天津市南開區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) Word版含答案

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至9頁。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1、答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂在答題卡上2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；3、本卷共9小題，每小題5分，共45分。參考公式：球的體積公式，其中R表示球的半徑.如果事件A，B互斥，那么.對于事件A，B，，那么.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知全集，集合，則（）（A） （B） （C） （D）（2）若，則“a，b，c成等比數(shù)列”是“”的（）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（3）若，則的最小值是（）（A）2 （B）a （C） （D）3（4）函數(shù)的圖象可能為（）（A） （B）（C） （D）（5）已知，，則（）（A）a＜b＜c （B）c＜b＜a （C）b＜a＜c （D）b＜c＜a（6）已知隨機(jī)變量，且，則（）（A） （B） （C） （D）（7）關(guān)于函數(shù)，則下列結(jié)論中：①為該函數(shù)的一個(gè)周期；②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱③將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象：④該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）（A）①② （B）③④ （C）①②④ （D）①③④（8）在長方體中，，其外接球體積為，則其外接球被平面截得圖形面積為（）（A） （B） （C） （D）（9）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，點(diǎn)P是C的右支上異于項(xiàng)點(diǎn)的一點(diǎn)，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點(diǎn)P到C的兩條漸近線距離之積為（）（A） （B） （C）2 （D）4第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題2、本卷共11小題，共105分。二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。（10）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為______（11）若的展開式中的系數(shù)為160，則實(shí)數(shù)a的值為______（12）直線被圓截得的弦長的最小值為______（13）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球，若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率為______，第二次抽到3號(hào)球的概率為______（14）平面四邊形ABCD中，，E為BC的中點(diǎn)，用和表示______；若，則的最小值為______（15）已知函數(shù)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______三、解答題：本大題共5題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（16）（本小題滿分14分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（Ⅰ）求a的值：（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）的值（17）（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD，，點(diǎn)E是棱PC上靠近P端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是棱PA上一點(diǎn).（1）證明：平面BDE（II）求點(diǎn)F到平面BDE的距離；（1II）求平面BDE與平面PBC夾角的余弦值.（18）（本小題滿分15分）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合，拋物線的準(zhǔn)線被C截得的線段長為.（I）求橢圓C的方程；（II）過點(diǎn)F作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（19）（本小題滿分15分）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：.（i）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式（ii）設(shè)，證明：（20）（本小題滿分16分）已知，a為函數(shù)的極值點(diǎn)，直線l過點(diǎn)，（Ⅰ）求的解析式及單調(diào)區(qū)間：（Ⅱ）證明：直線l與曲線交于另一點(diǎn)C：（Ⅲ）若，求n.（參考數(shù)據(jù)：）2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量監(jiān)測（一）參考答案數(shù)學(xué)學(xué)科一、選擇題：（本題共9小題，每題5分，共45分）題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案CBDAADCBB二、填空題：（本題共6小題，每題5分，共30分）公眾號(hào)：高中試卷君（10） （11）2； （12）；（13）（第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分）；（14）（第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分）； （15）－1或三、解答題：（其他正確解法請比照給分）（16）解：（Ⅰ）由及余弦定理得，因?yàn)?，所?（Ⅱ）由及得由正弦定理得（Ⅰ），因?yàn)?，所以?若，則，與題設(shè)矛盾，因此.（Ⅲ）由（Ⅰ）得，因?yàn)?，所以所以所以另解：因?yàn)樗裕?7）解：因?yàn)槠矫鍼AD，所以.因?yàn)?，所?故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.（Ⅰ），設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.又，可得，因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE.（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍮DE，所以點(diǎn)F到平面BDE的距離等于點(diǎn)A到平面BDE的距離.，則點(diǎn)A到平面BDE的距離為（Ⅲ），設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面BDE與平面PBC的夾角為α，則故平面BDE與平面PBC的夾角的余弦值為.（18）解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意得，解得，所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，設(shè)，則，，①當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由，得，則，所以，因此，若對于任意的t值，上式為定值，則，解得，此時(shí)，為定值.②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，綜合①②知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為.（19）解：（Ⅰ）因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，，所以.又因?yàn)?，所以，進(jìn)而公比，所以.（Ⅱ）（i）因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.所以，即.（ii）.當(dāng)時(shí)，左式，右式，左式＝右式.當(dāng)時(shí)，則所以，即綜上：當(dāng)時(shí)，（20）解：（Ⅰ），依題意有，解得，所以.當(dāng)與時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（Ⅱ）直線AB的方程為，即.由，得，①，顯然和為方程的①解.設(shè)，則，令得，當(dāng)時(shí)，