專題01 集合（5知識點+3題型+5考法）（原卷版）

專題1：集合（5知識點+3題型+5考法）知識點一：元素與集合知識點一：元素與集合（1）集合的定義：我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱集）.我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，...表示集合（2）集合與元素的關(guān)系：屬于（）與不屬于（）關(guān)系；若a屬于集合A，記作；若b不屬于集合A，記作．（3）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．（重點考查確定性、互異性）（4）集合的表示方法：列舉法、描述法、venn圖法．（5）常見數(shù)集的表示方法及關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集．集合的分類：有限集：含有有限個元素的集合；無限集：含有無限各元素的集合；空集：不含任何元素的集合，記為知識點二、集合間的基本關(guān)系知識點二、集合間的基本關(guān)系(1)子集：對于兩個集合A與B，若對A中的任意元素x∈A，必有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，但存在元素x∈B且x?A；則AB或BA.(3)相等：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B.也就是說，若且，則A=B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.知識點三：集合的基本運算知識點三：集合的基本運算（1）交集的概念及表示方法概念符號語言圖形語言由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}（2）并集的概念及表示方法概念符號語言圖形語言由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}（3）全集與補集的概念及表示方法全集定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．通常記作U.補集的概念及表示：定義概念對于一個集合A，由全集U中不屬于集合

A的所有元素組成的集合稱為集合A相

對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，

記作?UA符號

語言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形

語言知識點四：集合的運算性質(zhì)知識點四：集合的運算性質(zhì)交集的性質(zhì)：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.性質(zhì)說明滿足交換律任何集合與其本身的交集等于它本身任何集合與空集的交集等于空集滿足結(jié)合律兩個集合的交集是其中任一集合的子集任何集合同它的子集的交集等于這個集合的子集，反之亦然滿足分配律(2)并集的性質(zhì)：(3)補集的性質(zhì)：性質(zhì)(1)

(2)常用結(jié)論有限集A中有n個元素，則集合A的子集有2n個，則集合A的非空子集有2n－1個，集合A的真子集有2n－1個.集合A的非空真子集有2n－2個題型一：集合的含義及表示【解題方法】：（1）判斷一句話能否為集合依據(jù)：集合元素的確定性，要成為集合元素必須是確定的，不能出現(xiàn)模棱兩可的概念。(2)用描述法表示的集合時，首先要看集合中的代表元素，即確定這個集合是數(shù)集還是點集等，然后根據(jù)集合元素的限制條件解出不等式。(3)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時，要學(xué)會分類討論思維；求的結(jié)果要注意去檢驗集合中的元素是否滿足互異性.例1．下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．2023年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)例2．已知集合，且，則實數(shù)為（

）A．2 B．3 C．0或3 D．例3．方程的解集用列舉法表示為（

）A． B． C． D．變式訓(xùn)練：4．（多選題）考查下列每組對象，能構(gòu)成集合的是（

）A．中國各地最美的鄉(xiāng)村； B．直角坐標(biāo)系中橫?縱坐標(biāo)相等的點；C．不小于3的自然數(shù)； D．2018年第23屆冬季奧運會金牌獲得者.5．由實數(shù)，，，，所組成的集合，最多含元素個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．若集合中的元素是的三邊長，則一定不是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形7．（多選題）若集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．8．（多選題）已知x，y，z為非零實數(shù)，代數(shù)式的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．題型二、集合間的基本關(guān)系考法一：判斷集合間的基本關(guān)系【解題方法】;判斷集合關(guān)系的三種方法：觀察法：先根據(jù)條件列出每個集合的部分元素，在根據(jù)元素特征來判斷集合關(guān)系。元素特征法：首先明確集合的元素是什么，弄清楚元素特征，在化簡成相同的形式，再利用元素的特征來判斷集合關(guān)系。數(shù)形結(jié)合法：化簡集合在借助數(shù)軸或venn圖來判斷。例1．（多選題）已知集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．A例2．（多選題）以下四個選項表述正確的有（

）A． B．?C． D．例3．已知集合，，，，則（

）A． B． C． D．變式訓(xùn)練4．（多選）集合，，則P與T的關(guān)系為（

）A． B．C． D．5．（多選題）下列集合中，與相等的是（）A． B．C． D．6．下列五個寫法：①；②；③；④；⑤，其中錯誤寫法的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知集合，，，則，，的關(guān)系為（

）A． B．C． D．考法二：集合間的關(guān)系求子集和真子集個數(shù)【解題方法】：（1）先確定集合中有幾個元素，在根據(jù)集合中至少幾個元素來討論出子集和真子集的個數(shù)；比如說沒有元素有幾個子集，有一個元素有幾個子集......。（2）再利用結(jié)論：有限集A中有n個元素，則集合A的子集有2n個，則集合A的非空子集有2n－1個，集合A的真子集有2n－1個.集合A的非空真子集有2n－2個例8．（多選）若{1,2}?B{1,2,3,4}，則B=（

）A．{1,2} B．{1,2,3} C．{1,2,4} D．{1,2,3,4}例9．若集合，若的真子集個數(shù)是3個，則的范圍是.變式訓(xùn)練10．已知集合，則M的真子集個數(shù)為（

）A．3 B．5 C．7 D．811．已知集合M滿足，則所有滿足條件的集合M的個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．812．集合的真子集的個數(shù)是.考法三：集合間的關(guān)系求參數(shù)及范圍【解題方法】：主要考查兩種題：一個是有限集合求參數(shù)；一個是無限集求參數(shù)問題有限集合：首先根據(jù)集合間的關(guān)系，列出滿足條件子集或真子集個數(shù)，在分類分類討論每種情況求參數(shù)，注意檢驗集合的互異性。無限集合：化簡求解出集合，先在數(shù)軸上畫出已知集合的范圍，在根據(jù)集合的關(guān)系畫出滿足條件的范圍，列出不等式求解?！疽族e警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解．例13．（多選題）若集合，且，則實數(shù)的取值為（

）A．0 B．1C．3 D．例14．若，則的值是（

）A．0 B．1 C．-1 D．例15．已知集合，集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式訓(xùn)練16．若集合，，且，則實數(shù)的值是（

）A． B． C．或 D．或或017．設(shè)集合，，滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．18．已知，，若集合，則的值為.19．設(shè)為實數(shù)，集合，，滿足，則的取值范圍是．20．已知，.(1)若是的子集，求實數(shù)的值；(2)若是的子集，求實數(shù)的取值范圍.題型三：集合的運算考法一：集合的綜合運算【解題方法】：在求解集合運算先確定元素，在化簡集合最后運算求解；確定元素：確實集合中的元素及其滿足的條件，如函數(shù)定義域、值域、一元二次不等式的解集等等。化簡求集合：根據(jù)元素滿足的條件解方程或者不等式，將集合清晰表示出來。運算求解：利用交、并、補集的定義求解，必要時可借助數(shù)軸或venn圖求解。例1．已知全集，集合，或，則（

）A． B．C． D．例2．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．例3．如圖，是全集，是的子集，則陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．變式訓(xùn)練4．已知是實數(shù)集，集合，，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)集合，若集合，，則（

）A． B．C． D．或6．對于集合A，B，我們把集合且叫做集合A與集合B的差集，記作．現(xiàn)已知集合，，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．7．（多選題）如圖，已知矩形表示全集，、是的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）

A． B． C． D．考法二：集合運算求參數(shù)及范圍【解題方法】利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）確定集合關(guān)系：通過集合運算確定集合間的基本關(guān)系；（2）有限集合：首先根據(jù)集合間的關(guān)系，列出滿足條件子集或真子集個數(shù)，在分類分類討論每種情況求參數(shù)，注意檢驗集合的互異性。無限集合：化簡求解出集合，先在數(shù)軸上畫出已知集合的范圍，在根據(jù)集合的關(guān)系畫出滿足條件的范圍，列出不等式求解?！疽族e警示】（1）注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致錯誤．（2）防范空集．在解決有關(guān)等集合問題時，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時是否成立，以防漏解．例8．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．例9．已知集合，，若，則的取值范圍是.例10．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為.變式訓(xùn)練11．（多選）設(shè)集合，若，則a的值為（

）A．0 B．C．1 D．212．設(shè)為實數(shù)，集合，.(1)若，求，；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.13．已知全集，集合．(1)求,；(2)已知集合，若，求實數(shù)的取值范圍．一、單選題1．下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．中國所有直轄市 B．某校高三的聰明學(xué)生C．2020年參加強基計劃招生的高校 D．中國的四大發(fā)明2．已知集合，，則（）A． B．或 C． D．3．已知集合，，則（

）A． B．C． D．4．已知集合，則（

）A． B． C． D．5．若集合，，，則的關(guān)系是（）A． B．C． D．6．已知全集，，則（

）A． B． C． D．7．若集合，，則的子集有（

）A．15個 B．16個 C．7個 D．8個8．某城市數(shù)、理、化競賽時，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，25名學(xué)生參加物理競賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競賽，其中參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名．若該班學(xué)生共有51名，則沒有參加任何競賽的學(xué)生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．109．設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．10．設(shè)集合.若，則（

）A． B．C．1 D．311．設(shè)全集，，，則（

）A． B． C． D．12．已知集合，若A，B均為U的非空子集且，則滿足條件的有序集合對的個數(shù)為（

）A．16 B．31 C．50 D．8113．設(shè)集合，集合，定義，則子集的個數(shù)是（

）A． B． C． D．10二、多選題14．如圖中陰影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．15．已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則16．我們知道，如果集合，那么S的子集A的補集為且，類似地，對于集合A，B我們把集合且，叫作集合A和B的差集，記作，例如：，，