《微積分》各章習(xí)題及詳細(xì)答案

第一章函數(shù)極限與連續(xù)

一、填空題

1、已知/(sin—)=1+cosx,貝I/(cosx)=

1s

2、1m

Xf8X(l-X)

3、x-0時(shí)，tanx-sinx是x的階無(wú)窮小。

limfsinL=O成立的左為_(kāi)__

4、

x-0%

5、limexarctanx=.

x—>-00

pxY>0

6、fM=\'在％=0處連續(xù)，則人=________.

x+Z?,x<0

rta(3x+l)

7、lim--------=_______o

56x

8、設(shè)了(%)的定義域是[0,1],則/(In%)的定義域是

9、函數(shù)y=l+ln(x+2)的反函數(shù)為。

10、設(shè)。是非零常數(shù)，則lim(正g)x=。

%*x-a

11、已知當(dāng)x.0時(shí)，(1+。x2)§一1與cosx-l是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)。=.

3Y

12、函數(shù)/(x)=arcsin----的定義域是。

1+x

13、lim(JX、+2—J/_2)—.

+00

X-4-2/7

14、設(shè)lim(^~^廠=8,則。=o

18x-a

15、lim+J>+l)(J〃+2-Vn)=。

n—>+oo

二、選擇題

1、設(shè)/(x),g(x)是[-/,/]上的偶函數(shù)，/z(x)是[-/,/]上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。

(A)/(x)+g(x);(B)/(%)+h(x);(C)y(x)[g(x)+/z(x)];(D)/(x)g(x)/z(x)□

2、a(x)=4,』(x)=l—我，貝I當(dāng)x-1時(shí)有_______o

1+x

(A)a是比夕高階的無(wú)窮??；(B)a是比夕低階的無(wú)窮??；

(C)a與夕是同階無(wú)窮??；(D)a~/3.

3、函數(shù)/(x)=j$XH°(X2—1)在％=0處連續(xù)，則上=________。

[kx=0

32

(A)(B)(C)1;(D)0o

23

4、數(shù)列極限lim〃[In(〃-—.

n-^oo

(A)1;(B)—1;(0oo；(D)不存在但非a)°

X

5、/（%）=<0x=0,則x=。是/（x）的o

xcos-x>0

不

（人）連續(xù)點(diǎn)；（8）可去間斷點(diǎn)；（C）跳躍間斷點(diǎn)；（D）振蕩間斷點(diǎn)。

6、以下各項(xiàng)中/(%)和g(x)相同的是()

(A)/(x)=1gx2,g(%)=21g%;(B)f(x)=x,g(九)=;

(C)/(%)=Vx4-%322

，g(x)=xK/x-1；(D)f(x)=1,g(x)=secx-tanxo

rsinx

7、lim----二()

%一。|x|

(A)1;(B)-1;(C)0：(D)不存在。

i

8、lim(l-x)^()

%-o

(A)1;(B)—1:(C)e;(D)

9、在的某一去心鄰域內(nèi)有界是lim/(x)存在的()

%0

(A)充分必要條件；(B)充分條件；(C)必要條件；(D)既不充分也不必要條件。

10、limx(Vx2+1-x)=()

x—>00

(A)1;(B)2；(C)(D)Oo

2

11、設(shè){4},{〃},{q}均為非負(fù)數(shù)列,則必有()

且liman=0,limbn=1,limcn=8,

>00n—>00n-yx>

(A)Q〃<么對(duì)任意"成立;⑻bn<cn對(duì)任意〃成立；

(C)極限lim不存在；(D)極限不存在。

n—>oon—>oo

x2-11

12、當(dāng)無(wú)一>1時(shí)，函數(shù)e*T的極限()

x-1

(A)等于2;(B)等于0;(C)為oo；(D)不存在但不為oo

三、計(jì)算解答

1、計(jì)算下列極限

x/c、cscx-cotx

(1)lim2nsin——-；⑵lim-----------

n—g2x

￡3x

2%+1

(3)limx(ex-1);(4)lim

X—>00ool2x-l)

「8cos2x-2cosx-l71+xsinx-Vcosx

(5)hm-----z------------(6)lim

x->—2cosx+cosx-1x->0xtanx

3

/

111lim曳匕口

⑺lim----------1------------F,??H-----------(8)

"f00Jx22x3+

2、

x+l1

3、試確定。，力之值，使lim—QX—b

X—>+oolx+12

7

4、利用極限存在準(zhǔn)則求極限

i+3+…+—

(1)lim23n〃+l

n—>oo1+2+..J

23n

(2)設(shè)%I>Q>0,且="x/n=1,2,…),證明limx〃存在，并求此極限值。

vn—>co

n—n

5、討論函數(shù)/(x)=lim._的連續(xù)性,若有間斷點(diǎn)，指出其類(lèi)型。

xx

n—>oon+n~

6、設(shè)/(X)在［。,加上連續(xù)，且〃</(%)<〃，證明在(〃,6)內(nèi)至少有一點(diǎn)J,使f0=4。

第一單元函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題解答

一、填空題

1>2sin2x/(sin：)=l+(l-2sin2-1^)=2-2sin2-^,

/(x)=2—2//(cosx)=2-2cos2x=2sin2x.

9x2+24x+16

、lim?+3號(hào)==00

20011m3.

00X(1—X2)%―00—X+X

tan%-sin%tanx(l-cosx)

3、高階olim=lim=lim(l-cosx)=0,

x->0x10X10

tanx—sinx是x的鬲階無(wú)窮小。

4、k>0.

??,sin—為有界函數(shù)，所以要使limsin—=0,只要limx*=0,即左>0。

Xx0

xx(一半)

5、0olimearctanx=0(*.*lime=0,arctanxe9°

X—>-00Xf-co

6、b=2olim/(x)=lim(x+Z?)=Z?,???lim/(%)=lim(/+1)=2,

%—0-xf0一Xfo+Xfo+

/(0)=d.-.b=2.

￡ln(3x+1)「3x

7、,/lim------------=lim——=

2%-o6xx->06x2

8、l<x<e根據(jù)題意要求0<ln%<l,所以

yx

9、y=/T—2y=l+ln(x+2),1.(y—1)=ln(x+2),x+2=e~,

/.x=ey~x-2,y=l+ln(%+2)的反函數(shù)為y=ex~l-2.

cx—ax八

Z/7-----------2ac

10、e2a原式二lim(1+)2ax—a_g2a

%—cox-a

i

3

11、a=——由(l+ax2y-l~~ax2(利用教材P58(1+x)a-1ox)與cos%-1—，以及

2

12

—ax,

(l+?x2)3-l

lim=lim----=——a=l,

0cosx-1Xf0123

—X

2

3

可得ci——

2

—

12、由反三角函數(shù)的定義域要求可得

42

11

-1<11

<7解不等式組可得1的定義域?yàn)椤?%V—O

1+Xw0xw—142

13、0lim+2->Jx2-2=lim

x—>4-00X—>4-00

X2+2-(X2-2)

=lim=0o

%->+CO

%2+2+

「.x+2a-3a、工人x-a、,「

14、ln2lim(--------)xx=lim(l+-------),令t=-------,所以x=+a

Asx-a—8x-a3a

的/X+2〃、％I、?！?、〃3a

即：lrim(--------)=lvim[r/(1l+-)]?(1+-)=e=8o

x-at—8tt

3a=In8=>a=—In8=------=In2□

33

15、2lim(VH+J“+l)(J.+2-Vn)=lim(曰++?

一爭(zhēng)”.鈣(VH+2+VH)

二、選擇題

1、選(D)令/(x)=/(x)g(x)〃(x),由/(x),g(x)是[-/,/]上的偶函數(shù)，力⑸是[-/,/]上的奇函

數(shù)，，F(xiàn)(-x)=f(-x)g(-x)h(-x)=-f(x)g(x)h(x)=-F(x).

2、選(C):lim名2=lim------l~X=lim.................—J

3隊(duì)x)-I(1+x)(l-Vx)zi(1+x)[l-Vl-(l-x)]

1—Y3

=lim--------------------=2(利用教材P58(l+x)"—1ax)

f(l+x)T(l-x)2

1

3、選(A)vlimf(x)=lim"=lim-(利用教材P58(l+x)°—1ax)

Xf0八xf011+x_1xf012

JC

3

4、選(B)limn[ln(n-l)-lnn]=lim-ln(l--)-n=-l

n—>oon—>oo

5、選(C)f(0-)=l,"0+)=0,/(0)=0

6、選(C)在(A)中,「/(%)=In%2的定義域?yàn)椋ァ,而g(x)=21nx的定義域?yàn)閤>0,「./(%)wg(x)故

不正確

在(B)???/(%)=X的值域?yàn)?-8,+8),g(x)=J”的值域?yàn)閄>0,故錯(cuò)

在(D)中,一/(%)=1的定義域?yàn)镽,g(%)=sec?%一tan1的定義域?yàn)?/p>

JT

[xER.Xk7T+—},「./(%)Wg(x),故錯(cuò)

「、工/一、「sinx「sinx1「sinx「sinx,

7、選(D),/lim------=lim-------=1,lim-------=-lim-------二-1

x->0+|XI%T?。+X%f。-IXI%f。-X

「sinx,

/.lim------不存在

%一。|x|

--.(-1)

8、選(D)vlim(l-x)x=lim[l+(-x)]-JV=e~x,

%-oX-o

9、選(C)由函數(shù)極限的局部有界性定理知，limf(x)存在，則必有x0的某一去心鄰域使/(%)有界，而/(%)

在與的某一去心鄰域有界不一定有l(wèi)im/(x)存在，例如limsin』，函數(shù)-14sin!?1有界，但在x=0點(diǎn)極

xX

限不存在

10、選(C)

(.Iimx(jx2+]_十)=十\十)(，九+l+a=Hmr%-----

Xf8Vx2+1+X^°°A/X2+1+X

「

=lim1——二—1

—812

11、選(D)(A)、(B)顯然不對(duì)，因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列"當(dāng)"充分大時(shí)”的情況，

不可能得出“對(duì)任意〃成立"的性質(zhì)。

(C)也明顯不對(duì)，因?yàn)椤盁o(wú)窮小?無(wú)窮大”是未定型，極限可能存在也可能不存在。

必—一，

12、選(D)lim-------e"i=lim(x+l)e'T=2-0=0

Xfrx-l

X2-1▲

lim-------e*T=lim(x+l)e*T=oo

Xfl+x—1Xfl+

當(dāng)Xfl時(shí)函數(shù)沒(méi)有極限，也不是00。

三、計(jì)算解答

1、計(jì)算下列極限：

XX

(1)解：Iim2〃sin^=lim2〃?±=2%。

一oo2〃T〃-002〃T

1COSXX2

々刀iaescx—cotx1.sin尤sin尤i*1—cos%1.91

(2)解：lim--------------二_sniitjim----------二二-。

%一0xx%一°xsinxx2

-1

x

(3)解：limx(e=-=lo

X—>8XfooX

0-y--I-101x—i■—

(4)解：lim(——)3JC=lim(l+------)3jc=lim[(l+——-)'22]3

182x—lXf002x—l1O

x——

2

1X.L11

=[lim(l+--)2]3-[lim(l+--)2]3=e3

x----x----

22

/l、-「8cos2x-2cosx-l「(2cosx-1)(4cosx+1)

(5)解：lim------------------------=lim----------------------------

%.工2cosx+cosx-1%.三(2cosx-l)(cosx+1)

33

A[4xF1

「4cosx+l?

=lim------------=—-----=2o

rcosx+ii+1

/八々"「Jl+xsinx-Jcoss_1+xsinx-cosx

(6)解：hm-------------------------=hm-----------/.——/

xroxtanxx->°xtanx(Vl+xsinx+Vcosx)

「xsinx+l-cosx「xsinxr1-cosx113

=lim--------------------=lim------——Flim------—=一+—=一.

2x2%-。2x2a。2x2244

lim(Vl+xsinx+Jcosx)=2

x—>0

(7)M：lim[—+^—+???+—1—]

oo1x22x3n(n+1)

則T)+("+…+1

)]

n〃+l

=lim(l-——)=lo

%-gn+1

/、白"ln(l+V2-x)y2-x/1、；—

(8)解：hm-----/=hm/=rhm(------)3=?一.

tarctanV4-x2x^2^4-x2x-^22+xv4

r2+1%?+1—cix^—(a+b)x—b

3、解：*.*lim(---------ax-b)=lim

+OO%+]X—>4-00x+1

Xm(1-a)%?—(a+/?)%+(1-b)1

”x+12

1—6/—0tz—1

-(a+Z?)=—n'b=--

.212

,1111

1H--------------1------------F???H------------1------------------------1

11

4、(1)V1<——-------，"+1<]+------

i+L…+，n+1

2n

A1111

I1H--------------1-----------F???H---------------1-----------------------

而lim----+1=1/.lim——-—-------手』=1。

%—+00"+1”111

1H--------------1-------------F,??H—

23n

(2)先證有界(數(shù)學(xué)歸納法)

"=1時(shí)，x2=.JaXy>4a-a=a

設(shè)〃=左時(shí)，xk>a,則xk+l=yjaxk>=a

數(shù)列｛%｝有下界，

再證｛七｝單調(diào)減，

..?居+1<5即｛為“｝單調(diào)減，：.近11%存在,設(shè)limx〃=A,

M—>oon-^oo

則有A=4aAA=0(舍)或A=a,limxn-a

n—>oo

[1x>0

n2x-]

5、解：先求極限得=——二10x=Q

gn+1

—1x<0

而lim/(x)=1lim/(x)=-l/(0)=0

x-^0+%-0一

/(x)的連續(xù)區(qū)間為(-oo,0)U(0,+oo)

x=0為跳躍間斷點(diǎn).。

6、解:令"％)=/(%)—x,則方(%)在[名句上連續(xù)

而F(d)=f(a)-a>0

F(b)=f(b)-b<0

由零點(diǎn)定理,三1￡(。,力使里0=0

即/c)3=o,亦即/?)=△

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

一、填空題

1、已知/'⑶=2,則lim"3-%)-/⑶=_____________。

…2h

2、/(0)存在，有/(0)=0,貝.

xr

3、y=7i+父+Cretan—,貝]y\x_^~_______?

7i—'

4、/(%)二階可導(dǎo)，y=/(l+sinx),則>'=;yn-。

5、曲線(xiàn)y=e'在點(diǎn)處切線(xiàn)與連接曲線(xiàn)上兩點(diǎn)(0,1),(1,e)的弦平行.

6、y=ln[arctan^-x)],則dy=.

7、y=sin2x4,則包二,—y=。

dx----------dx2--------

8、若/⑺=110*1+1)2比，貝|]/'(。=。

X—>00

9、曲線(xiàn)y=—+1于點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為2O

10、設(shè)y則y"(0)=.

11、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+cos(孫)=0確定，則電=_________

dx

y-cos^dx1

二、單項(xiàng)選擇

1、設(shè)曲線(xiàn)y=工和y='2在它們交點(diǎn)處兩切線(xiàn)的夾角為°,則tan。二()。

x

(A)-1;(B)1;(C)-2;(D)3o

3、函數(shù)/(%)=*小，且/，(：)=￡,貝豚=().

(A)1;(B)-1;(C)(D)2o

2

4、已知/(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且lim/(I+X)—/⑴=—2,則曲線(xiàn)y=/(x)在(—1,2)處切線(xiàn)的方程

32x

是.

(A)y=4x+6;(B)y=-4%-2；(C)y=x+3;(D)y=-x+1.

u”,/、一r匕nlr/2(X+A%)-/2(X)

5、設(shè)/(x)可導(dǎo)，則hm-----J、';o

aAx------

(A)0;(B)2/(%)；(C)2r(x)；(D)□

6、函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù),且f\x)=[/(x)]2,則/""(x)=o

(A)〃"(x)產(chǎn)；(B)〃!"(x)r"；(C)(n+l)[/(x)]n+1；(D)(H+1)![/(X)]2.

7、若/(x)=%2,貝Ilim/(XO+2AX)-/(XO)=()

-f。Ax

(A)2x0；(B)x0;(C)4x0；(D)4%。

8、設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)與處存在￡(x())和力Oo),則￡(%)=力(%)是導(dǎo)數(shù)尸(X。)存在的()

(A)必要非充分條件；(B)充分非必要條件；

(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。

9、設(shè)f(x)=Mx—1)(.—2)…(x—99)貝1|/'(0)=()

(A)99;(B)-99;(099!;(D)-99!o

10、若/(〃)可導(dǎo)，且y=/(—Y),則有dy=()

r22r22

(A)xf(-x)dx;(B)-2xf\-x)dx;(C)2/(-x)Jx;(D)2xf\-x)dxo

11、設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，且/'(0)>0,則存在b>0,使得()

(A)/(%)在(0?)內(nèi)單調(diào)增加；(B)/(%)在(—￡0)內(nèi)單調(diào)減少；

(C)對(duì)任意的％￡(0,b)有/(%)>f(0);(D)對(duì)任意的％￡(-b,0)有/(%)>/(0)。

2?1小

sm

12、設(shè)/(x)=x-*〉U在％=0處可導(dǎo)，則()

ax+bx<0

(A)a=l,b=0;(B)a=0力為任意常數(shù);

(C)a=0,b=0;(C)a=l,b為任意常數(shù).

三、計(jì)算解答

1、計(jì)算下列各題

sin2iX=Inf\

(1)y=e3求dy;(2)_3,求；

(3)無(wú)+arctany=y,；(4)y=sinxcosx,求；

(5)y=求y；

1+x

(6)/(x)=x(x+l)(x+2)???(%+2005),求/(0);

(7)f(x)=(x-a)(p(x),°(x)在x=〃處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求了'(〃)、

(8)設(shè)/(x)在尤=1處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，JL/,(1)=2,求lim旦/(cosH71)。

5dx

2、試確定常數(shù)a力之值，使函數(shù)/(%)=]"(1+3y>+。+2處處可導(dǎo)。

3、證明曲線(xiàn)J-y?=與孫=人(a]為常數(shù))在交點(diǎn)處切線(xiàn)相互垂直。

4、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到500米空中時(shí),

問(wèn)觀察員視角的傾角增加率為多少.

5、若函數(shù)/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)有/(七+々)=/(百)/(%),且/'(0)=1,證明/''(%)=/⑴。

6、求曲線(xiàn)y=三+3x2-5上過(guò)點(diǎn)(-1,-3)處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程。

第二章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題解答

一、填空題

,/(3-/z)-/(3)/(3-/z)-/(3)/1.1,,印1

14、-1rhm---------=lmi-r----------------—)=——f73)=-1

—u2hK-h22

cr，仆于(X)f(x)-/(0)

2、f(0)rhm=hm-/(0)

--------ox—0x-0

3、7i]nx+7iy'=〃*In"+|1=〃lnx+"

4、/'(l+sinx)-cosx,f(l+sin%)-cos2x-f'(l+sinx)-sinx

y'=7"+sinx)■cosx,y"-f"(l+sin%)?cos2x-/f(l+sinx)?sinx

p—1

5、(ln(e-l),e-l)弦的斜率左=----=e-l

------------------1-0

/=(ex)=ex=e-l=>x=ln(e-1),當(dāng)％=ln(e—1)時(shí)，y=e—1。

dx

6、7-

arctan(l-x)?[1+(1-%)]

dy=---------------J[arctan(l-x)]=------------------------------d(l-x)

arctan(l-x)arctan(l-x)1+(1-x)

dx

arctan(l-x)-[1+(1-x)2]

7、4x3sin2x4,2x2sin2x4—=2sinx4-cos%4-4x3=4x3sin2x4

dx

々=±=2/sin2/

dxIxdx

8、e2?+2te*/Q)=lim+-)2tt=te2tf'(t)=e2z+2te2t

--------------------------Xf00%

f

9、(1,2)y=2x9由2/=2=>x0=1,y0=1~+1=2

y=x2+1在點(diǎn)(1,2)處的切線(xiàn)斜率為2

10、2???)/="+%e",y,f=ex+ex+xex

.?.y"(0)=/+/=2

ex+y-ysin(盯)

方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得ex+y(1+sin(xy)(y+xy*)=0

ex+y—%sin(孫)

ex+y-ysin(xy)

解得

ex+y-xsin(xy)

12、由參數(shù)式求導(dǎo)公式得a=支=』

4rdxx/It

再對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得

d2y_d1/cos，-sin/1_sinr-ZcosZ

正一區(qū)(")―x；一_2?2t―4?

選擇題

2

選(D)拼：n交點(diǎn)為(U),%=d)1T=—1,k2(x)'\x=1=2

2X

tan(p=|tanC%-0)1=1}夕1=3

J.I?v?K?

3、選（C）f\x)=e"'*?ktan"1x-sec2x

JT|

由yr(—)=e得e-k-2=ek=—

4、選(A)由hm-----------玄」=hm----------....-―-

2x2x

=lim"Tt)T(T),(_1)=八_1).(_1)=_2n4—1)=4

二.切線(xiàn)方程為：y—2=4(%+l)即y=4x+6

5、選(D)lim廣(x+日)一/,(■="2(X)],=2/(X)./(X)

-Ax

6、選(B)尸(X)={"(X)]2}，=2/(X)"'(X)=2/3(X)

f'\x)=[2/3(x)1=2x3r(x)?八x)=2x3/(x)

設(shè)/⑺(x)="!/e(x),則f(n+1>(x)=(n+1)!fn(x).f\x)=(n+1)!fn+2(x)

f(n\x)^n\fn+\x)

7、選(C)ijm/(x°+2>x)-/(/)=礴2./(々+2蝠-/(血)=2r(%)

Ax故―。2Ax

2

又???r(x)=(x)'=2x,2八%)=4x0

8、選(C)???/(x)在％處可導(dǎo)的充分必要條件是/CO在/點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)￡(%)和右導(dǎo)數(shù)f(Xo)都存在且

相等.

9、選(D)

,/f\x)=(x-1)(%_2)…(九一99)+x(x—2)…(％—99)+x(x—1)(1—3)???(1-99)

H----Fx(x-l)(x-2)???(%-98)

/.f(Q)=(0-1)(0-2)…(0-99)=(-1)"-99!=-99!

另解：由定義，==lim(x—l)(x—2)…(x—99)

x-^01—Qx—>0

=(—1)9九99!=—99!

10、選(B)；"(——)]'=/X-x2)-(-x2y=-2fX-x2)

dy=-2xf'(-x2)dx

11、由導(dǎo)數(shù)定義知

,(0)=lim/(X)-,(0)>0,

2°X

再由極限的保號(hào)性知ms>0,當(dāng)xe(―①5)時(shí)/⑴—/⑼>0,

X

從而當(dāng)無(wú)￡(—￡0)(元￡(0,3))時(shí),/(x)-/(0)<0(>0),因此C成立,應(yīng)選C。

12、由函數(shù)/(%)在％=0處可導(dǎo)，知函數(shù)在％=0處連續(xù)

lim/(x)=limx2sin—=0,lim/(x)=lim(6zx+Z?)-b,所以b二。。

0+x-?0+x(Tx^O-

2.1

又九=-=0,八0"山上幽=竺一

Xf0+X-00+XXfx-0X

所以〃=0。應(yīng)選C。

三、計(jì)算解答

1、計(jì)算下列各題

sin2—,1sin2—\]112sin2—

(1)dy=cxd(sin―)=ex-2sin—cos—?(——^)dx=——7-sin—eXdx

XXXXXX

L=9

(3)兩邊對(duì)x求導(dǎo)：1H----二?y'=y'=>y'=+1

1+J,,

7i

/=_2尸.y=-2y-3.(尸+1)=-—(—+1)

yy

(4),/y=sinxcosx=—sin2x

2

JIJI

yf=cos2x=sin(2x+—)yn=2cos(2%+—)=2sin(2x+2?

設(shè),(〃)=2〃一%后(2%+〃?

貝Uy1)=2"cos(2x+Y)=2"sin(2x+(n+嗚)

產(chǎn))=249sin(2x+50-)=-249sin2x

(5)兩邊取對(duì)數(shù)：Iny=x[lnx-ln(l+x)]

1x

兩邊求導(dǎo)：一?yr=Inx-ln(l+x)+1--------

y1+x

y=(丁J)Tlnx-ln(l+x)+l-[匚]

1+x1+x

(6)利用定義:

/'(0)=lim"x)-/(O)=11m(%+1)。+2)。+3)...(x+2005)=2005!

x—>0JQx—>0

(7),?"'(%)=0(x)+(%-d)cp\x)ff(d)=(p(a)

又f\d)=lim/'(—一/'(")=lim-■+(x—a)9'(x)一°(a)

%-x-a%-Qx-a

=―(P^)_+"(%)]=(p\a)+(pr(a)=2(pr(a)

1x-a

[注：因°(X)在X=Q處是否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求.]

(8)lim-/(cosVx-1)=lim[/"(cosVx-1)?(-sin7x-l)——J]

xHdx2vx—1

=lim:'(cosjn-l)-lim-]=ff(l)?(--)=-1

X-1+%fl+2Vx-l2

2、易知當(dāng)xwo時(shí)，y(x)均可導(dǎo)，要使y(x)在％=o處可導(dǎo)

貝‘If+(0)=f!(0),且/'(x)在尤=0處連續(xù)。即lim/(尤)=lim，(x)=/(0)

%—0-xf。+

limf(x)=b+a+2

而f「/./、八/na+/?+2=0

limf(x)=0

x->0+,

又力(。)=癌.一〃°)=11m(l+sinx)+"+2-2=b

%-0+X—0Xf0+X

，，仆re^-x-b-a-leax-lax

j_(0)=lim--------------------=lrim---------lirm——二a

x。一X%一。一X

a=ba=-l

由《

a+b+2=Qb=—l

3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(毛,先)，則君一y；=axoyo=b

對(duì)d一產(chǎn)=〃兩邊求導(dǎo)：2x-2y-y=y=—

y

曲線(xiàn)f一=Q在（％,%）處切線(xiàn)斜率%=y'|v=x（）=血

又由xy=b=>y=-=>y'=——-

XX

b

二.曲線(xiàn)孫=b在（％,%）處切線(xiàn)斜率k,=y'Im。=--Q

xo

又.：k島=&-（-4）=---=-1

y0蒼xoyo

：.兩切線(xiàn)相互垂直Q

x

設(shè)彳分鐘后氣球上升了X米，則tancr=----

500

兩邊對(duì)f求導(dǎo)：sec2?-—=-^-dx_140_7

dt500dt50025

da72

/.——=----cosa

dt25

,?,當(dāng)x=500m時(shí)，a=—

4

7

-（弧度/分）

5、證明：y\x）=lim~~~~—lim~~~~~~

h—>oh/z—>0h

二，?。?⑻-?。?（。）=，/（x）/W-/（o）

-0hgoh

=/（x）-r（o）=/（x）

6、解：由于y=3/+6x,于是所求切線(xiàn)斜率為

2

k[=3x+6x|%=T=—3,

從而所求切線(xiàn)方程為y+3=—3（x+l）,即3x+y+6=0

又法線(xiàn)斜率為k-=—

2k、3

所以所求法線(xiàn)方程為y+3=；（x+l）,即3y-x+8=0

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

一、填空題

1>limxln%=.

x—>0

2、函數(shù)元)=2九一cos尤在區(qū)間單調(diào)增.

3、函數(shù)/(%)=4+8犬3-3一的極大值是。

4、曲