高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單元測(cè)試2

(時(shí)間：100分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．使函數(shù)f(x)＝x＋eq\r(2)cosx在[0，eq\f(π,2)]上取最大值的x為()A．0 B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：選B.f′(x)＝1－eq\r(2)sinx，所以f(x)在[0，eq\f(π,4)]上是遞增的，在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上是遞減的，所以選B.2．定義在R上的函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為()A．(－2，－1)∪(1，2) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：選C.當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，又xf′(x)<0，所以x∈(－∞，－1)．當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)<0，又xf′(x)<0，所以x∈(0，1)．綜上可知解集為(－∞，－1)∪(0，1)．故選C.3．函數(shù)f(x)＝x－aeq\r(x)在x∈[1，4]上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的最小值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D.依題意得，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f′(x)＝1－eq\f(a,2\r(x))≤0，即a≥2eq\r(x)恒成立．注意到x∈[1，4]時(shí)，y＝2eq\r(x)的最大值是2eq\r(4)＝4，因此，實(shí)數(shù)a的最小值為4，選D.4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值集合為()A．{a|－1<a<2} B．{a|－3<a<6}C．{a|a<－1，或a>2} D．{a|a<－3，或a>6}解析：選D.f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有極大值和極小值，所以f′(x)＝0有兩個(gè)不同實(shí)根，即Δ>0，(2a)2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.5．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－mlnx在(eq\f(1,2)，＋∞)內(nèi)是遞增的，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m＝eq\f(1,4) B．0<m<eq\f(1,4)C．m≥eq\f(1,4) D．m≤eq\f(1,4)解析：選D.f′(x)＝x－eq\f(m,x)≥0在(eq\f(1,2)，＋∞)上恒成立，即m≤x2，設(shè)h(x)＝x2，x∈(eq\f(1,2)，＋∞)的值域?yàn)?eq\f(1,4)，＋∞)，所以m≤eq\f(1,4).6．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的值域?yàn)?)A．[eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eeq\s\up6(\f(π,2))] B．(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eeq\s\up6(\f(π,2)))C．[1，eeq\s\up6(\f(π,2))] D．(1，eeq\s\up6(\f(π,2)))解析：選A.因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＝eq\f(\r(2),2)exsin(x＋eq\f(π,4))，所以f′(x)＝eq\f(\r(2),2)exsin(x＋eq\f(π,4))＋eq\f(\r(2),2)excos(x＋eq\f(π,4))＝exsin(x＋eq\f(π,2))＝excosx.在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上f′(x)＝excosx≥0，所以f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的值域?yàn)閇f(0)，f(eq\f(π,2))]＝[eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eeq\s\up6(\f(π,2))]，故選A.7．對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足f(x)＋xf′(x)>0且f(－1)＝0，則f(x)>0解集是()A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，0)解析：選C.令F(x)＝xf(x)，由f(x)＋xf′(x)>0知F′(x)>0，F(xiàn)(x)在R上是遞增的，又f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，F(xiàn)(x)＝xf(x)<0，f(x)>0；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)(x)＝xf(x)>0，若x∈(－1，0]時(shí)，f(x)≤0，若x∈(0，＋∞)時(shí)f(x)>0.故f(x)>0的解集為(－∞，－1)∪(0，＋∞)．8．已知函數(shù)g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(0)f(1)≤0.若方程f(x)＝0有兩個(gè)實(shí)根，則eq\f(b,a)的取值范圍為()A．[－eq\f(2,3)，2] B．[eq\f(2,3)，1]C．[－eq\f(2,3)，1] D．[－eq\f(2,3)，3]解析：選C.因?yàn)間(x)＝ax3＋bx2＋cx，所以g(－1)＝－a＋b－c＝0，即c＝b－a.又f(x)＝g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f(0)f(1)≤0，得c(3a＋2b＋c)≤0，所以(b－a)(3b＋2a)≤0.因?yàn)閍≠0，所以(eq\f(b,a)－1)(3·eq\f(b,a)＋2)≤0，解得－eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)≤1.又3ax2＋2bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式Δ＝(2b)2－4·3a·c＝4b2－12a(b－a)＝4(b－eq\f(3,2)a)2＋3a2>0，滿足題意，所以eq\f(b,a)的取值范圍是[－eq\f(2,3)，1]．9．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，則()A．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值B．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值C．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值D．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值解析：選C.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)＝(ex－1)(x－1)，則f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是極值．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，則f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，所以f′(1)＝0，且當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0；在x＝1附近的左側(cè)，f′(x)<0，所以f(1)是極小值．10．已知函數(shù)f(x)＝|xex|，關(guān)于x的方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為()A．(eq\f(e2＋1,e)，＋∞) B．(2，eq\f(e2＋1,e))C．(－eq\f(e2＋1,e)，－2) D．(－∞，－eq\f(e2＋1,e))解析：選D.設(shè)g(x)＝xex，g′(x)＝ex(1＋x)，當(dāng)x>－1時(shí)，g′(x)>0，g(x)是遞增的，當(dāng)x<－1時(shí)，g′(x)<0，g(x)是遞減的，且x趨于－∞，g(x)趨于0.g(x)最?。絞(－1)＝－eq\f(1,e)，g(0)＝0，所以f(x)＝y(tǒng)＝|xex|的圖像如圖，由題意知，f(x)有兩個(gè)不等正值使方程成立．設(shè)為a，b(a<b)，則a∈(0，eq\f(1,e))，b>eq\f(1,e).由根與系數(shù)的關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝t2－4>0,－t＝a＋b>0,1＝ab))，所以－t＝a＋b＝a＋eq\f(1,a)在(0，eq\f(1,e))是遞減的，a＋eq\f(1,a)>e＋eq\f(1,e)，故t<－(e＋eq\f(1,e))，即t的取值范圍為(－∞，－eq\f(e2＋1,e))．所以選D.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)11．一個(gè)邊長(zhǎng)為12cm的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)都為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒，要使方盒的容積最大，x的值應(yīng)為________．解析：V＝4x(6－x)2＝4(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝12(x2－8x＋12)，令V′＝0得x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)．答案：2cm12．已知函數(shù)f(x)＝x2lnx，則函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是________．解析：f′(x)＝2xlnx＋x2·eq\f(1,x)＝x(2lnx＋1)(x>0)，令f′(x)<0得，0<x<e－eq\f(1,2).所以f(x)的遞減區(qū)間是(0，e－eq\f(1,2))．答案：(0，e－eq\f(1,2))(寫成(0，e－eq\f(1,2)]也正確)13．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(－1，1)上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈(－1，1)恒有f′(x)<0成立，若f(－2a2＋2)＋f(a2＋2a＋1)<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)楫?dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是減少的．由題意，得f(－2a2＋2)<－f(a2＋2a＋1)．又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－2a2＋2)<f(－a2－2a－1)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<－2a2＋2<1，,－1<－a2－2a－1<1，,－2a2＋2>－a2－2a－1.))所以－1<a<－eq\f(\r(2),2).答案：(－1，－eq\f(\r(2),2))14．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－4在區(qū)間[－1，1]上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：f′(x)＝3x2＋2x－a，由題意知f′(x)在[－1，1]內(nèi)有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，有三種情況：(1)若f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，所以1<a<5，(2)若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）＝0,f′（1）>0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＝0，,5－a>0))所以a＝1.(3)若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）>0，,f′（1）＝0))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a>0，,5－a＝0))無解，故a的取值范圍是[1，5)．答案：[1，5)15．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋eq\f(4,3)，直線l：9x＋2y＋c＝0，若當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖像恒在直線l的下方，則c的取值范圍是________．解析：由題意知h(x)＝f(x)＋eq\f(9x＋c,2)<0在[－2，2]上恒成立，h′(x)＝x2－2x＋eq\f(3,2)＝(x－1)2＋eq\f(1,2)>0，h(x)在[－2，2]上是遞增的，h(x)最大＝h(2)＝3＋eq\f(c,2)<0，所以c<－6.答案：(－∞，－6)三、解答題(本大題共5小題，共55分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋a)·ex(x∈R)在點(diǎn)A(0，f(0))處的切線l的斜率為－3.(1)求a的值以及切線l的方程；(2)求f(x)在R上的極大值和極小值．解：(1)f(x)＝(x2＋a)·ex?f′(x)＝(x2＋2x＋a)·ex，所以f′(0)＝－3?a＝－3，所以f(0)＝－3，切線方程為3x＋y＋3＝0.(2)f(x)＝(x2＋a)·ex?f′(x)＝(x2＋2x－3)·ex＝(x＋3)(x－1)ex，由f′(x)＝0?x＝－3或x＝1.當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f′(x)>0，f(x)是遞增的，當(dāng)x∈(－3，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)是遞減的，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)是遞增的，所以極大值為f(－3)＝6e－3，極小值為f(1)＝－2e.17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，所以f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)>0，則x<－2或x>eq\f(2,3)，令f′(x)<0，則－2<x<eq\f(2,3)，所以遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(eq\f(2,3)，＋∞)，遞減區(qū)間為(－2，eq\f(2,3))．(2)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝eq\f(2,3)，x[－3，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1]f′(x)＋0－0＋f(x)↗13↘eq\f(95,27)↗所以x＝－2為極大值點(diǎn)，x＝eq\f(2,3)為極小值點(diǎn)，又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f(eq\f(2,3))＝eq\f(95,27)，f(1)＝4，所以y＝f(x)在[－3，1]上的最大值為13，最小值為eq\f(95,27).18．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝x－1－lnx對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋2≥bx恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：依題意對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋2≥bx恒成立等價(jià)于x－1－lnx＋2≥bx在(0，＋∞)上恒成立．可得b≤1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x)在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x)，g′(x)＝eq\f(lnx－2,x2)，令g′(x)＝0，得x＝e2.列表如下：x(0，e2)e2(e2，＋∞)g′(x)－0＋g(x)↘1－eq\f(1,e2)↗所以函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(e2)＝1－eq\f(1,e2)，根據(jù)題意b的取值范圍為{b|b≤1－eq\f(1,e2)}．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－4x＋3(x∈R)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，由f(x)＝x3＋2x2－4x＋3知f′(x)＝3x2＋4x－4，f′(1)＝3，又f(1)＝2，故所求切線方程為y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.(2)由f(x)＝x3＋ax2－4x＋3知f′(x)＝3x2＋2ax－4，因?yàn)閒(x)在區(qū)間(1，2)上是遞減的，所以f′(x)≤0在(1，2)上恒成立，即3x2＋2ax－4≤0?a≤eq\f(2,x)－eq\f(3,2)x，設(shè)h(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(3,2)x，x∈(1，2)，所以a≤h(x)min＝h(2)＝－2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2]．20．(本小題滿分13分)如圖，在半徑為10eq\r(3)cm的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A、B在直徑上，點(diǎn)C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗)，記圓柱形罐子的體積為V(cm3)．(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：①設(shè)AD＝xcm，將V表示為x的函數(shù)；②設(shè)∠AOD＝θ(rad)，將V表示為θ的函數(shù)；(2)請(qǐng)您用(1)問中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積．解：(1)①AB＝2eq\r(（10\r(3)）2－x2)＝2πr，r＝eq\f(\r(300－x2),π)，V＝f(x)＝π(eq\f(\r(300－x2),π))2·x