應(yīng)用彈塑性力學(xué)ch5-part3-簡(jiǎn)單的彈塑性力學(xué)問(wèn)題匯編

5.6簡(jiǎn)單的彈塑性力學(xué)問(wèn)題5.6簡(jiǎn)單的彈塑性力學(xué)問(wèn)題5.3平面問(wèn)題嚴(yán)格地講,所有力學(xué)問(wèn)題都屬于三維空間物體的受力問(wèn)題.但是某些工程問(wèn)題中,結(jié)構(gòu)形狀、受力和約束情況都具有一定的特點(diǎn)，這些問(wèn)題只要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和力學(xué)抽象化處理，就可轉(zhuǎn)化為所謂的“平面問(wèn)題”。平面問(wèn)題的特征是：所有力學(xué)行為都可以看作是在一個(gè)平面內(nèi)發(fā)生的，因而在數(shù)學(xué)上屬于二維的問(wèn)題。5.3.1平面問(wèn)題的特點(diǎn)及分類(lèi)平面問(wèn)題共分兩大類(lèi)，即平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。平面應(yīng)力問(wèn)題主要出現(xiàn)在薄板中。對(duì)于薄板，如果它所受的力（體力及面力）均平行于板的中面而且沿板的厚度不變。將與板中面垂直的方向設(shè)為z軸，因?yàn)榘搴鼙?，所以與z有關(guān)的所有應(yīng)力均近似為0，即5.3平面問(wèn)題嚴(yán)格地講,所有力學(xué)問(wèn)題都屬于三維空間物體由于時(shí)的板面上無(wú)外力作用，則邊界條件成為板很薄，外力不沿厚度變化，則板內(nèi)與z有關(guān)的應(yīng)力均為零剩下的應(yīng)力分量也與z無(wú)關(guān)，因此退化為x,y的函數(shù)由于時(shí)的板面上無(wú)外力作用，則邊界因此非零的應(yīng)力分量只有，且設(shè)這三個(gè)應(yīng)力分量只與x,y有關(guān)，與z無(wú)關(guān)。平面應(yīng)變問(wèn)題是指某一方向的尺寸比另外兩個(gè)方向大很多（如無(wú)限長(zhǎng)的柱體），所受的力均平行于橫截面且沿柱體的長(zhǎng)度不變。因?yàn)檠貁軸方向長(zhǎng)度是無(wú)限的，所以沿z軸方向的近似為0，且假設(shè)沿另外兩個(gè)方向的位移u,v與z無(wú)關(guān)。由幾何方程可知有許多工程問(wèn)題是很接近平面應(yīng)變問(wèn)題的，如擋土墻、重力壩、某些化學(xué)容器及發(fā)動(dòng)機(jī)的汽壓管等可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題處理能達(dá)到工程精度。因此非零的應(yīng)力分量只有5.3.2直角坐標(biāo)系下平面問(wèn)題的基本方程一、平面應(yīng)力問(wèn)題在平面應(yīng)力問(wèn)題中，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力分布為位移分布為應(yīng)變分布為5.3.2直角坐標(biāo)系下平面問(wèn)題的基本方程一、平面應(yīng)力問(wèn)題其中不是獨(dú)立的。在彈性狀態(tài)下，根據(jù)得平面應(yīng)力問(wèn)題，三類(lèi)方程可以簡(jiǎn)化。1、靜力平衡方程將平面應(yīng)力分量表達(dá)式代入平衡方程，得另外一個(gè)平衡方程自行滿足。其中不是獨(dú)立的。在彈性狀態(tài)下，根據(jù)2、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)力情況下，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程只有下面一個(gè)3.本構(gòu)關(guān)系彈性狀態(tài)下，本構(gòu)關(guān)系應(yīng)服從彈性本構(gòu)關(guān)系，將物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)表達(dá)式代入廣義胡克定律，得2、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)力情況下，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程只有下面一個(gè)3.在解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，除了上述三類(lèi)基本方程外，還需考慮邊界條件和屈服條件。4、邊界條件設(shè)薄板側(cè)面上點(diǎn)的法線為n,方向余弦為，該點(diǎn)處作用的面力為，則應(yīng)力邊界條件為在板的上、下表面，法線的方向余弦是，作用在面上的外力均為零，因此靜力邊界條件為在解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，除了上述三類(lèi)基本方程外，還需考慮邊界條件二、平面應(yīng)變問(wèn)題在平面應(yīng)變問(wèn)題中，物體內(nèi)任一點(diǎn)的位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)有下面的特點(diǎn)：位移場(chǎng)應(yīng)變場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)二、平面應(yīng)變問(wèn)題在平面應(yīng)變問(wèn)題中，物體內(nèi)任一點(diǎn)的位移場(chǎng)、應(yīng)變1、靜力平衡方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程根據(jù)平面應(yīng)變狀態(tài)下應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的特點(diǎn)容易證明，此時(shí)與平面應(yīng)力有完全相同的靜力平衡方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，因此這里不重復(fù)給出。2、本構(gòu)關(guān)系將代入廣義胡克定律，可得到彈性狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系可見(jiàn)，平面應(yīng)力問(wèn)題中的E換成，就得到，可見(jiàn)兩類(lèi)平面問(wèn)題可以統(tǒng)一起來(lái)求解。1、靜力平衡方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程根據(jù)平面應(yīng)變狀態(tài)下應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變綜上所述，在彈性狀態(tài)下，兩類(lèi)平面問(wèn)題，都必須滿足平衡微分方程、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和本構(gòu)方程。這三類(lèi)方程共有6個(gè)，含有6個(gè)未知函數(shù)，加上具體的邊界條件，從理論上是可求解的，但在數(shù)學(xué)上要求得這類(lèi)偏微分方程的解析解是很困難的。對(duì)于某些簡(jiǎn)單問(wèn)題，可以采用逆解法和半逆解法求解，如采用應(yīng)力函數(shù)方法。應(yīng)力函數(shù)假定體力X及Y是零，則平衡微分方程可以簡(jiǎn)化為齊次方程綜上所述，在彈性狀態(tài)下，兩類(lèi)平面問(wèn)題，都必須滿足平衡微分方程將本構(gòu)方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程得由第一式對(duì)x求偏導(dǎo),第二式對(duì)y求偏導(dǎo),然后再將兩式相加,整理得整理得:即將本構(gòu)方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程得由第一式對(duì)x求偏導(dǎo),第二式對(duì)y求偏導(dǎo)上式是拉普拉斯方程或應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程,它與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是等價(jià)的,同時(shí)對(duì)于常體力情況該方程也是一樣的.從平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系出發(fā)也能得到此方程,可以說(shuō)在彈性狀態(tài)下適用于兩類(lèi)平面問(wèn)題.設(shè)在橫截面上任一點(diǎn)均存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。能滿足下式這樣定義的應(yīng)力函數(shù)能滿足平衡方程式(5.70)，且將其代入后得到即上式稱(chēng)為雙調(diào)和方程或應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程，也叫相容方程，適用于無(wú)體力的彈性力學(xué)問(wèn)題。上式是拉普拉斯方程或應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程,它與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是等對(duì)于常體力情況，應(yīng)力函數(shù)解可寫(xiě)成相容方程與無(wú)體力情況一樣為重調(diào)和方程。在彈性狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)均應(yīng)滿足重調(diào)和方程，也可以將應(yīng)力邊界條件表示為應(yīng)力函數(shù)的形式。這樣先求出物體內(nèi)應(yīng)力函數(shù)，再由式（a)求出應(yīng)力分量。(a)一般地，應(yīng)力函數(shù)可以選為多項(xiàng)式或級(jí)數(shù)的形式，具體選擇什么樣的多項(xiàng)式及級(jí)數(shù)依具體問(wèn)題的邊界條件來(lái)確定。對(duì)于常體力情況，應(yīng)力函數(shù)解可寫(xiě)成相容方程與無(wú)體力情況一樣為重一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項(xiàng)式§平面問(wèn)題的多項(xiàng)式解答應(yīng)力分量：應(yīng)力邊界條件：結(jié)論：（1）線性應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項(xiàng)式1.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項(xiàng)式§平面問(wèn)題的多項(xiàng)式解答應(yīng)力分量：應(yīng)力結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖（a）。2.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力問(wèn)題。如圖3-1（b）。圖3-1（a）（b）（c）結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉3.應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖（c）。三、應(yīng)力函數(shù)取三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。如圖所示的矩形梁。（a）圖3.應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力四、應(yīng)力函數(shù)在梁的彈性彎曲問(wèn)題中的應(yīng)用梁的彈性彎曲問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題,如圖所示的簡(jiǎn)支梁,沿z向(圖中未畫(huà)出)取單位長(zhǎng)度,梁內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)滿足MMhhLyxo假設(shè)梁兩段作用有力偶M,由于直接求解三類(lèi)方程困難，這里用逆解法來(lái)求解．四、應(yīng)力函數(shù)在梁的彈性彎曲問(wèn)題中的應(yīng)用梁的彈性彎曲問(wèn)題可簡(jiǎn)化梁上、下表面處的邊界條件是在梁的左右兩端，無(wú)法滿足精確的應(yīng)力邊界條件，只能由圣維南原理寫(xiě)出靜力等效的邊界條件(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)(a)梁上、下表面處的邊界條件是在梁的左右兩端，無(wú)法滿足精確設(shè)應(yīng)力函數(shù)為其中c為待定參數(shù)。設(shè)定的函數(shù)(b)顯然滿足雙調(diào)和方程。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)變分量的關(guān)系，可求得應(yīng)力分量(5.81)(5.82)將(c)代入式(a)，得(5.83)因此，有(b)(c)設(shè)應(yīng)力函數(shù)為其中c為待定參數(shù)。設(shè)定的函數(shù)(b)顯然滿足雙調(diào)和求得代定參數(shù)后，得到梁內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量為由于矩形截面的慣性矩為故應(yīng)力分量的表達(dá)式為(5.85)(5.84)上述結(jié)果與材料力學(xué)所得到的解答完全相同。對(duì)于梁的端部，以上解答與實(shí)際情況存在一定的誤差，但根據(jù)圣維南原理，這只會(huì)影響梁的端點(diǎn)附近的應(yīng)力分布，其它部位沒(méi)有影響。求得代定參數(shù)后，得到梁內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量為由于矩形截面的慣性矩應(yīng)變分量：根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可求出梁內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變場(chǎng)為(5.86)將上式代入幾何方程得(5.87)積分式(d)的前兩式得(5.88)(d)(e)應(yīng)變分量：根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可求出梁內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變場(chǎng)為(5.8將(e)代入(d)的最后一個(gè)方程，得整理得(5.89)上式左邊只與x有關(guān)，而右邊只與y有關(guān)，由此得式中，是一個(gè)待定常數(shù)。整理上式得(f)將(e)代入(d)的最后一個(gè)方程，得整理得(5.89)上式左積分上述兩式，得(5.90)將式（g）代入（g),得(5.91)式中均為待定常數(shù)，根據(jù)位移邊界條件確定。如為簡(jiǎn)支邊的邊界條件(5.92)(g)(h)(i)積分上述兩式，得(5.90)將式（g）代入（g),得(5.9將式(i)代如式(h)，得因此，得式(j)中取可得撓度曲線方程((j)此曲線方程同材料力學(xué)中得出的結(jié)論一致。注：當(dāng)梁的截面形式或荷載作用情況比較復(fù)雜時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)取為多項(xiàng)式形式可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，這時(shí)可選應(yīng)力函數(shù)為三角形式的級(jí)數(shù)解，這里不再進(jìn)一步討論。將式(i)代如式(h)，得因此，得式(j)中取§專(zhuān)題-1圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫毫λ矶匆阎呵螅簯?yīng)力分布。確定應(yīng)力分量的表達(dá)式：邊界條件：（a）將(a)式代入，有：（b）p1p2§專(zhuān)題-1圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫毫λ矶匆阎呵螅簯?yīng)力分（b）式中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程不通用確定。對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件。位移多值項(xiàng)要使單值，須有：B=0，由式（b）得將其代回應(yīng)力分量式（4-12），有：p1p2（b）式中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程不通用確定。對(duì)于多連體問(wèn)題28周向應(yīng)力徑向應(yīng)力軸向應(yīng)力（5.116）稱(chēng)Lamè（拉美）公式28周向應(yīng)力徑向應(yīng)力軸向應(yīng)力（5.116）稱(chēng)Lamè（拉美）（5.116-b）（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓應(yīng)力）（拉應(yīng)力）p1p2p1（5.116-b）（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓（3）若：（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（4）若：——具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體。邊緣處的應(yīng)力：p2（3）若：（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（4）若：——具有圓形孔道31

厚壁圓筒的筒壁應(yīng)力值31厚壁圓筒的筒壁應(yīng)力值當(dāng)時(shí)，厚壁筒問(wèn)題化為一個(gè)具有圓孔的無(wú)限大彈性薄板或具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體，它們的應(yīng)力分量為當(dāng)圓筒僅受內(nèi)壓時(shí),圓筒內(nèi)的應(yīng)力是第一主應(yīng)力,而是第三主應(yīng)力,故有從上式可見(jiàn),圓筒內(nèi)壁的最大.假設(shè)材料服從Tresca屈服條件,則圓筒內(nèi)壁將首先達(dá)到屈服,此時(shí)有當(dāng)時(shí)，厚壁筒問(wèn)題化為一個(gè)具解上式得這里,就是問(wèn)題的彈性極限壓力值,它與圓筒的內(nèi)外半徑之比有關(guān).當(dāng)時(shí)，?？梢?jiàn)，當(dāng)彈性無(wú)限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用（如有壓隧洞）時(shí)，其內(nèi)表面開(kāi)始屈服時(shí)的壓力值與洞的半徑無(wú)關(guān)。此外，當(dāng)內(nèi)外半徑之比a/b較小時(shí)，僅僅加大圓筒的外半徑，并不會(huì)明顯提高筒的彈性極限壓力值。例如當(dāng)a/b=1/3時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)。因此，在設(shè)計(jì)高壓圓筒時(shí)，不能只是采取加大圓筒厚度的辦法來(lái)提高其強(qiáng)度，必須采用其他的措施，如采用高強(qiáng)度材料或?qū)A筒施加預(yù)應(yīng)力等。解上式得這里,就是問(wèn)題的彈性極限壓力值,它與圓在彈性區(qū)，部分，應(yīng)力分布規(guī)律仍可前面的彈性解給出，但是要把其中的a改為c，內(nèi)壓力改為r=c處的應(yīng)力值。在塑性區(qū)，平衡微分方程仍能成立，即如果材料服從Tresca屈服條件，則在塑性區(qū)內(nèi)處處有在彈性區(qū)，部分，應(yīng)力分布規(guī)律仍將屈服條件代入平衡微分方程，則方程化為積分上式，得利用邊界條件，可以確定出待定常數(shù)C,代入上式即得到塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力分量為再利用屈服條件，得到將屈服條件代入平衡微分方程，則方程化為積分上式，得利用邊界條綜上，可得到塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力解為注意，當(dāng)時(shí)，由上式得綜上，可得到塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力解為注意，當(dāng)下面根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的連續(xù)條件，確定彈性區(qū)的應(yīng)力分布以及交界圓周線的半徑c。彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的應(yīng)力連續(xù)條件為考慮到在處，有上式表示在彈性區(qū)無(wú)限接近交界的內(nèi)側(cè)，材料趨近屈服另外，將彈性區(qū)域彈性解表達(dá)式中的a改為c,外壓力改為外層彈性區(qū)的邊界應(yīng)力，經(jīng)整理后得和塑性區(qū)的外邊界比較，最后得到彈塑性分解線所滿足的方程下面根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的連續(xù)條件，確定彈性區(qū)的應(yīng)力分布以綜上所述,最終得到應(yīng)力解為1)彈性區(qū)綜上所述,最終得到應(yīng)力解為1)彈性區(qū)2)塑性區(qū)3)交界線由應(yīng)力解可以發(fā)現(xiàn),在彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界,徑向應(yīng)力連續(xù)而周向應(yīng)力卻間斷,這正是彈塑性問(wèn)題的特殊之處.

當(dāng)塑性區(qū)擴(kuò)展到整個(gè)截面時(shí),可得到塑性極限狀態(tài)下的內(nèi)壓力為2)塑性區(qū)3)交界線由應(yīng)力解可以發(fā)現(xiàn),在彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界

板中開(kāi)有小孔，孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱(chēng)為孔邊應(yīng)力集中。應(yīng)力集中的程度與孔的形狀有關(guān)。一般說(shuō)來(lái)，圓孔孔邊的集中程度最低。這里簡(jiǎn)略討論圓孔孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題，較為復(fù)雜的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題一般用復(fù)變函數(shù)方法，在第五章中進(jìn)行討論。一、矩形板左右兩邊受集度為q的均布拉力§專(zhuān)題-2圓孔的孔邊應(yīng)力集中板中開(kāi)有小孔，孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于

設(shè)有矩形薄板，在離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)處有半徑為的小圓孔，在左右兩邊受均布拉力，其集度為，如圖

以遠(yuǎn)大于

的某一長(zhǎng)度為半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)