2024屆廣東省新高考高三數(shù)學(xué)一模練習(xí)卷及答案

2024新高考數(shù)學(xué)一模練習(xí)卷(一)

數(shù)學(xué)試卷

本卷共6頁，滿分150分，完成時(shí)間120分鐘.

考生注意事項(xiàng)：

1.答卷開始前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)正確填涂于答題卡的指定區(qū)域；并檢查試卷與答

題卡的張數(shù)與印刷情況.

2.在回答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆在答題卡對(duì)應(yīng)標(biāo)號(hào)上將選項(xiàng)涂黑；若需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再將改動(dòng)后的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑.

3.在回答非選擇題時(shí)，用黑色字跡的簽字筆或鋼筆在答題卡的指定區(qū)域上填寫答案；若需改動(dòng)，將

原答案劃掉，再填上改動(dòng)后的答案，改動(dòng)后的答案也不得超出指定的答題區(qū)域.

4.答卷結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.集合4={%憂2—4%+3V0},B={x\y=ln(x—1)},則CB』=(*).

(A){x\x>1](B){x\x>3)

(C){x|l<x<3}(D){x\x<3}

2.在復(fù)平面中，點(diǎn)Zi對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,點(diǎn)Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為之，若|Z1|=|ZiZ2l=2,則

西?西=(*).

(A)-5(B)-4

(C)4(D)5

3.已知事件B,C相互獨(dú)立，且PQ4),P(B),P(C)€(0,1),則在以下說法中，錯(cuò)誤的

是(*).

(A)事件B,C均為隨機(jī)事件

(B)事件B,C均與必然事件M相互獨(dú)立

(C)事件A,B,C均與不可能事件N不互斥

(D)事件B,C均與事件/nBnc對(duì)立

數(shù)學(xué)試卷第1頁(共6頁)

4.記Sn為數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和,若cii=1,S"=2an+an+1,則在&?。2()24中，整數(shù)的

個(gè)數(shù)是(*).

(A)1012(B)1011

(C)2024(D)2023

5.中國是瓷器的故鄉(xiāng).“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中.某瓷器如圖1所

示，該瓶器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個(gè)等高（高為6cm）的圓臺(tái)組合

面成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為20cm,底面直徑48=10cm,底面直徑

CD=20cm,EF=16cm,若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的容積為（*）.

(A)669TTcm3(B)1338TTcm3

(C)6507rcm3(D)1300TTcm3

6.已知橢圓噂+、=l(a>b>0)過點(diǎn)(|魚,魚)，則下列直線方程不與「相切的是

(*).

(A)3V3x+4y-16=0(B)3x+4y+12=0

(C)4%4-6y-17=0(D)x-4y-10=0

7.已知函數(shù)f（%）=2sin（cox+§在區(qū)間（0,兀）上有3個(gè)極值點(diǎn)（eo€N*）,則3的最小

值是（*）.

（A）1（B）2

（C）3（D）4

已知1c=1.011。，d=匕則(*).

8.a=1+sin—,b=y/e,16

(A)b>a>d>c(B)b>c>a>d

(C)b>a>c>d(D)b>c>d>a

數(shù)學(xué)試卷第2頁（共6頁）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.2023年我國的生育率僅為每千人6.2人，再創(chuàng)新低，引發(fā)了社會(huì)廣泛的關(guān)注和討論.某

課外小組就“您是否愿意生育孩子？”為問題對(duì)某某高校同學(xué)隨機(jī)進(jìn)行了采訪，以下為

其采訪記錄表：

您是否愿意生育孩子

愿意(X=1)不愿意(X=0)

男同學(xué)4060

女同學(xué)6040

考慮到由于大學(xué)生的心智發(fā)展不成熟，不能完全代表當(dāng)代年輕人，于是其又對(duì)年齡為25

至30周歲的市民進(jìn)行了采訪調(diào)查，以下為其采訪記錄表：

您是否愿意生育孩子

愿意(X=1)不愿意(X=0)

男士6040

女士7030

則(*).

(A)該兩次的調(diào)查結(jié)果均服從兩點(diǎn)分布，屬于200重伯努利試驗(yàn)

(B)高校大學(xué)生愿意生育孩子的期望為0.5,25至30周歲的為0.65

(C)通過下表的小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否愿意生育孩子與年齡有關(guān)

(D)通過下表的小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否愿意生育孩子與性別有關(guān)

注：

n(ad—be)2

/=-------------------------，

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.89710.828

Xa

10.由兩個(gè)全等的正四棱臺(tái)組合而得到的幾何體1如圖3,沿著BBi和DD］分別作上底面的

垂面，垂面經(jīng)過棱EP,PH,HQ,QE的中點(diǎn)F,G,M,N,則兩個(gè)垂面之間的幾何

體2如圖4所示，若EN=AB=E4=2,則(*).

(A)BBr=2V2(B)FG//AC

(C)BD1平面BFBjG(D)幾何體2的表面積為16V3+8

數(shù)學(xué)試卷第3頁(共6頁)

*

圖3圖4

22

11.已知橢圓E:9+彳=1,過橢圓E的左焦點(diǎn)Fi的直線匕交橢圓E于/、B兩點(diǎn)，過橢

圓E的左焦點(diǎn)尸2的直線％交橢圓E于C、。兩點(diǎn)，則(*)

(A)若麗=20，則。的斜率k=手

(B)|明|+4IBFJ的最小值為區(qū)

(C)以AFi為直徑的圓與圓X2+y2=4相切

(D)若/]_L/2，則四邊形/BCD面積的取值范圍為[翼,6]

圖5

12.已知正實(shí)數(shù)TH,n,q滿足：[2Z+on=ca^則(*)?

lZ?3=5"

(A)ln2<q<l(B)0<mn<-

r2

(C)A/2<叫？<V6(D)等<m2+n2<In5+In6

qIn6

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在(正+y的展開式中，々的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

14.函數(shù)/(%)=sin\x\+|cosx|,xe(0,2兀)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

15.已知函數(shù)/"(%)={(；：：)；,3。，若方程/'(%)=加有三個(gè)不同的實(shí)根a,b,c,則

S=\af(_a)+bf(b)+c/(c)|的取值范圍是.

16.若實(shí)數(shù)a,b滿足a?+序W6a,則(2a+b)(2b-a4-3)<0的概率為.

數(shù)學(xué)試卷第4頁(共6頁)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知在△ABC中，角/、8、C所對(duì)的邊分別為a,b,c.且有tan/+tanB—

V3tanAtanB=—V3.

（1）求sinC；

（2）若c=2,記AB的中點(diǎn)為M,求CM的取值范圍.

18.（12分）在閱讀完（選擇性必修第三冊(cè)）課本第53頁《貝葉斯公式與人工智能》后,

小李同學(xué)決定做一個(gè)相關(guān)的概率試驗(yàn)，試驗(yàn)過程如下：

小李同學(xué)找來了小王同學(xué)；

小李同學(xué)制作了三張標(biāo)號(hào)，分別為1，2,3的相同規(guī)格紙片；

每輪開始前，小李同學(xué)心里默想1,2,3中的一個(gè)隨機(jī)數(shù)字；

小王同學(xué)先選定一張紙片，小李同學(xué)將剩余2張紙片中挑走1張不與自己默想數(shù)字相同

標(biāo)號(hào)的紙片；

小王同學(xué)再進(jìn)行一次選擇；

小王同學(xué)選定最終結(jié)果后，若其選擇的紙片標(biāo)號(hào)與小李默想的一致，就記錄一次1分,

否則記錄一次0分；

重復(fù)進(jìn)行多輪試驗(yàn).

（1）為了盡可能多計(jì)分，如果你是小王同學(xué)，第二輪選擇時(shí)你會(huì)怎樣選？說明理由；

（2）在（1）的情境下，求進(jìn)行2輪試驗(yàn)總計(jì)分的數(shù)學(xué)期望E（X2）；

19.（12分）記數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為Sn,已知Sn=ncin+i-/一71.

（1）證明：是等差數(shù)列；

（2）若為=\證明：=+=+=+…+=

3bi52033nNU

數(shù)學(xué)試卷第5頁（共6頁）

20.（12分）如圖6,在四棱柱A8C0中，底面/BCO和側(cè)面BB'C'C均為正方

形，AB=2.連接B'D,點(diǎn)E、尸分別為B'D、C'D，的中點(diǎn).

（1）求4F和C'E夾角的正弦值；

（2）求平面4B尸和平面CC'E的夾角.

21.（12分）如圖7,已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為/=2py（p>0）,F是拋物線的

22

焦點(diǎn)，橢圓的方程為今+￡=（）過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，

a2b2la>b>0,F1M,N

反向延長。M,ON分別與橢圓交于P,Q兩點(diǎn).

（1）求kOM、%的值；

（2）若|OP『+|0Q|2=5恒成立，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，若冷的最小值為1,求拋物線的方程.（其中S^OMN，SAOPQ

分別是aOMN和△OPQ的面積）\v't/

22.(12分)已知函數(shù)/(%)=alnx-x+Ina-1,g(x)=-1.(其中a>0)

2

(1)若3x0>0,f(%o)>e+1,求a的取值范圍；

(2)若y=f(%)與y=g(x)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

數(shù)學(xué)試卷第6頁（共6頁）

2024年廣東省新高考數(shù)學(xué)一模練習(xí)卷（一）

數(shù)學(xué)參考答案

、選擇題

題號(hào)12345678

答案BDDABCAB

二、選擇題

題號(hào)9101112

答案BCDABCBCDABC

三、填空題

題號(hào)13141516

1

答案44[0,e-2]

2

四、解答題

17.（1）

由題tan4+tan5—V3tanAtanB=-V3=tanZ+tan5=—V3(l-tan4tan3)

tanA+tanB

=-V3=>tan(i4+B)=-V3=tanC=-tanQ4+B)=V3=C=§

1—tanAtanB

所以sinC=y.

(2)

如圖所示，構(gòu)造△ABC的外心N,連接AN,BN,CN,MN

由題得4M=BM=1,AN=CN=BN=R=^=等,MN=^AN”

由三角形三邊關(guān)系得CN-MN<CM<CN+MN,

即4WCMW百，故CM6[y,V3].

數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共5頁）

18.(1)記事件必為“第二次選擇時(shí)不換紙片”，&為“第二次選擇時(shí)換紙片”，Bi為“記

1分”，B2為“記0分”，由貝葉斯公式得：

P(B])PQ4i|Bi)P(Bi)PG4/Bi)1

111

-一時(shí)——P(，-I)+P(B2)P(&|B2)3

2

P(B/&)=1-P(BilAi)=->P(Bi]4)

所以如果我是小王同學(xué)，我會(huì)選擇換紙片

(2)記2輪的總得分為X,結(jié)合(1)得X的分布列為

P(X=O)=g,P(X=l)=g,P(X=2)=g

用表格表示X的分布列，如下表所示：

X012

144

P

999

1444

E(X?)=0x-+lx-+2x-=-

故進(jìn)行2輪試驗(yàn)總計(jì)分的數(shù)學(xué)期望F(X2)為[

19.(1)

22

由題意Sn=nan+1-n-n,Sn+an+1=Sn+1=(n+l)an+1-n-n

n2

=(ri+l)(an+i-)=(n+l)an+2-(n4-1)-(n4-1)=(n4-l)(an+2-n-2),

所以與+i-n=冊(cè)+2-九一2,即冊(cè)+2=冊(cè)+i+2,所以｛冊(cè)｝是以2為公差的等差數(shù)列

(2)

由(1)及題意得等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和

n、xi(2+2n\=n/n+1\

5n=2(?i+?n)=2(3)(3)

113

111/111\

—+7—I-???+=3I-----T+o----三+…H----------------T)

SiS2Sn\1X42x7nx(3n+1)/

3339

即證荻彳+方行+…+3.x(3九+1)〈元

易知(3n-l)(3n+2)<3n(3n+1)

nil33

人3n(3n+1)<(3n—l)(3n+2)

3331/33\

--------1----------1--|--------------------<-+---------(?—|---------------------------

3x46x73nx(3n+1)4\5x8(3n-1)x(3n+2)/

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共5頁)

1/111111\119

=—|-I-----1---------F???+---------------I<—F-=—

4\588113n-13n+2/4520

原題得證，證畢

Z

20.(1)B

如圖，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4夕為x軸，4。為y軸，AA為

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系DZ—y―

則4(0,0,2),5(2,0,2),C(2,—2,2),0(0,—2,2),夕(2,0,0),

C，(2,-2,0),。'(0,—2,0),,F(l,-2,0)/

則WF=(1,-2,0),CF=(-1,1,1)，丫

__>__>A7?-C7^-3V15

cos<A'F,C'E>=-=；————==———

\A'F\x\C'E\V155

—?—>I'-2A/5

sin>=Jl-cos2<A'F,C'E>=—

(2)

設(shè)3為平面A'BF和平面CC'E的夾角

由(1)得加=(2,0,2),WF=(l,-2,0),設(shè)平面ABF的法向量近=(/Ji，Zi),則有

曹卷=；，令Q2得空二2,所以蘇=(2，1，-2)；

CC=(0,0,2),OE=(-1,14)，設(shè)平面CCE的法向量山=(x2fy2tz2)，則有

Lx.o,令匕=1得匕］；，所以<=(1,1,0)；

1%2十十Z2—U(Z2—U

A/-----.、濟(jì)?芯3V2

cos0=cos<,n>=—r=rr=-u—k

2同x同3V22

又因?yàn)閑e(0,9,所以6=?，

故平面ABF和平面CC'E的夾角為巴

4

21.(1)

設(shè)直線OM的斜率為左式七＞0),直線ON的斜率為七，由題可知，直線MN的斜率不為

0,設(shè)MQi，y。。(%2,丫2)，

.P

y=%+2,可得％2-2p——p2=0,

(x2=2py

數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共5頁)

易知4>0,由韋達(dá)定理得X1%2=_p2,yiy2=出曹~=?，則卜也=+名=一：

4Pz4%]#24

(2)

設(shè)P（%3，y3），Q（%4,、4），

由題可知，，OM：y~k]X?ION：y=,其中心心=-—

y—k^Xa2^2日工m2_16a2b2脛

聯(lián)立方程江+乃=1=知=詞西'同理"4=淳+16施好，

-a2b2

因?yàn)椋篭0P\2+\0Q\2=蟾+於+/+對(duì)=若+(1-孰2+媛+(1-孰2

=2爐+(14

儂+瓷）

a2-b2a2b216a2b2好

=2b2+b2+a2k1+a

a22+16b2k：

a2—b2,a2b2+(32b4)/c?+16a2b2k^

=2b2+■QN--------------------------------------------------------------

a2a2b2+(a4+16b4)蜉+16a2b2抬

a2b2+(32。4)賬+16Q2匕2媚

222

=2b+(a-ZJ)a2b2+(“4+16匕4)后+16a2b2左;

因?yàn)閨OP『+|OQ|2=5為定值，所以上式與心無關(guān)，

2

所以當(dāng)32b4=Q4+162J4,即。2=4爐時(shí)，此時(shí)+匕2=5,所以Q2=4,b=19

2

所以橢圓的方程為亍+y2=i.

（3）因?yàn)橐柴?|OM||ON|sin/MON_|OM||ON|

S4OPQ^\OP\\OQ\sinNPOQ|OP||OQ|=1鬻，

2_4_16k彳__?2

由（2）可知，當(dāng)a2=4,b2=1時(shí),v2vv

%3-1+4好'％-1+4k2，%62~P

2

SAOMNXl%2P+4隹",

SAOPQ%3%481kliW(高

1+4田

故!=l=p=仿當(dāng)且僅當(dāng)七=±5寸，等號(hào)成立，此時(shí)拋物線方程為/=2&y.

22.(1)

+

/(%)=a\nx-x+\na-1fxER,，(x)=三—1=,令f'(x)=0得x=a

當(dāng)0cx<a時(shí)，f'(x)>0,/(x)T；當(dāng)x>a時(shí)，f'(x)<0,/(%)I.

所以/(%)max=/(a)=aIna—a+Ina—1=(a+1)(Ina—1).

令h(a)=(a+l)(lna