浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高三年級上冊高考模擬考試數(shù)學(xué)試題 含解析

絕密★啟用前

寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期高考模擬考試

高三數(shù)學(xué)試卷

全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,已知4="T/2=1+4(a,6eR,i為虛數(shù)單位)，若馬立?是實數(shù)，則()

A.ab-l=QB.ab+\=0

C.a-b=0D.a+b=0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法及復(fù)數(shù)的虛部為0計算即可.

【詳解】因為z/Z2=(a—i)(l+bi)=(a+b)+(ab—l)i是實數(shù)，

所以ab-1=0,

故選：A

2.設(shè)集合。=1<,集合"_={劉》2-2》20}1={劉卜=1082(1-》)},則{x[x<2}=()

A.MuNB.NU(”)

C.MU(4N)D,a(MON)

【答案】B

【解析】

【分析】化簡集合根據(jù)集合的交集、并集、補集求解.

【詳解】因為M={x|x2_2x20}=(—co,0]U[2,+co),N={x|y=log2(l-x}=(—oo,l),

所以〃DN=(—8/)U[2,+8),NU(務(wù)口)=(7,1)U(0,2)=(7,2)={X|X<2},

M&N)=(7,0]U[2,+8)U[L+S)=(7,0]U[1,+S),

因為M「N=(—8,0],所以務(wù)(九mN)=(0,+⑹，

故選：B

3.若a,b是夾角為60°的兩個單位向量，/+否與-3Z+2B垂直，則％=（）

1177

A.—B.一C.-D.一

8484

【答案】B

【解析】

【分析】由題意先分別算出/，/）彳的值，然后將“4+B與—3）+2刃垂直”等價轉(zhuǎn)換為

（2o+S）.（-3?+2S）=0,從而即可求解.

【詳解】由題意有=11=忖=1,??=|a|-1^1cos60°=lxlx^-=^,

又因為篇+5與-3Z+2B垂直，

所以（花+4（一32+2可=—3花2+（2%—3）Z/+2B2=-32+1X（22-3）+2=0,

整理得—2XH—=0,解得A=—.

24

故選：B

4.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且生=5,貝！I（）

A.的最小值為50B.%+。9的最大值為50

C.%+。9的最小值為1。D.%+。9的最大值為10

【答案】C

【解析】

【分析】寫出q+。9的表達(dá)式，利用基本不等式即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

在等比數(shù)列｛%｝中，%=5，

設(shè)公比為/則q=〉。，佝=生/〉o，

+。9=?5^-4+=a5（qT+94）-5x2&T./=10，

當(dāng)且僅當(dāng)q~4=/即q=±1時等號成立，

%+為的最小值為I。，

故選：C.

<iY

5.已知函數(shù)/(x)=2"+log2x,g(x)二——log2%,〃(%)=1+log2。的零點分別為。，瓦c,則()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷Q，。小于1,6大于1,再由數(shù)形結(jié)合判斷生。即可.

【詳解】令g(x)=［；］-log2x=0,可得=log2X>o,所以x>l,即6>1；

J

/(x)=2+log2x=0,可得2、=—log2》〉。，即log2X<0,所以0<x<l,

即0<a<1；

令Zz(X)=x3+log2X=0,可得x3=-log2X,由此可得lOgz^CO,所以O(shè)<X<1,

即0<c<l,

作y=2:y=—log2X,y=爐的圖象，如圖，

\

由圖象可知，a<C,所以a<c<6.

故選：D

6.設(shè)。為坐標(biāo)原點，耳鳥為橢圓。：二+匕=1的焦點，點P在。上，|。尸|=JL貝UcosN印第=

42

()

11272

333

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)|「用=叫尸閶="利用余弦定理可得cosNRPF?=〃廠+獷—8再由向量表示可知

2mn

西+麗=24，即可得力+“2+2加〃cos/耳Pg=12；聯(lián)立即可求得cos/耳明=；.

【詳解】如下圖所示：

2a=4,閨g|=2°=2后；

m2+,722-8Q

由余弦定理可知cos/片PR=

2mn

又因為西+麗=24，所以（而+而『=（24『，又|。尸|=6,

即可得加2+/+2加〃cos/月尸鳥=12,解得加2+〃2=10；

乂加2+〃2=（加+_2nm_16-2加〃=10,即mn=3；

22_Q10-81

所以可得cos/^PE=〃'

一2mn6-3

故選：C

3兀

7.已知二面角尸-48-C的大小為一，球。與直線相切，且平面尸48、平面45C截球。的兩個

4

截面圓的半徑分別為1、亞,則球。半徑的最大可能值為（）

A.V2B.2^/2C.3D.Vio

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)點。在平面PAB、平面ABC內(nèi)的射影點分別為M、N,設(shè)球。切48于點E,連接ME、NE、

3兀71

MN,分析可知，。、M、E、N四點共圓，利用二面角的定義可得/MEN=一或一，利用余弦定理

44

求出九W的長，分析可知，球。半徑的最大值即為△跖VE外接圓的直徑，結(jié)合正弦定理求解即可.

【詳解】設(shè)點。在平面尸48、平面45C內(nèi)的射影點分別為M、N,

設(shè)球。切48于點E,連接ME、NE、MN,如下圖所示：

因為平面尸48，平面尸48，則

由球的幾何性質(zhì)可知，0E1AB,

因為。攸n（9E=0,0M、0￡u平面。WE7,則4S平面。WE,

同理可知，451平面ONE,

因為過點E作直線Z5的垂面，有且只有一個，所以，平面（WE、平面ONE重合，

因為（W_L平面尸48,"Eu平面尸48,則同理可知，ONLNE,

所以，0、M、E、N四點共圓，

由已知條件可知，ME=1,NE=&

因為481平面OME,NE、MEu平面OME,則48，,ABLNE,

所以，二面角尸-C的平面角為/MEN或其補角.

3兀

①當(dāng)NMEN=——時，

4

3（五、

22

由余弦定理可得上加2=ME+NE-2ME-NEcos—=l+2-2xlx-—2

4IJ

=5,故MN=也，

易知，為AMVE外接圓的一條弦,

MN1

所以，球。半徑OE的最大值即為△肱VE外接圓的直徑，即為sin/MEN

2

22

由余弦定理可得〃乂2=ME+NE-2ME-NEcos-=l+2-2xlx&"x—=1

42

故MN=\,

易知，為AMVE外接圓的一條弦,

MN二二1叵

所以，球。半徑的最大值即為AMVE外接圓的直徑，即為sin/MEN一正一.

V

綜上所述，球。的半徑的最大可能值為亦L

故選：D.

8.已知函數(shù)/3=/+辦+人，若不等式＜2在xe[1,5]上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對3。）

有（）

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

【答案】B

【解析】

-2<l+a+/)<2,(l)

【分析】由題意有<-2W9+3a+b<2,(2),通過分析得到a=—6,6=7是滿足題意的唯一解，注意檢

-2<25+5o+6<2,(3)

驗.

【詳解】由題意若不等式|/(x)|42在xe［1,5］上恒成立,

-2"⑴<2-2<1+?+/)<2,(1)

則必須滿足<—2W/(3)<2,即<-2<9+3?+6<2,(2),

-2</(5)<2-2<25+5a+6<2,(3)

-2<-1-tz-Z)<2,(1)

兩式相加得-4<8+2a<4^-6<o<-2,(4),

-2<9+3?+&<2,(2)

再由<-2?25+5。+必2；3；'兩式相加得"W16+2a"n-1?？?6,(5),

-2<-5+6<2,(1)

結(jié)合(4),(5)兩式可知a=-6,代入不等式組得《-2<-9+6<2,(2),

-2<-5+6<2,(3)

解得6=7,

經(jīng)檢驗，當(dāng)a=—6,6=7時，/(X)=X2-6X+7=(X-3)2-2,

有［"HL=/⑴=/⑸=2，［/(x)L=/(3)=—2,滿足,⑸<2在xe［1,5］上恒成立,

綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對(生。)為：(-6,7),共一個.

故選：B.

-2</(1)<2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是首先得到2V/(3)<2,進(jìn)一步由不等式的性質(zhì)通過分析即可求解.

-2</(5)<2

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知(l-2x>=4+。環(huán)+出/+…+%/，則下列說法正確的是()

A.“0=1B.%——80

C.。］++。5=—1D.。0+。2+。4=121

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)二項展開式通式以及賦值法即可得到答案.

【詳解】對于A,取x=0,貝1J%=1,則A正確；

對B,根據(jù)二項式展開通式得(1-2x)5的展開式通項為C；151_2xy,即C}(-2〉/,其中

0<r<5,reN

所以%=C；(—2)3=—80,故B正確；

對C,取X=l,則%+%+%+。3+。4+。5=-1，

則4+%+。3+%+=-1一%=-2,故C錯誤;

對D,取x=—1,則4—％+出一4+“4—。5=3，=243,

將其與4。+%+4+。3+“4+。5=-1作和得2(%)+。2+%)=242,

所以%)+。2+%=121,故D正確；

故選：ABD.

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線x+加y—加一2=0過圓M：x2+y2—8x+6y=o的圓心且交圓于P,。兩點,

則()

A.\PQ\=5B.m=—

C.△OP。的面積為5指D.OMLPQ

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,整理圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，明確圓心與半徑，可得答案；

對于B,由題意，將圓心代入直線方程，求得參數(shù)，可得答案；

對于C,利用點到直線的距離公式求得三角形的高，結(jié)合三角形的面積公式，可得答案；

對于D,根據(jù)兩點求得斜率，利用垂直直線斜率的關(guān)系，可得答案.

【詳解】由圓的方程8x+6y=0,

則(x—4『+(y+3『=25,所以圓心/(4,—3),半徑r=5,

易知怛9=10,故A錯誤；

將河(4,—3)代入直線方程x+帆y—加—2=0,則4—3掰—加—2=0,解得加=g,故B正確；

將加=g代入直線方程x+my-m-2=0,整理可得直線方程2x+y-5=0,

|2x0+0-5|廠A

原點到直線2x+y—5=0的距離d=?i-------?=V5,且此為△OPQ底尸。上的高,

V22+l2

所以「?！?=L/忸。|=,義指*10=5君,故C正確；

vu22

_3-03

由0(0,0)與M(4,—3),則直線0M的斜率左=不履=—“

由直線方程2x+y—5=0,則直線尸。斜率左2=-2,

3

由勺.左2=］WT，則?！迸cP。不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

11.函數(shù)/(%)=5①妙(?！?)在區(qū)間—I，］上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線尤=與對稱，貝!I()

2九

A,將函數(shù)/(x)的圖象向右平移力-個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱

B.函數(shù)/(X)在［兀,2可上單調(diào)遞減

C.若函數(shù)/(x)在區(qū)間伍,一)上沒有最小值，則實數(shù)。的取值范圍是(一卷二皆)

D,若函數(shù)/(x)在區(qū)間伍,一)上有且僅有2個零點，則實數(shù)。的取值范圍是(-1,0)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及對稱軸求出函數(shù)解析式，由函數(shù)的平移判斷A,根據(jù)單調(diào)性判斷B,由函數(shù)的圖

象與性質(zhì)可判斷CD.

【詳解】由題意一色〈一百。，巴。W巴且女?<y=E+巴，左eZ,

222232

3k3—

可得0<GV1,CO----1—，左EZ,

24

3.3

故當(dāng)左=0時，co=—,.\/(x)=sin—x.

44

27r32兀=sinlx-

對A,函數(shù)/(x)的圖象向右平移T個單位長度可得^=5^^X--四…si故

1424

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確;

33兀3713

對B,當(dāng)xe［兀,2兀］時,-xe,所以函數(shù)/(x)=sin單調(diào)遞減，故B正確;

對C,當(dāng)xe(義上包)時，[當(dāng),,函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,也)上沒有最小值，則需一巴<細(xì)<紜,

9446J9246

27114兀

即一一-<a<—,故C錯誤；

39

對D,由C,函數(shù)/(x)在區(qū)間伍,等)上有且僅有2個零點，則—兀<#■<(),即

4兀

——<?<0,故D錯誤.

3

故選：AB

12.已知函數(shù)：RfR,對任意滿足x+y+z=O的實數(shù)x,y,z,均有/(x3)+/3(#+/3(z)=3xyz,

則()

A./(0)=0B./(2023)=2024

C./a)是奇函數(shù)D./(x)是周期函數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】由條件等式通過賦值可判斷AC選項；進(jìn)而令y=z=—可得/(/)+2/31一gx]=

可設(shè)/(x)=x，滿足/卜3)+2/31—；x]=：x3,進(jìn)而驗證BD選項是否滿足，即可判斷.

【詳解】由/(/)+/3(田+/3(2)=3町2,

令X=y=Z=0,則/(O)+/3(O)+/3(O)=O,

即/⑼11+2/2(0)]=0,因為1+2/2(0)21,所以/(0)=0,故A正確；

令X=O,z=_九則/(o)+r3+/3(—y)=o,

即f(田+r㈠)=o,即/一尸⑴，

所以/(一力=-/。)，即〃=所以函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，故C正確;

令y=z=_gx,則/(x3)+2/31_gx]=：x3,

由AC選項，不妨設(shè)/(x)=x,

則/13)二13,/'f——Xj=——X,滿足/(1)+2/3[―鼻]]=工13,

而BD選項不滿足/（%）=x,故BD錯誤.

故選：AC.

【點睛】方法點睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不

斷變換求解即可.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知角0的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點尸（1,3）,貝!!

sin（（z+7t）=.

［答案］—獨0

10

【解析】

【分析】由題意并結(jié)合三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式直接計算即可.

33

【詳解】由題意結(jié)合三角函數(shù)定義可知sina=〒==----

A/12+3210

)=-sina=-巫

從而由誘導(dǎo)公式有sin（a+n

)10

故答案為：—士何.

10

14兀

14.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2,體積為——，則該圓臺的側(cè)面積為

3

【答案】3V57i

【解析】

【分析】利用圓臺體積公式可得其高為〃=2,即可知母線長為君，利用側(cè)面展開圖面積求出圓臺的側(cè)面

積為3石兀.

【詳解】根據(jù)題意可知，圓臺上底面面積為E=兀，下底面面積為E=4兀；

設(shè)圓臺的高為〃，由體積可得:M4+S2+J有）=等，

解得〃=2,所以可得圓臺母線長為/+（2-1）2=6,

根據(jù)側(cè)面展開圖可得圓臺側(cè)面積為g（2兀+4兀）/=3有兀.

故答案為：36兀

15.第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動員準(zhǔn)備參加100米、200

米兩項比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運動員100米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為200米比賽未能站上領(lǐng)

31

獎臺的概率為一，兩項比賽都未能站上領(lǐng)獎臺的概率為一，若該運動員在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺，則

1010

他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎臺的概率是.

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】設(shè)出事件，根據(jù)事件的關(guān)系得到尸（Nu方）=P（］）+P（齊）—P（Nn月）=5，進(jìn)而求出

0（/n8）=i—p（Nu5）=l，再利用條件概率公式求出答案.

【詳解】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎臺為事件A,在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺為事件B,

則尸（司=\，尸⑻尸（舒珂='，尸⑻=1—P（可=；，

則叩U力尸⑶+P⑻一尸卬可得+/：磊,

則尸（如8）=1—耳=5，

3

尸(叫_10「3

故尸（幺忸）=

P(B)15

,'2

3

故答案為：—

5

16.已知拋物線"：>2=2x與直線/:>=-x+4圍成的封閉區(qū)域中有矩形/BCD,點46在拋物線上,

點G〃在直線/上，則矩形對角線AD長度的最大值是.

【答案】4

【解析】

【分析】由題意首先畫出圖形，不妨設(shè)為8:y=—x+f,結(jié)合圖形以及A=4+8f〉0分別算出參數(shù)/的范

圍以及目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，從而即可求解.

【詳解】如圖所示：

V

得拋物線廠與直線/的兩個交點分別為尸（2,2）,。（8,-4）,

由題意四邊形45CD是矩形，板AB/CD,且注意到/（C。）：y=—x+4

所以不妨設(shè)4§：y=—x+f,

2-0

又k°pXkcD=——x（-l）=-l,所以O(shè)P_LC。，

2—0

所以由圖可知，《0,

y2=2x1

聯(lián)立v=>y9+2y—2/=0,△=4+8%>0t>—,

y=-x+t2

因此/￡,0,

而=1]+1[,仇_%）2="]卜廠+石—-6+石]=2A=8+16/,

1^ABJ1”

由兩平行線間的距離公式可知=]嶗1]=二—87+16

2

從而即2=時+呵=g+i2/+i6=?m+56/￡12，°'

所以當(dāng)且僅當(dāng)，=0時，8。長度取最大值是忸。I=V16=4.

1Imax

故答案為：4.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是合理設(shè)參，并通過數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)的范圍也是很重要的，至于求出

目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式只需仔細(xì)計算即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在中，角A、B、。所對的邊分別為b、c,已知￡=1+2COSZ.

b

(1)證明：A=2B；

3

(2)若sinB=—,c=13,求AT!8c的面積.

5

【答案】(1)證明見解析

(2)52

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出sin(Z-B)=sinS,求出Z-8的取值范圍，可得出

A-B=B，即可證得結(jié)論成立；

(2)由￡=1+2COSZ可求得6的值，再利用三角形的面積公式可求得“的面積.

b

【小問1詳解】

證明：因為一=l+2cos/,由正弦定理得sinC—2siii8cos4=sin8，

b

即sin（4+B）-2sinScosZ=sinAcosB+cos^4sin5-2cosAsinB=sii15,

即sim4cos3-cos/sinS=sinS,故sin（4—3）=sinfi,

因為A、BG（0,7i）,所以4一5￡（-兀,兀），則sin（4—B）=sinB>0,

所以，0<A-B〈冗,所以，A-B=B或4一B+B=7l（舍），因此才=2B.

【小問2詳解】

解：因為cos/=cos2B'l-Zsin/B=1-2x［士］=—,

⑸25

故sim4=J1-cos2A=Jl-'

c143925

由一=1+2COST4=1H---=—,因為c=13,故6=—,

b25253

112524

所以,《一=52.

“BC=-2^CSUL4=2--13-3-?25

18.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,且對任意正整數(shù)小，〃都有%,+“=%+%,+2mn.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛(—1)"%｝的前〃項和S”.

【答案】(1)an=rr

2

n+〃

〃為偶數(shù)

2，

⑵S“=V

一〃2—YI

“為奇數(shù)

2

【解析】

【分析】(1)令m=1,可得4+1-4=1+2〃，用累加法即可求出數(shù)列｛%｝的通項公式.

(2)由題意分〃是偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，當(dāng)〃為偶數(shù)時，可用分組求和以及等差數(shù)列前〃項和公式,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，利用n為偶數(shù)的結(jié)論即可求解.

【小問1詳解】

由對任意整數(shù)加，〃均有%+〃加+2加〃，取加=1,得Q“+I+1+2〃，

+2

當(dāng)〃22時，=%+(出—%)+(%—。2)+…+(""一?！╰)—1+3+5+…+2^7—1二

2~n

當(dāng)〃=1時，符合上式，所以

【小問2詳解】

222

當(dāng)〃為偶數(shù)時，Sn=(一心+2^)+(-3+4^H----^]一(〃-1)2+/]

,,《3+2〃-1)+

=3+7+11+…+伽-1)=^——-----='2)

當(dāng)〃為奇數(shù)時，若”=1,則E=(—1)2%=—1,

2

n-\\n2-n-n

若心2,則S,=S,T+(-1)%,=S,「%----------n------------

22

-I2-1

且當(dāng)〃=1時，滿足與=—］」=—1.

2

n+〃

〃為偶數(shù)

綜上所述：s“=:

-n~-n

〃為奇數(shù)

19.如圖，已知正方體48GD—481Gq的棱長為明點￡滿足詼=3面，點尸是CG的中點，點G滿

--3——?

足￡>G=1G〃

（1）求證：B,￡,G,尸四點共面；

（2）求平面EWG與平面同￡尸夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

39

【解析】

【分析】（1）法1：取。2中點〃，分別連接/笈,,先證明四邊形ABFH為平行四邊形，則AH//BF，

再根據(jù)相似比可得EG//AH,則EG//BF，即可得出結(jié)論；

法2：以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系。-町2,證明的〃礪即可；

（2）利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

法1：如圖，取。A中點〃，分別連接2笈,切，因為尸為CG中點,

所以FH〃AB，且FH=AB,

所以四邊形為平行四邊形，所以Z笈//BF，

3

-DD

____DE—.3-DG21

由。E=3EN知.=3，由。G=￡G￡>I知示=苧----=3,

EA5GHLDD、

81

271FAz~?

所以一=—,所以EG〃AH,

EAGH

所以EGIIBF，所以8,￡,G,廠四點共面;

法2：如圖，以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系型,

則8（4,4,0）,E（3,0,0）,E（0,4,2）,G[0,0，m]，4（4,0,4）,

因為8^=（—4,0,2）,EG=1—3,0,|"],所以EG=[BE,所以反〃麗,

所以反E,G,尸四點共面；

【小問2詳解】

由（1）知，BE=（-l,-4,0）,A^E=（-l,0,-4）,EF=（-3,4,2）,

設(shè)平面EFG的法向量為成=(x,y,z),

m-BE=0工：]。’可取應(yīng)=(18)，

由＜一，即〈

m-BF-0

平面AXEF的法向量〃=(Q,6,C),

in-A[E=-a-4c=0

則有《可取力=(8,7,—2),

m-EF=-3a+46+2c=0

設(shè)平面EFG與平面夾角為8,

\m-n\9V13

則30=麗

9x3而一39

V13

所以平面EFG與平面AXEF夾角的余弦值為

20.已知函數(shù)/(x)=ae2x+(a-4)e-2x(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828--■).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>l時，/(x)>71na-a-4.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)分類討論，分別判斷/(X)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為求證6+。——51no-21n2>0,構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得解.

a

【小問1詳解】

/(x)=2ae2x+(?-4)ex-2=(aev-2)(2ev+1),

當(dāng)a<0時，r(x)<0,/(x)在(―叫+⑹上單調(diào)遞減；

222

當(dāng)Q〉0時，由/'(x)=0可得x=ln—,故x<ln—時，/'(、)<0,x>ln—時，/'(%)>0,

aaa

所以/(x)在［一與In：］上單調(diào)遞減，在1nj,+e］上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

由⑴知，f(x)min=/fin—|=2---21n2+21na,

<a)a

44

只需證2-----21n2+21n。>71na—a—4,即證6+a-------5Ina—21n2>0,

aa

設(shè)g(。)-6+。-----51ntz-21n2,a>1,

a

則g，(a)=l+——=1——今——L,

aaa

故1<Q<4時，g'(x)<0,4<a時，g'(x)>0,

所以g(a)在(1,4)上遞減，在(4,+⑹上遞增，

所以g(a"g(4)=9—121n2=3(3—lnl6),

又￡>2.73>16，故g(a)>0,

4

即6+?！?1na—21n2〉0成立，所以原不等式成立.

a

21.某中學(xué)在運動會期間，隨機抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計時的趣味性比賽，并對學(xué)生性別與繩子打

結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：

速度

性別合計

快慢

男生65

女生55

合計110200

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？

(2)現(xiàn)有根繩子，共有方個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有繩頭

打結(jié)完畢視為結(jié)束.

(i)當(dāng)〃=3,記隨機變量X為繩子圍成的圈的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

22"-1'n'(n-l')'

(ii)求證：這〃根繩子恰好能圍成一個圈的概率為———~L.

(2〃》

n(ad-be)2

附：K2—，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

【答案】（1）有99%的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)

23

（2）（i）分布列見解析，一；（ii）證明見解析

15

【解析】

【分析】（1）利用計算卡方進(jìn)行檢驗即可；

（2）（i）依題意，先得到X的所有可能取值，再依次求得對應(yīng)的概率即可得解；（ii）利用分步計數(shù)原理,

結(jié)合數(shù)列的累乘法與古典概型的概率公式即可得解.

【小問1詳解】

依題意，完善2x2列聯(lián)表如下，

速度

性別合計

快慢

男生6535100

女生4555100

合計11090200

故有99%的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān).

【小問2詳解】

（i）由題知，隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,

6__2

P（X=1）=9=—,P（X=2）=2c3產(chǎn)

I）C〉C1砥15I）砥15一5,

A；A；

所以X的分布列為

X123

821

P

15515

Q2i23

所以E（X）=lx—+2x—+3x—=—

v71551515

（ii）不妨令繩頭編號為1,2,3,4,…,2〃，可以與繩頭1打結(jié)形成一個圓的繩頭除了1,2外有2〃-2種可

能，

假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對剩下n-1根繩子進(jìn)行打結(jié),

令根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為%,

那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下n-1根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為,

由此可得，%=（2〃一2）%_],“?2,

所以二-==（2n-4）,...,—=2,

aa

?-2A

所以線=（2“—2）x（2“—4）x...x2=2“T?（“-1）!,

顯然%=1,故％=2"L（〃_1）!；

另一方面，對2〃個繩頭進(jìn)行任意2個繩頭打結(jié)，總共有

N=Cie；”?=色^

n\2n-n\T-n\'

21

_an_2"^.（?-l）!_2"--?!（n-l）!

所以尸一萬一—西i——（2^）!

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二小問第二步的解決關(guān)鍵是利用分步計數(shù)原理得到數(shù)列的遞推式，從而利用數(shù)

列的累乘法求得結(jié)果.

22.已知雙曲線C：「-*1（。＞0,6＞0）的焦距為6,其中一條漸近線4的斜率為日，過點&0）?＞。）

的直線/