3年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)講義 第11講 等差數(shù)列求和（教師版）

第11講等差數(shù)列求和

三年級(jí)秋季

一、等差數(shù)列公式

末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-I）X公差,

首項(xiàng)=末項(xiàng)項(xiàng)數(shù)-I）X公差.

公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）十（項(xiàng)數(shù)-1），

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1.

二、等差數(shù)列求和公式

1.等差數(shù)列求和公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)÷2,即Sft="χ（q+q）+2.

2.對(duì)于一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列：和=中間數(shù)X項(xiàng)數(shù).

課堂內(nèi)外

著名的數(shù)學(xué)家高斯在9歲那一年用很短的時(shí)間計(jì)算出小學(xué)老師布置的任務(wù)：對(duì)自然數(shù)1到IOO的求

和.同時(shí)得到結(jié)果：5050,那么他是怎么算的呢？

M京課堂例題

一、等差數(shù)列求和

1、計(jì)算：(1)3+6+9+12+15+18+21+24+27+30；

(2)41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1.

【答案L

(1)165(2)231

【解析】

（1）方法一:

3÷6+9+12+15+18+21+24+27+30

=(3+30)+(6+27)+(9+24)+(12+21)+(15+18)

=33+33+33+33+33

=33?5

=165

方法二：根據(jù)等差.數(shù)列求和公式，得和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)+2=(3+30)x10+2=165.

(2)方法一：

r41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1

=(41+1)+(37+5)+(33+9)+(29+13)+(25+17)+21

=42+42+42+42+42+21

=42?521

=231.

方法二：根據(jù)等差數(shù)列求和公式，得和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)+2=(1+41)x11+2=231.

方法三：和=中間項(xiàng)？項(xiàng)數(shù)21?11231.

2、計(jì)算：(1)5+11+17+L+77+83;

(2)193+187+181+L+103.

【答案】

(1)616(2)2368

【解析】

(1)數(shù)列的首項(xiàng)是5,末項(xiàng)是83,后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大11-5=6,所以公差是6.根據(jù)項(xiàng)數(shù)公,式，得，

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+l=(83-5)÷6+l=13+l=14.根據(jù)等差數(shù)列求和公式，得

和=(5+83)xl4÷2=616.

⑵數(shù)列的首項(xiàng)是193,末項(xiàng)是103,且每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)小193-187=6.根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式，得是

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+l=(193-103)÷6+l=15+l=16.根據(jù)等差數(shù)列求和公式，得

和=(193+103)xl6÷2=2368.

3、計(jì)算下列各題：

⑴??4?hM?6；

共10項(xiàng)

⑵??峰型體助他鞋輯48.

共13項(xiàng)

【答案】

(1)390(2)2041

【解析】

⑴末項(xiàng)為12+(10-1)x6=66,所以12418+24+...=(12+66)χl0÷2=390.

-JtioS-

(2)末項(xiàng)為193-(13-1)x6=121,193+187+181+...=(193+121)×13÷2=2041.

--

4、計(jì)算：1+2+3+...+9+10+9+...+3+2+1.

【答案】

100

【解析】

1+2+3+...+9+10+9+...+3+2+1=(1+2+3+...+9)×2+10=(l+9)×9+10=100.

二、等差數(shù)列求和應(yīng)用題

5、墨莫讀一本課外書，第一天讀了15頁(yè)，以后每天都比前一天多讀3頁(yè)，最后一天讀了36頁(yè)，剛好把

書讀完.請(qǐng)問(wèn)：墨莫一共讀了多少天？這本課外書共有多少頁(yè)？

【答案】

8天；204頁(yè)

【解析】

墨莫第一天讀了15頁(yè)，最后一天讀了36頁(yè)，那么最后一天比第一天多讀了36-15=21頁(yè).由于墨莫每天

都比前一天多讀3頁(yè)，因此從第一天到最后一天,讀書的頁(yè)數(shù)共增加了21÷3=7次,最后一天就是第8天.讀

到最后一天時(shí)，墨莫?jiǎng)偤冒褧x完，因此書的總頁(yè)數(shù)就是墨莫這8天所讀的頁(yè)數(shù)之和.根據(jù)等差數(shù)列求和

公式，得和=(36+15)χ8÷2=204,所以這本書共有204頁(yè).

6、小華把一些珠子放在桌子上的15個(gè)盒子里.己知盒子中的珠子數(shù)按盒子從左往右的順序成一個(gè)等差數(shù)

歹∣J,并且從左數(shù)第8個(gè)盒子中有24顆珠子.請(qǐng)問(wèn)：這15個(gè)盒子中一共有多少顆珠子？

【答案】

360

【解.析】

項(xiàng)數(shù)為15的等差數(shù)列，中間項(xiàng)為第8項(xiàng)，所以這15個(gè)盒子中一共有24x15=360顆珠子.

7、墨莫為了減肥開始長(zhǎng)跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他

一共跑了多少米？

【答案】

35400

【解析】

墨莫最后一天跑了600+(30-1)X40=1760米，所以前30天里他一共跑了(600+1760)×30÷2=35400米.

三、通過(guò)和反求

8、小明從1開始計(jì)算若干連續(xù)自然數(shù)的和，他因?yàn)榘哑渲幸粋€(gè)數(shù)多加了一遍，得到了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果2007

,.小剛也從1開始計(jì)算若干連續(xù)自然數(shù)的和，他因?yàn)槁┘恿似渲械囊粋€(gè)自然數(shù)，也得到了錯(cuò)誤結(jié)果2007.請(qǐng)

問(wèn)被重復(fù)計(jì)算和漏算的兩個(gè)數(shù)之和是多少？

【答案】

63

【解析】

設(shè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列末項(xiàng)為%則前"項(xiàng)和為(l+")x"+2.(l+")x"÷2=2007,估算可知，

1+2+3+...+62=1953,1+2+3+...+63=2016.所以被重復(fù)計(jì)算的數(shù)為2007—1953=54,被漏掉的數(shù)為

2016-2∞7=9,兩數(shù)之和為54+9=63.

9、一個(gè)等差數(shù)列一共有11項(xiàng)，公差為12,若已知這個(gè)等差數(shù)列的和為2200,求在這個(gè)數(shù)列中最大的數(shù)

為多少？

【答案】

260

【解析】

這個(gè)數(shù)列首項(xiàng)與末項(xiàng)和為2200x2÷ll=400,首項(xiàng)與.末項(xiàng)相差(II-I)X12=120,所以末項(xiàng)為

(400+120)÷2=260.

隨堂練習(xí)

［：6+11+16+21+26+31+36+41+46.

【答案】

234

【解析】

6+11+16+21+26+31+36+41+46=(6+46)x9+2=234.

2、計(jì)算：l∞+92+84+...+12.

【答案】

672

【解析】

項(xiàng)數(shù)為(IOO-12)+8+1=12,所以100+92+84+...+12=(100+12)χl2÷2=672.

3、計(jì)算：10+13+16+....

Jlaa項(xiàng)

【答案】

318

【解析】

末項(xiàng)為10+(12-1)x3=43,所以10+J2+16+...=(l()+43)*12÷2=318.

―-

4、暑假里，小高練習(xí)游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600

米.請(qǐng)問(wèn)：小高這些天里一共游了多少米？

【答案】

3600

【解析】

小高每天游的距離成公差為50的等差數(shù)列，第一天和最后一天差(600-200)÷50=8個(gè)公差，所以小高游

了8+1=9天，游了(200+600)x9÷2=3600米.

Mr課后作業(yè)

1、If?算：1+2+3+4+5+6+7+8=________________.

【答案】

36

【解析】

1+2+3+4+5+6+7+8=(l+8)×8÷2=36.

2、計(jì)算：70+67+64+61+58+55+52+49=.

【答案】

476

【解析】

70+67+64+61+58+55+52+49=（70+49）×8÷2=476.

3、計(jì)算：11+18+25+...+102=.

【答案】

791

【解析】

項(xiàng)數(shù)為（102-ll）÷7+1=14,11+18+25+...+102≈（ll+I02）×l4÷2=791.

4、計(jì)算：5+8+11+14+...=.

--

【答案】

1550

【解析】

末項(xiàng)為5+（31-1）x3=95,所以5+8+3+14+...=（5+95）x31÷2=1550.

共31項(xiàng)

5、一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是21,從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大2,它的前20項(xiàng)之和是

【答案】

800

【解析】

第20項(xiàng)為21+（20-1）x2=59,所以前20項(xiàng)之和是（21+59）x20+2=800.

6、饞嘴猴特別愛(ài)吃香蕉，它每周吃的香蕉數(shù)量成等差數(shù)列，己知它第5周吃了18根香蕉.饞嘴猴前9周

一共吃了根香蕉.

【答案】

162

【解析】

項(xiàng)數(shù)為9的等差數(shù)列中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，所以饞嘴猴前9周一共吃了18x9=162根香蕉.

7、饞嘴猴特別愛(ài)吃香蕉，第一周吃了10根香蕉，從第二周開始每周都比前一周多吃2根香蕉.饞嘴猴最

后一周吃了50根香蕉，那么它一共吃了根香蕉.

【答案】

630

【解析】

饞嘴猴吃了（50-10）÷2+l=21周，所以共吃了（10+50）x21÷2=630根香蕉.

8,阿呆和阿瓜同一天開始看書，阿呆第一天看了10頁(yè)，以后每天多看2頁(yè).阿瓜第一天看了33頁(yè)，以

后每天少看3頁(yè).10天后，看得頁(yè)數(shù)多的人比看得頁(yè)數(shù)少的人多.看頁(yè).

【答案】

5

【解析】

阿呆每天看的頁(yè).數(shù)為首項(xiàng)為10,公差為2,項(xiàng)數(shù)為10的等差數(shù)列,所以阿呆最后一天看了10+2x9=28頁(yè)，

共看了（10+28）χl0÷2=1