數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)及地位

數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的表達(dá)及地位東莞市東城區(qū)第五小學(xué)于芳摘要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，具有普遍的指導(dǎo)意義。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法主要有：集合、符號(hào)化、函數(shù)、對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合、化歸、幾何變換、無(wú)窮與極限、統(tǒng)計(jì)與概率等。它們?cè)诮滩闹兄饕噪[含的方式呈現(xiàn)，其真正的學(xué)習(xí)要到中學(xué)才展開。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法集合符號(hào)化函數(shù)數(shù)形結(jié)合化歸幾何變換極限概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的最終實(shí)現(xiàn)，是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一。重視數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)是現(xiàn)代社會(huì)對(duì)中小學(xué)教育，對(duì)人才培養(yǎng)的重要要求?！皵?shù)學(xué)思想方法”一詞無(wú)論在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)，還是在其他科學(xué)中，已被廣為使用?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)機(jī)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握根本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！钡牵烤故裁词菙?shù)學(xué)思想方法，目前還沒有一個(gè)明確的定義。許多專家學(xué)者根據(jù)自己的理解，給出了不同的解釋和界定。數(shù)學(xué)思想方法概述錢佩玲對(duì)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法分別進(jìn)行了界定：“所謂數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想。”“數(shù)學(xué)方法是指從數(shù)學(xué)角度提出問題、解決問題的過(guò)程中所采用的各種方式、手段、途徑等，其中包括變換數(shù)學(xué)形式?！卞X佩玲認(rèn)為“數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，一般來(lái)說(shuō)，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法?！编嵷剐胖赋觯皵?shù)學(xué)思想方法乃是指與具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容相別離，并具有更大的普遍意義的思維模式原那么。它與數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法存在著一定的聯(lián)系和區(qū)別，不能簡(jiǎn)單地將數(shù)學(xué)思想方法等同于數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單綜合?！睌?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之間既有緊密的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。首先，它們都與數(shù)學(xué)知識(shí)有密切的聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想的源頭和表達(dá)，又是數(shù)學(xué)方法的根底和載體。其次，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間具有不同的屬性和功能。數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的規(guī)那么和程序，是數(shù)學(xué)思想的具體化反映，數(shù)學(xué)思想那么指出數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的運(yùn)行方向，規(guī)定思維的大致路徑。第三，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間具有相對(duì)性，同一項(xiàng)數(shù)學(xué)成果，當(dāng)我們注重它的操作意義，即用于解決問題時(shí)，可能稱之為數(shù)學(xué)方法；當(dāng)我們注重它在數(shù)學(xué)體系中的地位、價(jià)值或它的內(nèi)涵時(shí)，可能稱之為數(shù)學(xué)思想。綜上所述，從數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)看，區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)思想與方法沒有太大的意義，在沒有必要區(qū)分或不便區(qū)分時(shí)，就將它們統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)思想方法的種類及其表達(dá)由于義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教材將數(shù)學(xué)知識(shí)分為：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率等幾個(gè)板塊呈現(xiàn)，因此本文從以下三個(gè)方面闡述數(shù)學(xué)思想方法在教材中的表達(dá)。數(shù)與代數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法1、集合思想把一類研究對(duì)象作為一個(gè)整體進(jìn)行研究的思想就是集合思想。數(shù)學(xué)中很多東西都可以看成集合或從集合角度來(lái)思考，如方程的所有解構(gòu)成解集。例如人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第26頁(yè)中的第3題，〔如右圖〕表達(dá)的就是集合思想。該冊(cè)教材中的《數(shù)學(xué)廣角》專門介紹了集合圈的表示方法以及運(yùn)用集合圈解決數(shù)學(xué)問題。但是在教材中始終沒有出現(xiàn)“集合”一類的名詞。類似的用集合圈體會(huì)集合思想的教學(xué)內(nèi)容從一年級(jí)到六年級(jí)各冊(cè)教材中都有所表達(dá)。2、符號(hào)化思想所謂符號(hào)化思想就是用一種符號(hào)代替原物，不用原物而用符號(hào)進(jìn)行表示、交流、運(yùn)算等活動(dòng)的思想。數(shù)學(xué)符號(hào)化思想最初表現(xiàn)為用記號(hào)或字母表示數(shù)的思想，后來(lái)慢慢開展為代數(shù)思想。用字母表示公式、列方程解決問題，都是符號(hào)化思想的表達(dá)。3、函數(shù)、對(duì)應(yīng)的思想方法函數(shù)就是指一個(gè)變化過(guò)程中兩個(gè)變量χ，у之間的相依關(guān)系。函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映，函數(shù)思想的本質(zhì)是變量之間的對(duì)應(yīng)。運(yùn)用函數(shù)思想能從運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中尋找聯(lián)系，把握特點(diǎn)與規(guī)律，從而選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。如人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)第14頁(yè)中的第5題〔如右圖〕，讓學(xué)生初步體驗(yàn)到：一個(gè)加數(shù)不變時(shí)，和隨著另一個(gè)加數(shù)的變化而變化是線性函數(shù)у＝a＋x。同樣地，一個(gè)因數(shù)不變，積隨著另一個(gè)因數(shù)的變化而變化，反映的是正比例函數(shù)。此外，各種周長(zhǎng)、面積和體積公式實(shí)質(zhì)上都是用解析式表示的變量之間的函數(shù)關(guān)系式。4、數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形結(jié)合的思想方法的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過(guò)對(duì)圖形處理發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，通過(guò)對(duì)數(shù)與式的轉(zhuǎn)換，使圖形的特征及幾何關(guān)系刻畫得更加精細(xì)和準(zhǔn)確。如人教版六年級(jí)上冊(cè)第10頁(yè)的分?jǐn)?shù)乘法的例題教學(xué)就采用了數(shù)形結(jié)合的方法〔如左圖〕。5、化歸的思想方法化歸就是把未知解法的問題轉(zhuǎn)化為在已有知識(shí)和方法的范圍內(nèi)可以解決的問題的思想方法。它是解決各類數(shù)學(xué)問題的根本思想和途徑，化歸的方向應(yīng)當(dāng)是：由未知到，由難到易，由繁到簡(jiǎn)。也有的書籍把化歸方法稱之為轉(zhuǎn)化的方法。小學(xué)階段數(shù)學(xué)教材中數(shù)與代數(shù)板塊對(duì)化歸思想的表達(dá)很多，例如將兩步應(yīng)用題化歸為一步應(yīng)用題，將小數(shù)乘除法化歸為整數(shù)乘除法等等?？臻g與圖形中的數(shù)學(xué)思想方法幾何變換思想在幾何的解題中，當(dāng)題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時(shí)，我們可以將圖形作一定的變換，這樣將有利于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，抓住問題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，使問題得以突破，找到滿意的解答。幾何變換是一種重要的思想方法，它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立的、離散的問題的思想。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的對(duì)稱圖形、平移、旋轉(zhuǎn)等都屬于幾何變換的范疇。2、無(wú)窮與極限思想無(wú)窮及無(wú)限，談及無(wú)窮，應(yīng)涉及兩個(gè)方面的含義，一個(gè)是往大的方向考慮——無(wú)窮大，一個(gè)是往小的方面考慮——無(wú)窮小。無(wú)窮大或無(wú)窮小是一個(gè)概念，而不是一個(gè)數(shù)。極限思想是在無(wú)窮思想也就是在對(duì)無(wú)限的認(rèn)識(shí)的根底上產(chǎn)生的?！爱?dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列無(wú)限接近于零。”這就是極限的概念。極限的思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“直線”時(shí)，就對(duì)無(wú)限有了一定的認(rèn)識(shí)。而六年級(jí)上冊(cè)《圓的面積》的學(xué)習(xí)中，求單位圓的面積使用不斷增加分割塊數(shù)拼成長(zhǎng)方形的方法正是在展示極限過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，拼得的圖形不斷變化，并且越來(lái)越接近變長(zhǎng)為2r和r的長(zhǎng)方形。這個(gè)長(zhǎng)方形正是這一無(wú)限的圖形序列的終極狀態(tài)，即這一無(wú)限序列的極限。3、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想方法采用了代數(shù)方法和幾何方法中最好的方面：幾何方法的形象直觀與代數(shù)方法的一般性、可操作性。例如人教版六年級(jí)上冊(cè)第一單元《位置》的學(xué)習(xí)中，通過(guò)數(shù)對(duì)確定平面直角坐標(biāo)系上的位置，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。另外六年級(jí)下冊(cè)《負(fù)數(shù)》單元的學(xué)習(xí)中，引入了數(shù)軸概念，這也是數(shù)形結(jié)合思想的表達(dá)。4、化歸的思想方法小學(xué)的空間與圖形從研究簡(jiǎn)單的平面圖形的性質(zhì)開始，復(fù)雜圖形的問題都是通過(guò)化歸為簡(jiǎn)單圖形來(lái)解決。例如三角形的面積計(jì)算是化歸為長(zhǎng)方形面積來(lái)研究，平行四邊形的面積計(jì)算以及多邊形的面積計(jì)算又是化歸為三角形面積來(lái)研究。統(tǒng)計(jì)與概率中的數(shù)學(xué)思想方法1、概率思想概率也叫幾率或時(shí)機(jī)，是一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量，一個(gè)不可能事件的概率是0，而一個(gè)必然事件的概率是1，而在其他情形概率是介于0與1之間的某個(gè)數(shù)。從概率的定義可以看出，隨機(jī)事件就是發(fā)生與否不可預(yù)測(cè)的事件，隨機(jī)事件的發(fā)生與否是有規(guī)律可循的，但反過(guò)來(lái)，即使我們知道某事件發(fā)生的概率，但仍不能肯定該事件在下一次試驗(yàn)中會(huì)不會(huì)發(fā)生，即又在規(guī)律中蘊(yùn)含意外。這就是概率思想。它讓我們?cè)诳紤]問題時(shí)從概率的角度分析、理解、斷言、處理，建立“事物沒有絕對(duì)”的世界觀。人教版教材對(duì)概率思想的滲透最初是在二年級(jí)下冊(cè)《統(tǒng)計(jì)》單元第110頁(yè)中，在對(duì)來(lái)往車輛進(jìn)行統(tǒng)計(jì)之后，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，預(yù)測(cè)接下來(lái)最有可能出現(xiàn)的應(yīng)當(dāng)是什么種類的車。之后在三年級(jí)上冊(cè)通過(guò)《可能性》的教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)隨機(jī)事件概率大小的判斷；最后是在五年級(jí)上冊(cè)《統(tǒng)計(jì)與可能性》單元中，學(xué)會(huì)用古典概率計(jì)算隨機(jī)事件的概率。2、統(tǒng)計(jì)思想日常生活中的統(tǒng)計(jì)一詞多指匯總和計(jì)數(shù)，這種統(tǒng)計(jì)的特征是分類匯總、整理，從中看出分散數(shù)據(jù)不容易看出的數(shù)據(jù)特征。這類統(tǒng)計(jì)通常稱為初等統(tǒng)計(jì)，也就是一般統(tǒng)計(jì)學(xué)。數(shù)學(xué)科學(xué)研究中的統(tǒng)計(jì)是指數(shù)理統(tǒng)計(jì)，需要使用復(fù)雜的工具對(duì)數(shù)據(jù)作深刻分析。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本特征之一是通過(guò)局部的數(shù)據(jù)來(lái)推測(cè)全體數(shù)據(jù)的性質(zhì)。統(tǒng)計(jì)的根本思想包括：抽樣、統(tǒng)計(jì)推斷等。我們需要了解的對(duì)象往往是無(wú)窮無(wú)盡的，而我們所能觀察的群體總是有限的，因此在統(tǒng)計(jì)中就必須運(yùn)用抽樣思想來(lái)選擇觀察群體；而選擇這樣的群體所總結(jié)出來(lái)的規(guī)律，對(duì)整表達(dá)象的判斷就要基于推斷。推斷思想是一種利用現(xiàn)有信息進(jìn)行的概率推理，抽樣推斷是統(tǒng)計(jì)推斷思想的集中表達(dá)。統(tǒng)計(jì)思想的滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中至始至終貫穿于整個(gè)教學(xué)體系中，但其中細(xì)微之處的把握還需要教師去領(lǐng)會(huì)。數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)理論形成和開展的根底，滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生思維能力的開展，改善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生解決問題的能力。但是在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)思想方法都是以隱含的形式呈現(xiàn)。例如集合思想方法的滲透，從一年級(jí)入學(xué)就已經(jīng)開始，但是直到三年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》中介紹利用集合圈解題都沒有出現(xiàn)過(guò)集合的名稱，教師用書中也要求教師不要向?qū)W生介紹類似的名稱。同樣的例子還有概率思想方法，教材中都用“可能性”一詞來(lái)代替。也就是說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法，是隱含于教材體系之中的，它不是我們教學(xué)的顯性目標(biāo)，而是教學(xué)的隱性目標(biāo)。由于小學(xué)生的思維處于由直觀形象思維向抽象思維逐步過(guò)渡的過(guò)程中，因此，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)對(duì)他們而言，還言之過(guò)早，他們只需要在學(xué)習(xí)中假設(shè)有假設(shè)無(wú)的有所感受即可，真正的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，要到中學(xué)才真正展開。但是，這并不是說(shuō)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)完全不必要考慮數(shù)學(xué)思想方法的滲透。相反，它對(duì)教師的教學(xué)提出了更高的要求。教師要做到對(duì)教材中表達(dá)的數(shù)學(xué)思想方法心中有數(shù)，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生去感悟、去體驗(yàn)，但是又不要把它的概