2023年重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題

2023年重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一

答題時(shí)注意：

1、試卷滿分150分;考試時(shí)間：120分鐘.

2、試卷共三大題，計(jì)16道題。考試結(jié)束后,將本卷及演算的草稿紙一并上交。

一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分.如下每題均給出了代號為A,B,C,

D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一種選項(xiàng)是對時(shí)時(shí).請將對的選項(xiàng)時(shí)代號填入題后

的I括號內(nèi).不填、多填或錯(cuò)填均不得分）

1、假如有關(guān)x的方程x2-ax+a2-3=0至少有一種正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A、-2<a<2B、\3<a42c、,3<a?2D、f3wa42

2、如圖，已知：點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD時(shí)邊AB、BC附中點(diǎn)，BD、DF分別交

CE于點(diǎn)G、H,若正方形ABCD的面積是240,則四邊形BFHG的面積等

于.................（）

A、26B、28

C、24D、30

3、設(shè)X、y、z是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足下列等式:

dX3（y-x）3+《X3億-x）3=q/y_x-Jx-z,則代數(shù)式

X3+y3+Z3-3xyz時(shí)值是）

A、0B、1C、3D、條件局限性，無法

計(jì)算

4、如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于認(rèn)為BC直徑歐I。A,已知：

——3————

BC=10,cos=BCD=_,—BCE=30o,則線段DEtf、j長

5

C

是.................（）

A、、89B、7、？C、4+3VZ3D、3+4v3

5、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動中全體學(xué)生被排成

一種n排的等腰梯形陣，且這n排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排

多一人的規(guī)律排列，則當(dāng)n取到最大值時(shí)，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)

是.................()

A、296B、221C、225D、641

二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分）

6、已知:實(shí)常數(shù)a、b、c、d同步滿足下列兩個(gè)等式：⑴asin9+bcos9-c=0；

（2）acos9-bsin9+d=0（其中9為任意銳角），則a、b、c、d之間的i關(guān)系式是:

7、函數(shù)y=|x_1|+2|x_4+,x_p+kx—|4的最小值足

8、已知一種三角形的周長和面積分別是84、210,一種單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速

無摩擦地滾動一周后回到本來的位置（如圖），則這個(gè)三角卜形的內(nèi)部以及邊界沒有

被單位圓滾過的部分的面積/

3L

9、已知I：X———,貝|卜”可用含xW、j

V5+V2

有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來表達(dá)為:、5=

10、設(shè)p、q、r為素?cái)?shù)，則方程p3=p2+q2+r2的所有也許歐I解p、q、r構(gòu)成的三

元數(shù)組（p,q,r）是。

三、解答題（共6題，共90分）

11、（本題滿分12分）

趙巖，徐婷婷，韓磊不僅是同班同學(xué)，并且是非常要好的朋友，三個(gè)人的學(xué)習(xí)成績不相伯仲,

且在整個(gè)年級中都遙遙領(lǐng)先，高中畢業(yè)后三個(gè)人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué).后來

三個(gè)人應(yīng)母校邀請給全校學(xué)生作一次匯報(bào).匯報(bào)后三個(gè)人還出了一道數(shù)學(xué)題:有一種密碼把

英文按字母分解，英文中的a,b，c,….一z26個(gè)字母（不管大小寫）依次用1,2,3,,26

這26個(gè)自然數(shù)表達(dá)，并給出如下一種變換公式:

（IL、］+1（其中x是不超過26的正奇數(shù)）

y=〈；已知對于任意的實(shí)數(shù)x,記號［x］表達(dá)

"產(chǎn)］+13（其中x是不超過26的正偶數(shù)）

Q11

不超過x時(shí)最大整數(shù);將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如8T［——］+13=17,即h變成q,再如

2

117己］+1=6,即k變成fo他們給出下列一組密碼:etwcvcjwejncjw

2

wcabqcv,把它翻譯出來就是一句很好的臨別贈言。目前就請你把它翻譯出來，并簡樸地

寫出翻譯過程。

12、（本題滿分15分）

假如有理數(shù)m可以表達(dá)成2x2-6xy+5y2（其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m

為“世博數(shù)”。

（1）個(gè)“世博數(shù)”a、b之積也是“世博數(shù)”嗎？為何？

⑵證明：兩個(gè)“世博數(shù)”a、b(b*O)之商也是“世博數(shù)”。

13、(本題滿分15分)

如圖，在四邊形ABCD中，已知△ABC、ABCD、△ACD的面積之比是3:1:4,點(diǎn)E

在邊AD±,CE交BD于G,設(shè)—=±_=k。

GDEA

⑴求功k2+20的值；

BH

⑵若點(diǎn)H分線段BE成——=2的兩段，且AH2+BH2+DH2=p2,試用含p時(shí)代數(shù)

HE

式表達(dá)△ABD三邊長的平方和。

A

BG

D

C

14、（本題滿分16分）

觀測下列各個(gè)等式:12=1,12+22=5/2+22+32=14,12+22+32+42=30,.............

⑴你能從中推導(dǎo)出計(jì)算12+22+32+42+…+n2的公式嗎？請寫出你的推導(dǎo)過程；

⑵請你用⑴中推導(dǎo)出的公式來處理下列問題：

已知：如圖,拋物線y=-X2+2x+3與x、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B,將線段OA

n等分，分點(diǎn)從左到右依次為A、A、A、A、A、A.........A,分別過這n-1個(gè)點(diǎn)

123456n-1

作x軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)B、B、B、B、B、B.........B,設(shè)AOBA、

123456n-11

△ABA、△ABA.△ABA,…、ZkABA的面積依次為

112223334n_1n_1

S、S、S、S、???、so

1234n

①當(dāng)n=2010時(shí)，求S+S+S+S+S++S時(shí)值；

’123452010

②試探究:當(dāng)n取到無窮無盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為何?

15、（本題滿分16分）

有如圖所示的五種塑