2018年高考題和高考模擬題數(shù)學(文)-專題05立體幾何分類匯編(解析版)

5．立體幾何1．【2018年浙江卷】已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S?AB?C的平面角為θ3，則A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1【答案】D點睛：線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.學·科2網(wǎng)2．【2018年浙江卷】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】分析:先還原幾何體為一直四棱柱，再根據(jù)柱體體積公式求結果.詳解：根據(jù)三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上下底分別為1，2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為選C.點睛：先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等.3．【2018年文北京卷】某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為A.1B.2C.3D.4【答案】C共三個，故選C.點睛：此題考查三視圖相關知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原，分析線面、線線垂直關系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等相關問題的求解.4．【2018年新課標I卷文】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A.8B.62C.82【答案】C點睛：該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長久顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.5．【2018年新課標I卷文】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1A.122πB.12πC.【答案】B【解析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為22的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是2的圓，且高為22，所以其表面積為S=2π(點睛：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側面積的和.學@科3網(wǎng)6．【2018年全國卷Ⅲ文】設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A.B.C.D.【答案】B，故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當平面時，三棱錐體積最大很關鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結果，屬于較難題型。7．【2018年全國卷Ⅲ文】中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是A.AB.BC.CD.D【答案】A【解析】分析：觀察圖形可得。詳解：觀擦圖形圖可知，俯視圖為，故答案為A.點睛：本題主要考擦空間幾何體的三視圖，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題。8．【2018年全國卷II文】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A.22B.32C.5【答案】C點睛：求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.9．【2018年天津卷文】如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，則四棱柱A1–BB1D1D的體積為__________．【答案】1積為：V=13點睛：本題主要考查棱錐體積的計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10．【2018年江蘇卷】如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________．【答案】點睛：解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據(jù)條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．學……科4網(wǎng)11．【2018年全國卷II文】已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°，若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為__________【答案】8π【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線SA，高SO，底面圓半徑AO的長，代入公式計算即可.詳解：如下圖所示，∠SAO=30°,∠ASB=90°，又SΔSAB=12SA?SB=1點睛：此題為填空題的壓軸題，實際上并不難，關鍵在于根據(jù)題意作出相應圖形，利用平面幾何知識求解相應線段長，代入圓錐體積公式即可.12．【2018年浙江卷】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通過計算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結論，（Ⅱ）找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，根據(jù)向量之積為0得出,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結論，（Ⅱ）根據(jù)方程組解出平面的一個法向量，然后利用與平面法向量的夾角的余弦公式及線面角與向量夾角的互余關系求解.詳解：方法一：（Ⅱ）如圖，過點作，交直線于點，連結.由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角.由得，所以，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz.由題意知各點坐標如下：因此由得.由得.所以平面.點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.13．【2018年天津卷文】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=23，∠BAD=90°（Ⅰ）求證：AD⊥BC；（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)1326；(Ⅲ)3詳解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中點N，連接MN，ND．又因為M為棱AB的中點，故MN∥BC．所以∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=AD2+AM2=13．因為AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=AD2+AN2=13．在等腰三角形（Ⅲ）連接CM．因為△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，故CM⊥AB，CM=3．又因為平面ABC⊥平面ABD，而CM?平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD=AC2+AD2=4．在Rt△CMD中，sin∠CDM=CMCD點睛：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面垂直等基礎知識．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力．學*科/網(wǎng)14．【2018年江蘇卷】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）（2）所以．（2）因為Q為BC的中點，所以，因此，．設n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取，設直線CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．點睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎知識，考查運用空間向量解決問題的能力.利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.15．【2018年江蘇卷】在平行六面體中，．求證：（1）；（2）．【答案】答案見解析【解析】分析：（1）先根據(jù)平行六面體得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結論；（2）先根據(jù)條件得菱形ABB1A1，再根據(jù)菱形對角線相互垂直，以及已知垂直條件，利用線面垂直判定定理得線面垂直，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結論.詳解：證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因為AA1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B．又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因為A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因為AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．點睛：本題可能會出現(xiàn)對常見幾何體的結構不熟悉導致幾何體中的位置關系無法得到運用或者運用錯誤，如柱體的概念中包含“兩個底面是全等的多邊形，且對應邊互相平行，側面都是平行四邊形”，再如菱形對角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條件，缺少對這些條件的應用可導致無法證明.16．【2018年新課標I卷文】如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=23DA【答案】(1)見解析.(2)1.【解析】分析：(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到∠BAC=90，即BA⊥AC，再結合已知條件BA⊥AD，利用線面垂直的判定定理證得AB⊥平面ACD，又因為AB?平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ACD⊥平面ABC；(2)根據(jù)已知條件，求得相關的線段的長度，根據(jù)第一問的相關垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.詳解：（1）由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC．又BA⊥AD，且AC∩AD=A，所以AB⊥平面ACD．又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．點睛：該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定以及三棱錐的體積的求解，在解題的過程中，需要清楚題中的有關垂直的直線的位置，結合線面垂直的判定定理證得線面垂直，之后應用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關系，在求三棱錐的體積的時候，注意應用體積公式求解即可.學&科5網(wǎng)17．【2018年全國卷Ⅲ文】如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點．（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析（2）當P為AM的中點時，MC∥平面PBD．證明如下：連結AC交BD于O．因為ABCD為矩形，所以O為AC中點．連結OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP．MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．點睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問先斷出P為AM中點，然后作輔助線，由線線平行得到線面平行，考查學生空間想象能力，屬于中檔題。18．【2018年全國卷II文】如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離．【答案】（1）見解析（2）45（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=253所以點C到平面POM的距離為45點睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉化為線線關系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.優(yōu)質(zhì)模擬試題19．【遼寧省葫蘆島市2018屆二?！吭陂L方體中，底面是邊長為的正方形，側棱為矩形內(nèi)部（含邊界）一點，為中點，為空間任一點且，三棱錐的體積的最大值記為，則關于函數(shù)，下列結論確的是（）A.為奇函數(shù)B.在上不單調(diào)；C.D.【答案】D點睛：本題考查了空間幾何體中的最值問題，關鍵是列出式子，轉化為距離問題，借助函數(shù)求解即可，屬于難題．20．【河南省洛陽市2018屆三?！吭谌忮F中，平面，，，，是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形找出的外接圓圓心與三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．詳解：三棱錐設直線與平面所成角為，如圖所示；則由題意，且的最大值是，∴，解得即的最小值為∴的最小值是，即點到的距離為，取的外接圓圓心為，作，解得；為的中點，由勾股定理得∴三棱錐的外接球的表面積是故選B.點睛：本題考查了幾何體外接球的應用問題，解題的關鍵求外接球的半徑，是中檔題．21．【四川省2018屆沖刺演練（一）】某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【答案】B1，高是3，球的半徑是1.∴該幾何體的體積為，故選B.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.學+科.0.網(wǎng)22．【安徽省示范高中（皖江八校）2018屆第八聯(lián)考】某棱錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A詳解：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，外接球球心在過中點且垂直于平面的直線上，又點到距離相等，∴點又在線段的垂直平分面上，故是直線與面的交點，可知是直線與直線的交點,（分別是左側正方體對棱的中點）,∴，，故三棱錐外接球的半徑，表面積為.故選A.點睛：本題考查了三棱錐的性質(zhì)、空間幾何位置關系、三垂線定理、球的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．23．【江西省重點中學協(xié)作體2018屆第二次聯(lián)考】《算術書》竹簡于上世紀八十年代湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典著，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h，計算其體積V的近似公式，V=136l2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈25942A.227B.258C.157【答案】C【解析】分析：寫出圓錐體積公式，并化為用底面周長l表示，然后與近似公式比較.詳解：V=13πr2故選C.點睛：本題考查數(shù)學文化，解題過程不復雜，只要寫出體積公式然后比較系數(shù)即可.24．【湖南省湘潭市2018屆四?！磕硯缀误w的三視圖如圖示，則該幾何體的體積為（）A.56B.1763C.883【答案】B點睛：本題考查了幾何體的三視圖及組合體的表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解．25．【山東省濟南2018屆二模】已知點均在表面積為的球面上,其中平面,,,則三棱錐的體積的最大值為（）A.B.C.D.【答案】A詳解：設外接球的半徑R，易得解得,在△中，設，又,,∴，即△為等腰三角形，設△的外接圓半徑為r，則2r，即r,又平面,設,則,三棱錐的體積,令，,則,∴三棱錐的體積的最大值為,故選：A點睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關系，得到結果，一般內(nèi)切球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于內(nèi)切球的性質(zhì)，球心到各面距離相等計算即可，當球心位置不好確定時，可以用等體積法求球半徑.26．【福建省廈門市2018屆二?！恳阎痴忮F的側棱長大于底邊長，其外接球體積為，三視圖如圖所示，則其側視圖的面積為（）A.B.2C.4D.6【答案】D點睛：本題主要考查三棱錐外接球問題，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接設出球心和半徑，列方程求解.27．【山東省威海市2018屆二?！浚阎庵?，側面的面積為，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為______.【答案】.【解析】分析：先求出底面三角形的外接圓的半徑，再求三棱柱外接球的表面積，再利用基本不等式求最小值.詳解：設BC=a,,則ab=.底面三角形外接圓的半徑為r,則所以,所以該正三棱柱外接球表面積的最小值為故答案為：點睛：(1)本題主要考查幾何體的外接球問題，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和空間想象能力.(2)求幾何體外接球的半徑一般有兩種方法:模型法和解三角形法.模型法就是把幾何體放在長方體中，使幾何體的頂點和長方體的若干個頂點重合，則幾何體的外接球和長方體的外接球是重合的，長方體的外接球的半徑就是幾何體的外接球半徑.如果已知中有多個垂直關系，可以考慮用此種方法.解三角形法就是找到球心和截面圓的圓心，找到、球的半徑、截面圓的半徑確定的,再解求出球的半徑.學￥科8網(wǎng)28．【山東省煙臺市2018屆適應性練習（二）】如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，為圓上的點，分別是以為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使重合得到一個四棱錐，則該四棱錐的體積的最大值為_______.【答案】.【解析】分析：連接OF，與BC交于I，設正方形ABCD的邊長為，則，寫出棱錐體積公式，再由導數(shù)求最值即可．詳解：如圖，連接OF，與BC交于I，設正方形ABCD的邊長為，則，則所得正四棱錐的高為，∴四棱錐的體積.令，x∈（0，），，易知當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減.所以.所以.體積最大值為．故答案為：.點睛：求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先設自變量、因變量，建立函數(shù)關系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結果要與實際情況相結合，用導數(shù)求解實際問題中的最大（?。┲禃r，如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么依據(jù)實際意義，該極值點也就是最值點.29．【江西省南昌市2018屆三模】如圖，多面體ABCDEF中，ABCD為正方形，AB=2,AE=3,DE=5EF=2,cos∠CDE=5（1）證明：平面ABCD⊥平面EDC；（2）求三棱錐A-EFC的體積.【答案】（1）見解析；（2）4（1）證明：∵AB=2,AE=3,DE=5，由勾股定理得：AD⊥DE，又正方形ABCD中AD⊥DC，且DE∩DC=D，∴AD⊥平面EDC，又∵AD?面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EDC（2）由已知cos∠CDE=55，連接AC交BD于G，作OE⊥CD于O，則OD=DE?cos∠EDC=1,OE=2，又由錐A-EFC點睛：考查面面垂直、幾何體體積，能正確分析線條關系，利用等體積