2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編二：函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ填空題

專(zhuān)題02函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I(填空題)

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：已知奇偶性求參數(shù)

1.(2023?甲卷)若/(x)=(x-l)2+ox+sin(x+9為偶函數(shù)，則〃=.

【答案】2.

【解析】根據(jù)題意，設(shè)/(x)=(x-l)2+ox+sin(x+])=x,-2x+or+1+cosx,

若/(x)為偶函數(shù)，則/(-x)=X2+2.r-ax+1+cosx=x2-2x+ax+\+cosx=f{x),

變形可得(a-2)x=0在R上恒成立，必有a=2.

故答案為：2.

2.(2023?甲卷)若y=(x-l)2+ax+sin(x+g為偶函數(shù),則a=.

【答案】2.

【解析】根據(jù)題意，TSLf(x)=(x-1)2+ax+sin(x+^)=x2-2x+ax+\+cosx,

其定義域?yàn)镽，

若/(x)為偶函數(shù)，貝!J/(-x)=x2+2x-ar+l+cosx=x2-2x+ax+\+cosx=f(x),

變形可得(a-2)x=0,必有a=2.

故答案為：2.

3.(2022?乙卷)若/(幻=/〃|"+—!_|+匕是奇函數(shù)，則。=_一!____________.

1-x2

【答案】一!■;/〃2.

2

【解析】/(x)=ln\a+——\+b，

\-x

若a=0,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧x|xwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不具有奇偶性，

二.a00,

由函數(shù)解析式有意義可得，且“+」一力(),

1-X

:.x^\且,

.函數(shù)fM為奇函數(shù)，.?.定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

.\1+-=-1,解得4=」，

a2

f(x)=ln\\+b,定義域?yàn)閧x|x*l且XN-1},

2(1-x)

由/(0)=0得，ln^+h=O,

b=ln2,

故答案為：--；1〃2.

2

4.(2021?新高考I)已知函數(shù)/(幻二/32一2一工)是偶函數(shù)，則”.

【答案】L

【解析】函數(shù)fa)=d(〃?2x-2-*)是偶函數(shù),

y=d為/?上的奇函數(shù)，

故y=o2-2"也為R上的奇函數(shù)，

所以yL=o=a-2°-2°=a-1=0,

所以a=1.

法二：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=Vm,2、—2一、)是偶函數(shù)，

所以/(—x)=/(x)，

即-x3(a-2T-2,)=x\a?2、—2一、)，

X

即尤35.2-2-x)+/(。.2-x-2、)=0,

即(a—l)(2'+2T)d=0,

所以a=1.

故答案為：1.

a2x-\x<0

5.(2022?上海)若函數(shù)/(冗)=卜+。x>0,為奇函數(shù)，求參數(shù)。的值為.

0x=0

【答案】1.

a2x-\x<0

【解析】,函數(shù)/(%)=<x+a%>0,為奇函數(shù)，,

0x=0

/(-1)=_/(1),.?.一/一1=-3+]),即〃(。_1)=(),求得々=0或a=l.

-l,x<0

當(dāng)a=0口寸，f(x)=-0,x=0,不是奇函數(shù)，故awO；

x,x>0

x-l,x<0

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=-O,JC=0,是奇函數(shù)，故滿(mǎn)足條件，

x+l,x>0

綜上，<7=1>

故答案為：1.

知識(shí)點(diǎn)2：分段函數(shù)問(wèn)題

6.(2023?天津)若函數(shù)/(x)=or2-2x-|Y-辦+1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為.

【答案】(-00,0)U(0,1)U(1,+oo).

【解析】①當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=-2x-|x2+l|=-2x-x2-1,不滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)方程x2-改+1=0滿(mǎn)足4*0且4,,0時(shí)，

有/-4,,0即aw[-2,0)5。，2],

此時(shí)，/(x)=(?-l)x2+(a-2)%-l

，當(dāng)。=1時(shí)，不滿(mǎn)足，

當(dāng)awl時(shí)，△=(4—2)2+4(。-1)=">0,滿(mǎn)足；

③4>0時(shí)，ae(-<?,-2)<J(2，+oo),

記j?-ar+1的兩根為m,n,不妨設(shè)"?<",

則f(x)=-lU-l](x+l),xe(^?,/n]|J|/?,+oo)

[[(a4-l)x-l](x-l),xG(/??,n)

當(dāng)a>2時(shí)，x}=—^—f占二-1且工￡(-00,/w]lJ[n,+oo),

a-\

但此時(shí)d-町+1=("；；<0,舍去石,

吃=----,%=1，且X￡(W,〃)，

。+1

但此時(shí)X3一書(shū)+1=j+j>0,舍去X3,

故僅有1與-1兩個(gè)解，

于是，aw(^o,0)kJ(0,1)LJ(1,+8).

故答案為：(-00,0)U(0,1)U(1,+8).

7.(2023?上海)已知函數(shù)/。)=2-"+1,且g(x)=(呼2(x+D，：°,則方程g(x)=2的解

[f(-x),x<0

為.

【解析】當(dāng)x.O時(shí)，g(x)=2olog2(x+l)=2,解得x=3；

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=/(-x)=2*+l=2,解得x=0(舍)；

所以g(x)=2的解為：x=3.

故答案為：x=3.

8.(2022?天津)設(shè)awR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記/(x)=〃?j〃{|x|-2,x2-ax+?>a-5}.若/(x)

至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】［10,+00).

【解析】設(shè)g(x)=d-ax+3a-5,h(x)=\x\-2,由|x|-2=0可得x=12.

要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，

則△=/一4(3。-5)..0,

解得4,2或a.10.

①當(dāng)a=2時(shí)，g(x)=x2-2x+l,作出函數(shù)g(x)、//(x)的圖象如圖所示：

此時(shí)函數(shù)/(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為芭、<x2),

要使得函數(shù)fM至少有3個(gè)零點(diǎn)，則々,，-2,

所以，2，解得4G0；

g(-2)=5。-1..0

③當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=d-10x+25,作出函數(shù)g(x)、%(x)的圖象如圖所示:

由圖可知，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,滿(mǎn)足題意；

④當(dāng)。>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(X)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為了3、毛(工3<4)，

要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則虧.2,

￡>2

可得2，解得。>4,此時(shí)a>10.

g⑵="-1..0

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是口0,+00).

故答案為：［10,+00).

—x~+2,x,,1,

則/嗎)=

9.(2022?浙江)已知函數(shù)/(x)=<1,,

X4---1,X>1,

X

【答案】—53+6

28

r2+2,工,1

【解析】函數(shù)/(x)=,

x+——\,x>1244

x

177437

.'./(/(-))=/(-)=-+——1=—;

244728

作出函數(shù)/(X)的圖象如圖:

由圖可知，若當(dāng)彳￡[4,b]時(shí)，啜汽x)3,貝|萬(wàn)一4的最大值是2+G-(-l)=3+g.

故答案為：—;3+6.

28

10.(2021?浙江)已知?！瓿?，函數(shù)/(x)=|廠—4，'>2,若八/("))=3,則。=.

|X—31+〃,X,、2?

【答案】2.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=1-4，X>2,

[|%-3]+出工,2

所以/i(卡)=(廂2-4=2,

則/(/(廂)=/(2)=|2-3|+。=3,解得“=2.

故答案為：2.

11.(2022?北京)設(shè)函數(shù)”x)=[e：、產(chǎn)"’若f(x)存在最小值，則。的一個(gè)取值

[(x-2)9x..a-

為.

【答案】0,1.

【解析】當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)f(x)圖像如圖所示，不滿(mǎn)足題意，

當(dāng)a=O時(shí)，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，滿(mǎn)足題意;

當(dāng)0<a<2時(shí)，函數(shù)f(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿(mǎn)足-/+1..0,解得:

0<a,,1；

當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，不滿(mǎn)足題意,

當(dāng)。>2時(shí)，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需(a-2尸,，-^+1,無(wú)

解，故不滿(mǎn)足題意；

綜上所述：a的取值范圍是［0,1］,

故答案為：0,1.

12.(2023?上海)已知函數(shù)〃x)=H：0'c，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?

［2,x>0

【答案】［1,+00).

【解析】當(dāng)原0時(shí)，f(x)=1,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=2A>l,

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,+oo).

故答案為：［1,+00).

知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)的定義域、值域、最值問(wèn)題

13.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(xXd,+log4,則/

【答案】1

【解析】函數(shù)/(x)=4"+logzX,所以/(g)=43+k)g2；=2-l=I

故答案為：1

x+2,x<-a,

14.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=77^7,一。4x4。,，給出下列四

—x>a.

個(gè)結(jié)論：

①73在區(qū)間("1,”)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，/(X)存在最大值；

③設(shè)M(X[J(xj)a<a),?/(x2,/(x2))(x2>a),則|MN|>1；

④設(shè)〈--a)?若IPQI存在最小值，則a的取值范圍是

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【解析】依題意，?>0,

當(dāng)x<-a時(shí)，/(x)=x+2,易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)—aWxVa時(shí)，f(%)=y/a2—x2,易知其圖像是，圓心為(0,0),半徑為。的圓在x軸上方

的圖像(即半圓)；

當(dāng)x>a(1寸，/(同=_石-1,易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；

顯然，當(dāng)xe—,即H一；,yo)時(shí)，在(一河上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，/(x)=x+2<-tz+2<l；

當(dāng)-aVxWa時(shí)，”到=7?=7顯然取得最大值〃；

當(dāng)x>a時(shí)，——\[x—\<-y/ci—1<—2,

綜上：f（x）取得最大值a,故②正確；

對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在％=",X2>a且接近于x=a處,

M（x4a）,N（X2,/（々））（々>。）的距離最小，

當(dāng)玉=。時(shí)，y=/（玉）=0,當(dāng)今>a且接近于x=a處，y2=/（X2）<-A/?-1,

此時(shí)，|腦^>%-%>6+1>1，故③正確；

因?yàn)椤竌，ra））a<-o）,G（X4,/（A：4））（X4>-<?）,

結(jié)合圖像可知，要使|尸。|取得最小值，貝IJ點(diǎn)尸在“x）=x+2（x<-g）上，點(diǎn)。在

同時(shí)IPQI的最小值為點(diǎn)。到/（力=》+2卜<q）的距離減去半圓的半徑

此時(shí)，因?yàn)椤皒）=y=x+2，<q）的斜率為1,則%,=-1,故直線OP的方程為'=一%,

[y=-x[x=-l/、

聯(lián)立c，解得｛,，貝"T,l,

[y=x+2[y=l/

顯然戶(hù)(Tl)在〃x)=x+2卜<一《)上，滿(mǎn)足|PQ|取得最小值，

即也滿(mǎn)足歸。|存在最小值，故°的取值范圍不僅僅是(。1,故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

15.(2022?上海)設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足/*)=/(—^)對(duì)任意xe[O,+8)都成立，其值域是A,,

14-X

已知對(duì)任何滿(mǎn)足上述條件的/(X)都有｛y|y=/(x),Oa]=Af,則〃的取值范圍為.

【答案】[叵[，+oo).

2

【解析】法一：令》=—,解得》=避二1(負(fù)值舍去)，

x+12

1

當(dāng)％E[0,—--]時(shí)，X]

玉+1

且當(dāng)L+OO)時(shí),總存在*2=」^je(0,3」)，使得/(X1)=/(X2),

故<yIy=/(x),o融

若a<*1，易得/(當(dāng)」)任｛y|y=/(x),0Ma｝,

所以a…正匚，

2

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[且二L+00);

2

法二：原命題等價(jià)于任意a>0J(x+a)=/(—?—),

1+X+。

所以一｝—京出nx工一(1+a)恒成立，

\+x+aa

即4-(l+a),,0恒成立，又a>0,

a

所以a…且二L

2

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[4L+00).

故答案為：[號(hào)」,+oo).

16.(2022?北京)函數(shù)的定義域是.

X

【答案】(-00,0)50，1].

【解析】要使函數(shù)/(x)=1+J匚不有意義，

X

則解得%,1且xwO,

[1-X..0

所以函數(shù)的定義域?yàn)?V,0)U(0,1].

故答案為：(-00,0)U(0,1].

17.(2021?新高考I)函數(shù)/(x)=|2x—l|-2/nx的最小值為.

【答案】1.

【解析】法一、函數(shù)/(x)=|2x-1|-2法的定義域?yàn)?0,+oo).

當(dāng)0<%，」時(shí)，f(x)=|2x-l|-2/nx=-2x+l-