2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-第二講 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率（大題備考）

第二講統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率一一大題備考

統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率的大題一般是以離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望為主，常

與直方圖、線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)綜合考查.

微專題1離散型隨機(jī)變量的分布列

保分題

[2022?全國(guó)甲卷]甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得

10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲

學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

提分題

例1

[2022?山東臨沂二模]甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球游戲,盒中裝有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的球,

其中有4個(gè)白球，2個(gè)紅球.

(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個(gè)球，求兩球顏色相同的概率；

(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個(gè)球，當(dāng)摸出第二個(gè)紅球時(shí)游戲結(jié)束，

或能判斷出第二個(gè)紅球被哪位同學(xué)摸到時(shí)游戲也結(jié)束.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)甲、乙兩人摸球的總次

數(shù)為X,求X的分布列和期望.

聽(tīng)課筆記：

技法領(lǐng)悟

1.明確隨機(jī)變量的可能有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義.

2.要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率.

鞏固訓(xùn)練1

［2022?山東濟(jì)南二模］從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量

指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)乳同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)已知某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了3件該產(chǎn)品,用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于［35,

45］內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率代替概率，求X的分布列.

微專題2決策問(wèn)題

保分題

[2022?湖北武漢模擬]甲，乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，已知甲隊(duì)每局贏的概率為MO<P<1)，乙

隊(duì)每局贏的概率為l-p.每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.有以下兩種方案供甲隊(duì)選擇:

方案一：共比賽三局，甲隊(duì)至少贏兩局算甲隊(duì)最終獲勝；

方案二：共比賽兩局，甲隊(duì)至少贏一局算甲隊(duì)最終獲勝.

(1)當(dāng)p=2時(shí)，若甲隊(duì)選擇方案一，求甲隊(duì)最終獲勝的概率；

3

(2)設(shè)方案一、方案二甲隊(duì)最終獲勝的概率分別為乙，尸2,討論尸1，心的大小關(guān)系;

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

提分題

例2

[2022?湖南衡陽(yáng)二模]隨著近期我國(guó)不斷走向轉(zhuǎn)型化進(jìn)程以及社會(huì)就業(yè)壓力的不斷加劇，

創(chuàng)業(yè)逐漸成為在校大學(xué)生和畢業(yè)大學(xué)生的一種職業(yè)選擇方式.但創(chuàng)業(yè)過(guò)程中可能會(huì)遇到風(fēng)險(xiǎn),

有些風(fēng)險(xiǎn)是可以控制的，有些風(fēng)險(xiǎn)是不可控制的，某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系

列優(yōu)惠政策：已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為4項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬(wàn)元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)

3

目乙成功的概率為々(0<尸0<1)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬(wàn)元；項(xiàng)目沒(méi)有成功則沒(méi)有

獎(jiǎng)勵(lì)，每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會(huì)，兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)

地政府兌現(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì).

(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎(jiǎng)金

累計(jì)為x(單位：萬(wàn)元)，若XW30的概率為Z,求〃的大?。?/p>

(2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問(wèn)：他們選擇何種創(chuàng)

業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望最大？

聽(tīng)課筆記：

技法領(lǐng)悟

均值能反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的

水平可見(jiàn)分曉，由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷，?若兩個(gè)隨機(jī)變量均值相同，則可通過(guò)分析

兩個(gè)變量的方差來(lái)作出決策.

鞏固訓(xùn)練2

[2022?廣東湛江二模]某大學(xué)為了鼓勵(lì)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識(shí)競(jìng)賽”，

該競(jìng)賽決賽局有工、8兩類知識(shí)競(jìng)答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進(jìn)入決賽的選手要先從48兩類知識(shí)中

選擇一類進(jìn)行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對(duì)剩下的一類知識(shí)挑戰(zhàn)的機(jī)會(huì)，挑戰(zhàn)失敗則競(jìng)賽結(jié)束，第

二類挑戰(zhàn)結(jié)束后，無(wú)論結(jié)果如何，競(jìng)賽都結(jié)束./、8兩類知識(shí)挑戰(zhàn)成功分別可獲得2萬(wàn)元

和5萬(wàn)元?jiǎng)?chuàng)業(yè)獎(jiǎng)金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到2000元激勵(lì)獎(jiǎng)金.已知甲同學(xué)成功晉級(jí)決賽，

面對(duì)1、8兩類知識(shí)的挑戰(zhàn)成功率分別為0.6、0.4,且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無(wú)關(guān).

(1)若記X為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)Z類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額(單位：元)，寫出X的分布

列；

(2)為了使甲同學(xué)可獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，請(qǐng)幫甲同學(xué)制定挑戰(zhàn)方案，并給出

理由.

微專題3概率與線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合

保分題

[2022?廣東佛山三模]為了調(diào)查高一年級(jí)選科意愿,某學(xué)校隨機(jī)抽取該校100名高一學(xué)生

進(jìn)行調(diào)查，擬選報(bào)物理和歷史的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

物理(人)歷史(人)

男505

女2520

(1)能否有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān)？

(2)若用樣本頻率作為概率的估計(jì)值，在該校高一學(xué)生中任選3人，記4為三人中選物

理的人數(shù)，求。的分布列和數(shù)學(xué)期望.

______n(ad-bc)2______

附：X2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

提分題

例3

[2022?山東德州二模]2021年12月17日，工信部發(fā)布的《“十四五”促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)

展規(guī)劃》明確提出建立“百十萬(wàn)千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專精特

新”“小巨人”“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細(xì)化、特色化、

新穎化優(yōu)勢(shì)的中小企業(yè).下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：

年份(年)20172018201920202021

年份代碼(X)12345

新增企業(yè)數(shù)量8)817292442

(1)請(qǐng)根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)2023年此地新增企

業(yè)的數(shù)量；

(2)若在此地進(jìn)行考察，考察企業(yè)中有4個(gè)為“專精特新”企業(yè)，3個(gè)為普通企業(yè)，現(xiàn)從

這7個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，用X表示抽取的3個(gè)為“專精特新”企業(yè)個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X

的分布列與期望.

參考公式：回歸方程y=a+6x中斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為6=

邳=Jx尸"

聽(tīng)課筆記：

技法領(lǐng)悟

1.對(duì)于線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，只要熟悉公式，認(rèn)真計(jì)算，就能得分.

2.對(duì)于概率問(wèn)題，要弄清概率模型，正確區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布.

鞏固訓(xùn)練3

[2022?遼寧鞍山二模]擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國(guó)古代傳統(tǒng)民間酒宴上的助興游戲,

屬于酒令的一種，又稱“擊鼓催花”，在唐代時(shí)就已出現(xiàn).杜牧《羊欄浦夜陪宴會(huì)》詩(shī)句中

有“球來(lái)香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”，可以得知唐代酒宴上擊鼓傳花助興的情景.游戲

規(guī)則為：鼓響時(shí)，開始傳花（或一小物件），鼓響時(shí)眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花

在誰(shuí)手中（或其序位前），誰(shuí)就上臺(tái)表演節(jié)目（多是唱歌、跳舞、說(shuō)笑話；或回答問(wèn)題、猜謎、

按紙條規(guī)定行事等）.某單位組織團(tuán)建活動(dòng)，9人一組，共9組，玩擊鼓傳花，組號(hào)x（前五

組）與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

X12345

y22344

若女性人數(shù)y與組號(hào)x（組號(hào)變量x依次為1,2,3,4,5,…）具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）請(qǐng)求出女性人數(shù)y關(guān)于組號(hào)x的回歸直線方程；（參考公式6=卑亠亠，

牛巴nxi

&X）

（2）從前5組中隨機(jī)抽取3組，若3組中女性人數(shù)不低于3人的有X組，求X的分布列

與期望.

第二講統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率

微專題1離散型隨機(jī)變量的分布列口

保分題

解析：(1)設(shè)三個(gè)項(xiàng)目比賽中甲學(xué)校獲勝分別為事件4,B.C,易知事件4,B,C相互

獨(dú)立.甲學(xué)校獲得冠軍，對(duì)應(yīng)事件4,B,C同時(shí)發(fā)生，或事件/,B,C中有兩個(gè)發(fā)生，故

甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

p=P(ABC+ABC+ABC+ABQ

=P(ABQ+P(RBC)+尸函O+P(ABC)

=0.5X0.4X0.8+(l-0.5)X0.4X0.8+0.5X(l-0.4)X0.8+0.5X0.4X(l-0.8)

=0.16+0.16+0.24+0.04

=0.6.

(2)由題意得，X的所有可能取值為0,10,20,30.

易知乙學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.6,0.2,則

P(X=0)=(l-0.5)X(1-0.6)x(l-0.2)=0.16,

P(X=10)=0.5X(I-0.6)X(l-0.2)+(1-0.5)X0.6X(l-0.2)+(1-0.5)X(1-0.6)X0.2

=0.44,

P(%=20)=0.5X0.6X(l-0.2)+0.5X(l-0.6)X0.2+(l-0.5)X0.6X0.2=034,

P(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06,

所以X的分布列為

X0102030

p0.160.440.340.06

則E(X)=0X0.16+10X0.44+20X0.34+30X0.06=13.

提分題

［例1］解析：(1)兩球顏色相同分為都是紅球或白球，其概率為7,=4+4=工；

QQ15

(2)依題意X=2,3,4,5,

p(X=2)=/=L,

clis

X=3,就是前2個(gè)一個(gè)是紅球，一個(gè)是白球，第3個(gè)是紅球,P(X=3)=華4?4=2，

%Q15

X=4,就是前3個(gè)有2個(gè)白球一個(gè)紅球，第4個(gè)是紅球，或前四個(gè)全是白球，

尸(X=4)=鷲&0+駕■=&,

qqq15

x=5,分為前4個(gè)球中有3個(gè)白球1個(gè)紅球,第5個(gè)是紅球，或者是前4個(gè)球中3個(gè)

白球一個(gè)紅球，

第5個(gè)是白球P(X=5)=3.?0.+0a?2=2,

”G”Q15

分布列為：

X2345

8

pi24

15151515

￡■(㈤=2X丄+3X2+4X_i_+5X_L=^

1515151515

［鞏固訓(xùn)練1］

解析：(1)由已知得：又=10X0.015X10+20X0.040X10+30X0.025X10+

40X0.020X10=25.

(2)因?yàn)橘?gòu)買T牛產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于［35,45］內(nèi)的概率為0.2,

所以X~8(3,0.2),所以X=0,1,2,3.

P(X=0)=(1-0.2)3=0.512,

P(X=1)=C1XO,2X(1-0.2)2=0.384,

尸(X=2)=RX0.22X(l-0.2)=0.096,

p（%=3）=0,23=0.008,

所以X的分布列為

X0123

P0.5120.3840.0960.008

微專題2決策問(wèn)題口

保分題

解析：⑴設(shè)甲隊(duì)選擇方案一最終獲勝為事件4,

P[A}=C2X(1)2X2+(1)3=2,.

333327

(2)若甲隊(duì)選擇方案一，則甲隊(duì)最終獲勝的概率為=c錫2(1”)+〃=3P2-2c,

若甲隊(duì)選擇方案二，則甲隊(duì)最終獲勝的概率為P,=C卯(1-p)+P2=2p-p2,

P2-P]=2p3-4p2+2p=2p(p-1),,

因?yàn)镺<P<I,所以

(3)在方案一中，若甲隊(duì)第一局贏，則甲隊(duì)最終獲勝概率會(huì)變大，此時(shí)繼續(xù)比賽即為方

案二，故方案二甲最終獲勝的概率會(huì)變大.

提分題

[例2]解析：(1)由已知得張某創(chuàng)業(yè)成功的概率為2，李某創(chuàng)業(yè)成功的概率為Pa,且兩

3u

人創(chuàng)業(yè)成功與否互不影響.記“這2人的累計(jì)獲得獎(jiǎng)金為XW30(單位:萬(wàn)元)”的事件為力,

則事件/的對(duì)立事件為“X=50”，

因?yàn)镻(X=50)=2P,所以P(A)=1-P(X=50)=I-死=Z,求得P=1

3u3u9u3

(2)設(shè)兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X,,都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙且

創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為纟，則這兩人選擇項(xiàng)目甲累計(jì)獲獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為E(20XJ,選擇項(xiàng)

目乙累計(jì)獲獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為￡(30%),

由已知可得，X~5(2,2),X,~5(2,P),所以E(XJ=纟，&蒼)=2Po，

13/VI3/U

從而E(20X)=20/因)=20X&=毀,

E(30X2)=30E(X2)=60PO.

若E(20X)>E(30X,),則鴕>60P0,解得0<Po<i；

若E(20X)<E(30X),則以60P解得線P<1；

1z3u9u

若E(20X)=E(30X,),則毀=60P,解得P=i

143uu9

綜上所述，當(dāng)0<尸。<±時(shí)，他們都選擇項(xiàng)目甲逬行創(chuàng)業(yè)時(shí)，累計(jì)得到獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望最

大；

當(dāng)線緣<1時(shí)，他們都選擇項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)時(shí)，累計(jì)得到獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望最大；

當(dāng)匕=2時(shí)，他們都選擇項(xiàng)目甲或項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)時(shí)，累計(jì)得到獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望相等.

09

[鞏固訓(xùn)練2]

解析：(1)由題意可知，X的可能取值有2000、20000、70000,

產(chǎn)(X=2000)=1-0.6=04,P(X=20000)=0.6X(I-0.4)=0.36,

P(X=70000)=0.6X0.4=0.24,

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X20002000070000

p0.40.360.24

(2)記丫為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)8類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額，

甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額的期望為EW，優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識(shí)所獲獎(jiǎng)

金累計(jì)總額的期望為E(Y),

由題意可知，隨機(jī)變量y的可能取值有：2000、50000、70000,

則P(y=2000)=1-0.4=0.6,P(r=50000)=0.4X(!-0.6)=0.16,

P(F=70000)=0.4X0.6=0.24,

所以,E(y)=2000X0.6+50000X0.16+70000X0.24=26000(元)，

E(X)=2000X0.4+20000X0.36+70000X0.24=24800(元),

所以，E(X)<E(Y),

所以，為了使甲同學(xué)可獲得獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，應(yīng)該優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)8類知識(shí).

微專題3概率與線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合口

保分題

解析：(1)由表中數(shù)據(jù)可知，

產(chǎn)=l0°x(50x20-25x5)2厶［6,498,

75x25x55x45

因?yàn)?6.498>6,635,

故有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān).

(2)依題意可知該校高一學(xué)生選物理的頻率為晅&=3,

1004

由題意可得,則的所有可能取值為0,1,2,3,

又P"=0)=(93=丄/"=1)=Cj⑶針=2,

丿6439八4丿64

尸"=2)=儀0)2仏)=兄P"=3)=@)3=0，

364W64

?..4的分布列如下：

J0123

192727

p

64646464

所以。的期望是E")=3X3=9

44

提分題

［例3］解析：(1)T=,

5

?(X.-r)(y.-y)=(-2)x(-16)+(-1)X(-7)+0X5+IX0+2X18

=75,

2

》(x.-r)=4+1+0+1+4=10,

i=l1

所以-------------=7.5,a=y—bx=1.5,

E5(x.-T)210

i=l

所以9=1.5+7.5x.

2023年，即當(dāng)x=7時(shí)，由回歸直線方程可得#=54