可知,a<0,x=﹣>0,得b>0,由直線可知,a<0,b<0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、由拋物線可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直線可知,a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:B.8.春意復(fù)蘇,鄭州綠化工程正在如火如荼地進(jìn)行著,某工程隊(duì)計(jì)劃將一塊長(zhǎng)64m,寬40m的矩形場(chǎng)地建設(shè)成綠化廣場(chǎng)如圖,廣場(chǎng)內(nèi)部修建三條寬相等的小路,其余區(qū)域進(jìn)行綠化.若使綠化區(qū)域的面積為廣場(chǎng)總面積的80%,求小路的寬,設(shè)小路的寬為xm,則可列方程()A.(64﹣2x)(40﹣x)=64×40×80% B.(40﹣2x)(64﹣x)=64×40×80% C.64x+2×40x﹣2x2=64×40×80% D.64x+2×40x=64×40×(1﹣80%)【解答】解:設(shè)小路的寬為x米,則綠化區(qū)域的長(zhǎng)為(64﹣2x)米,寬為(40﹣x)米,∴(64﹣2x)(40﹣x)=64×40×80%故選:A.9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中x和y的值如下表()x0.100.110.120.130.14y﹣5.6﹣3.1﹣1.50.91.8則ax2+bx+c=0的一個(gè)根的范圍是()A.0.10<x<0.11 B.0.11<x<0.12 C.0.12<x<0.13 D.0.13<x<0.14【解答】解:由表可以看出,當(dāng)x取0.12與0.13之間的某個(gè)數(shù)時(shí),y=0,即這個(gè)數(shù)是ax2+bx+c=0的一個(gè)根.a(chǎn)x2+bx+c=0的一個(gè)解x的取值范圍為0.12<x<0.13.故選:C.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,以下結(jié)論:①abc>0;②4ac<b2;③a+b=0;④若x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-2)=4的兩個(gè)根,且x1<x2,則x1<-1<x2<2,正確的有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【解答】解:∵拋物線開(kāi)口向上,∴a>0,∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣=1/2,∴b=﹣2a<0,∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方,∴c<0,∴abc>0,①正確.∵圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),∴b2-4ac>0∴4ac<b2∴②正確.∵b=﹣2a,a+b=-a≠0,∴③錯(cuò)誤.∵a(x+1)(x-2)=4在圖像上表示y=4∴拋物線與直線x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1、2,∴x1<-1<2<x2,④錯(cuò)誤.故選:A.二.填空題(共6小題)11.方程x2﹣2=0的解為【解答】解:∵移項(xiàng)得x2=2,求2的平方根為2和﹣2故答案為2和﹣2.12.方程b(x﹣3)=4(b≠0)的解是x=.【解答】解:b(x﹣3)=4,bx﹣3b=4,bx=4+3b,∵b≠0,∴x=,故答案為:x=.13.某商品原價(jià)每件75元,兩次降價(jià)后每件48元,則平均每次的降價(jià)百分率是20%.【解答】解:設(shè)平均每次的降價(jià)百分率是x,依題意得:75(1﹣x)2=48,解得:x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合題意,舍去),∴平均每次的降價(jià)百分率為20%.故答案為:20%.14.加工爆米花時(shí),爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率y與加工時(shí)間x(單位:min)滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=﹣0.2x2+1.5x﹣2,則最佳加工時(shí)間為3.75min.【解答】解:根據(jù)題意:y=﹣0.2x2+1.5x﹣2,當(dāng)x=﹣=3.75時(shí),y取得最大值,則最佳加工時(shí)間為3.75min.故答案為:3.75.15.已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c,當(dāng)﹣3<x<﹣2時(shí),y>0;當(dāng)3<x<4時(shí),y<0.則a與c滿足的關(guān)系式是c=﹣8a.【解答】解:∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣=1,∴x=﹣2和x=4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,而﹣3<x<﹣2時(shí),y>0;當(dāng)3<x<4時(shí),y<0.∴x=﹣2和x=4時(shí),y=0,即拋物線與x軸的交點(diǎn)為(﹣2,0),(4,0),把(﹣2,0)代入y=ax2﹣2ax+c得4a+4a+c=0,即c=﹣8a.故答案為c=﹣8a.16.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn),連接CE,以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG,連接DF,DG,則△DFG面積的最小值為.【解答】解:設(shè)DE=x,則CE=,∵S△DEC+S△DFG=S正方形ECGF,∴S△DFG=(x2+4)﹣×2x=x2﹣x+2=(x﹣1)2+,∴當(dāng)x=1時(shí),△DFG面積的最小值為.故答案為:.三.解答題(共9小題)17.計(jì)算:8-6(2-3)-(-3)0【解答】解:原式=22-23+32-1=5√2-23-118.解方程:(1)x2﹣6x+8=0;(2)(x+4)2=5(x+4).【解答】解:(1)x2﹣6x+8=0,分解因式得:(x﹣2)(x﹣4)=0,則x﹣2=0或x﹣4=0,解得x1=2,x2=4;(2)(x+4)2=5(x+4),移項(xiàng)得:(x+42)﹣5(x+4)=0,分解因式得:(x+4)(x+4﹣5)=0,則x+4=0或x﹣1=0,解得:x1=﹣4,x2=1.19.如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線頂點(diǎn),(1)求該拋物線的解析式;(2)拋物線與y軸交點(diǎn)為D,求S△BCD【解答】解:(1)拋物線的解析式為y=﹣(x+2)(x﹣4),即y=﹣x2+2x+8;(2)y=﹣x2+2x+8=-(x-1)2+9,則C(1,9)過(guò)C作CE⊥x軸于E點(diǎn),如圖.在y=-x2+2x+8中,當(dāng)x=0時(shí),y=8,即拋物線與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,8).∴S△BCD=S四邊形DOEC+S△CEB-S△DOB=12×(8+9)×1+12×3×9-12×20.已知拋物線y=x2+2kx﹣2的頂點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)是(﹣2,﹣6),求拋物線的解析式.(2)求證:不論k取何值,頂點(diǎn)M總在x軸的下方.【解答】(1)解:∵拋物線y=x2+2kx+﹣2的頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為(﹣2,﹣6),∴拋物線解析式為y=(x+2)2﹣6;(2)證明:設(shè)頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m,∵m=﹣2﹣k2=<0,∴不論k取何值,拋物線y=x2+2kx+﹣2的頂點(diǎn)M總在x軸的下方;21.已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+2k﹣1=0有實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)方程的兩根分別是x1、x2,且+=x1?x2,試求k的值.【解答】(1)解:∵原方程有實(shí)數(shù)根,∴b2﹣4ac≥0∴(﹣2)2﹣4(2k﹣1)≥0∴k≤1(2)∵x1,x2是方程的兩根,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得:x1+x2=2,x1?x2=2k﹣1又∵+=x1?x2,∴∴(x1+x2)2﹣2x1x2=(x1?x2)2∴22﹣2(2k﹣1)=(2k﹣1)2解之,得:.經(jīng)檢驗(yàn),都符合原分式方程的根∵k≤1∴.22.?dāng)S實(shí)心球是高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目.如圖1是一名女生投實(shí)心球,實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線,行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,擲出時(shí)起點(diǎn)處高度為m,當(dāng)水平距離為3m時(shí),實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)根據(jù)福建省高中階段學(xué)校招生體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(女生),投擲過(guò)程中,實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于7.70m,此項(xiàng)考試得分為滿分10分.該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解:(1)根據(jù)題意設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x﹣3)2+3,把(0,)代入解析式得:=a(0﹣3)2+3,解得:a=﹣,∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣(x﹣3)2+3;(2)該女生在此項(xiàng)考試中不能得滿分,理由:令y=0,則﹣(x﹣3)2+3=0,解得:x1=7.5,x2=﹣1.5(舍去),∵7.5<7.7,∴該女生在此項(xiàng)考試中不能得滿分.23.某水果超市經(jīng)銷一種高檔水果,售價(jià)為每千克50元.。若按現(xiàn)售價(jià)銷售,每千克盈利10元,每天可售出500千克,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下,超市決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施,若每千克漲價(jià)1元,日銷售量將減少20千克。(1)若超市規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過(guò)7元,元,那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元時(shí),該超市每天盈利最多?(2)為了迎接新學(xué)期,超市決定每賣出1千克捐贈(zèng)a元(a≤2)給貧困山區(qū)學(xué)生,設(shè)每千克漲價(jià)x元,若要保證當(dāng)0≤x≤8時(shí),每天盈利隨著x的增加而增大,直接寫出a的取值范圍?!窘獯稹拷猓海?)設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元,利潤(rùn)為W元由題可知進(jìn)價(jià)為40元,由題意得:w=(50﹣40+x)(500﹣20x)=﹣20(x﹣)2+6125,∵﹣20<0,開(kāi)口向下,x<7.5時(shí),y隨著x的增大而增大且超市規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過(guò)7元,∴x=7時(shí),W最大,為6120元,答:每千克應(yīng)漲價(jià)7元,盈利6120元,;(2)1≤a≤224.定義:若-一個(gè)函數(shù)田象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn),則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”.(1)若二次函數(shù)y=x2+bx+2的圖象上存在唯一的“等值點(diǎn)”,求b的值;(2)若將函數(shù)y=-x2+2的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,翻折后的部分與圖象其余部分組成新的圖象,求該圖象上的所有“等值點(diǎn)”的坐標(biāo);(3)若將函數(shù)y=-x2+2的圖象在直線y=m下方的部分沿直線y=m翻折,翻折后的部分與
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