人教A版高中數(shù)學(xué) 選修第二冊(cè) ?？碱}型練習(xí) 15 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

專(zhuān)題15等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

目錄

【題型一】等差數(shù)列概念及公式..................................................................2

【題型二】首項(xiàng)公差列方程型....................................................................3

【題型三】“高斯技巧”1：等差中項(xiàng)型...........................................................4

【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項(xiàng)和型...........................................................5

【題型五】“高斯技巧”3：首尾和...............................................................6

【題型六】比值型1：首項(xiàng)公差不定方程..........................................................6

【題型七】比值型2:雙數(shù)等差中項(xiàng)型............................................................8

【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標(biāo)不一致型.........................................................9

【題型九】比值型4：整數(shù)型....................................................................10

【題型十】前n,2n,3n項(xiàng)和應(yīng)用...............................................................12

【題型十一】數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題...................................................................13

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練.....................................................................14

培優(yōu)第二階——能力提升練.....................................................................17

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練.....................................................................19

綜述

L等差數(shù)列有關(guān)公式：

(1)通項(xiàng)公式：u=m+("-l)d；(2)前〃項(xiàng)和公式：

2.等差數(shù)列常用結(jié)論：

若｛%｝為等差數(shù)列，公差為d,前〃項(xiàng)和為S”，則有：

(1)下標(biāo)意識(shí)：若p+g=m+”,則如+?！?*+〃,”特別地，若p+q=2k,則《,+。“=2以；

(2)隔項(xiàng)等差：數(shù)列a/t，ak+m>ak+2m，…(k,加GN*)是公差為遮_的等差數(shù)列;

(3)分段等差：數(shù)列S“，S2n-S,,,S3“一S2,,,…是公差為過(guò)的等差數(shù)列；

(4)數(shù)歹吟｝是公差為苧的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式今=%+(m—分；

3..等差數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：

(1)經(jīng)整理Z=而+(四一√),則數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列□通項(xiàng)a”為一次函數(shù)：即?！?配+6(a、方為常數(shù))；

(2)經(jīng)整理，=1+伍一%數(shù)列｛飆｝是等差數(shù)列一$為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)：即S,,=∕∕+JB”(N?B為常

數(shù)).

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】等差數(shù)列概念及公式

【典例分析】

已知數(shù)列｛q,｝,｛t>,,｝,｛?,｝均為等差數(shù)列，且q+4+q=l,a2+b2+c2=3,則“/+%21+。2切=()

A.4037B.4039C.4041D.4048

【答案】C

【分析】根據(jù)｛《,+2+%｝為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】｛4｝,也,｝,｛?1｝為等差數(shù)列，???｛q+d+cj為等差數(shù)列,

｛an+?+?,｝的首項(xiàng)為q+?l+cl=1,公差d=(%+b2+c2)-(A1+?l+?)=2,

c

/.“2021+‰2∣+202ι=?÷2020×2=4041.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等差數(shù)列有關(guān)公式：

(1)通項(xiàng)公式：U=α∣+公一Dd；

八j.,n(n~?)n(a?-?^a)

(2)前〃項(xiàng)和公式：￡="0+-'節(jié)一夕=~n-

【變式訓(xùn)練】

1.若等差數(shù)列｛%｝的公差為d,b,,=can(C為常數(shù)且c#0),則()

A.數(shù)列低｝是公差為d的等差數(shù)列

B.數(shù)列物J是公差為cd的等差數(shù)列

C.數(shù)列｛即是首項(xiàng)為c的等差數(shù)列

D.數(shù)列也｝不是等差數(shù)列

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，計(jì)算%I-2，由其結(jié)果即可判斷出答案.

【詳解】由題意可知d+1一2=can+t-can=C(%+∣-”,J=c4,

所以數(shù)列仙“｝是以加為公差的等差數(shù)列，

故選:B.

2.在等差數(shù)列｛2｝中，若公差為d,%“、〃〃為數(shù)列的任意兩項(xiàng)，則當(dāng)m≠〃時(shí)，下列結(jié)論:

□am+an=(m+n)d；□alfl-an-(m-tτ)d；Ud=~~~—；□am=an+(m-n)d.

n-m

其中必定成立的有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

[答案]C

【入析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式依次討論即可得答案.

【詳解】解：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得4=4+(〃7-1)&4=4+("-1)1,，”*〃

所以4n,+4,,=2?]+(〃7+〃―2)4,am-an=(m-ri)d,d=—~—,am=an+(?m-n)d.

故1口「成立，I不成立.

故選：C

【題型二】首項(xiàng)公差列方程型

【典例分析】

在等差數(shù)列｛α,,｝中，q+4+%=15,a2+a5+ai=2l,則為+%+%的值為()

A.33B.30C.27D.24

【答案】A

【分析】用基本量4,d表示題干條件，求出q,d,即得解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

[a.+a+α=15/3α∣+9d=15[a,=-1

所以d7即J解得二C,所以4+%+q°=3q+18d=33.故選：A

[a2+a5+ai=2?[3α1+?2d=21[d=2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等差數(shù)列基礎(chǔ)思維：可以設(shè)首項(xiàng)a∣與公差d為變量，列出關(guān)于首項(xiàng)a∣與公差d的方程進(jìn)行求解

【變式訓(xùn)練】

1.已知｛4,,｝是等差數(shù)列，4+/+4=105,a2+a4+aβ=99,則公差d為()

A.6B.-6C.-2D.2

【答案】C

【分析】設(shè)｛q｝的首項(xiàng)為《，把已知的兩式相減即得解.

q+q+2d+4+4d=105

【詳解】解：設(shè)｛%｝的首項(xiàng)為q，根據(jù)題意得，

q+d+4+3d+4+54=99

兩式相減得"=-2.故選：C

2.等差數(shù)列｛〃〃｝滿足%+〃4=4,%+∕=8,則知+42=()

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】由已知，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求出首項(xiàng)與公差，可得答案.

?2aλ+5J=431

【詳解】由%+4=4,%+%=8可得Llo,,解得α=7,d=7%+%2=24+21d,

?2aλ+13d=8'42

31

代入々=(,"=：，可得.%+《2=12故選：B.

3.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，4/+念+〃3=21,。2。3=70,若m=61,則〃=()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求得生=7,進(jìn)而得到“3=10,求得公差，再求得首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式,

然后解得.

【詳解】由。/+。2+田=3。2=21,得々=70243=70,43=10,公差d=TD-7=3,

al=a2-d=4,

%=4+3(〃-1)=61,解得〃=20,故選：C.

【題型三】“高斯技巧”1：等差中項(xiàng)型

【典例分析】

等差數(shù)列｛4“｝中，若4+4+4+4(>+42=120,則3q,-q∣=()

A.42B.45C.48D.51

【答案】C

【E?析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.

【詳解】依題意｛%｝是等差數(shù)列，

%+4+/+4o+42=5/=120,4=24,

3a9-an=Q9+2%-q∣=a9+a1+an-an=2/=48.

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+...+100的計(jì)算方法。它體現(xiàn)了一下幾方面的等差數(shù)列思想

1.倒序求和思想。

2.等差中項(xiàng)思想

3.下標(biāo)和思想：：若p+q=zw+",則4"+?！?。,"+?！?/p>

【變式訓(xùn)練】

1.在等差數(shù)列｛q｝中，%+%=32,則4+%+G的值是()

A.24B.32C.48D.96

【答案】C

【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得%=16,再由％+%+4=3%即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)，%+%=2%=32,則%=16,

所以4+%+4=3%=48.故選：c

2.等差數(shù)列｛“〃｝中，。3+α√÷砧+Q7=450,求念+。廣()

A.45B.75C.180D.300

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)：若%+〃=〃+/則％,+M=4+4,運(yùn)算求解.

【詳解】｛助｝為等差數(shù)列，則。3+%+%+4+%=5。5=450,即%=90

。2+。8=2%=180故選：C.

3.等差數(shù)列｛〃〃｝中，α∕+30g+α∕5=120,則2劭一的值是()

A.20B.22C.24D.8

[答案]C

【3加】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求.

【詳解】因?yàn)椤?+3。8+田5=5。8=120,所以48=24,所以2αg-田O=Qw+〃8—4/0=48=24.

故選：C.

【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項(xiàng)和型

【典例分析】

.在等差數(shù)列｛《,｝中，已知前21項(xiàng)和521=63,則出+%+為++”20的值為()

A.7B.9C.21D.42

【答案】C

【解析】利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式可得4+%=6,即可得知=3,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛《｝的公差為d,則$21=21(4；%)=63,

所以q+%=6,即2α∣∣=6,所以％ι=3,

所以外+%+紜++α20=(α2+α20)+(?+α17)+(?+α14)+α1l

=2a11+2a11+2?！啊娄?1=7。"=7×3=21,

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用“高斯技巧”，可得等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和公式：s2n+1=(2n+l)a,,

【變式訓(xùn)練】

1.等差數(shù)列｛a,J的前”項(xiàng)和為S,,,若幾=10,貝∣J%+q∣=()

45

A.1B.-C.-D.4

33

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算

【詳解】因?yàn)橐?I*"；"")=《(a；+。”)=]0,所以為+%=：.

故選：B

2.已知等差數(shù)列｛叫，其前〃項(xiàng)和為S",%+%+%=9,則E=()

A.3B.7C.21D.42

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得6=3,而由求和公式可得S,=7%,代入可得答案.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得/+%=24,又/+%+%=9,

所以3%=9=4=3,而S]=穴"97)==7%=21故選:C.

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前,項(xiàng)和為5.，若生+%=10,則Sg=()

A.22.5B.45C.67.5D.90

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式進(jìn)行求解.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：4+佝=%+%=1。，則Sg=(&節(jié)*=45.

故選：B

【題型五】“高斯技巧”3：首尾和

【典例分析】

已知一個(gè)有限項(xiàng)的等差數(shù)列｛m｝,前4項(xiàng)的和是40,最后4項(xiàng)的和是80,所有項(xiàng)的和是210,則此數(shù)列的

項(xiàng)數(shù)為()

A.12B.14

C.16D.18

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可得α∕+α2+α3+α4=4θ,4〃+。〃2+4〃3=80,倒序相加可得”/+?！?30,再代

入等差數(shù)列求和公式即可得解.

【詳解】由題意知。/+。2+。3+。4=40,

an+an∣+an2÷αΛ-3=8O,兩式相加得"∕+α”=30.

又因?yàn)镾jl=幽押=拳=210,所以"=14.故選：B

【變式訓(xùn)練】

1.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且％+。8="，SlO=Prn,則P=()

A.3B.5C.6D.10

【答案】B

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前”項(xiàng)和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

由a,+%="?，SIo=p%可得，510==5(?+?)=5ffl=p∕π,則P=5.

故選：B.

2.等差數(shù)列｛q｝中，a,+a2+a3=-24,al8+al9+a20=78,則此數(shù)列的前20項(xiàng)和等于()

A.160B.180C.200D.220

【答案】B

【解析】把己知的兩式相加得到4+%。=18,再求S2。得解.

【詳解】由題得(〃1+〃20)+(%+。19)+(。3+。18)=一24+78=54,

所以3(a1+a2o)=54,.?.q÷a20=18.

20

所以S20=?y(q+/O)=IoXI8=180.故選：B

3.等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為M若如=1,‰,∕+‰÷‰+∕=27,且Sm=45,則加=()

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【彳析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得〃加=9,再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.

【詳解】?am.]+am+anuι=21,得3am=27,am=9,

又SzW=Mq+4)=止2=也=5*45,

222

所以〃?=9.故選：B.

【題型六】比值型1：首項(xiàng)公差不定方程

【典例分析】

設(shè)S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若色?=J,則卜.

湖北省襄陽(yáng)市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

【答案】《22

【分析】先設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為d,根據(jù)題意，得出首項(xiàng)和公差直接的關(guān)系，再由求和公式，即可求出

結(jié)果.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

E3a.+3d3,

因?yàn)樯?=彳，所以七7=7，即4=-9d,

a24al+a4

?8x7

SK^a'+^~a8q+28d-72d+28d

所以」二------乙——=―!-------22

1S4Jx3,4%+6d=石■.故答案為:

44a.H----a1-364+6415

12

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和公式，轉(zhuǎn)化出關(guān)于首項(xiàng)和公差的比值關(guān)系（不定方程），代入即可化簡(jiǎn)求比值

【變式訓(xùn)練】

1.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若q≠0,S2=α4,則詈=（）

QCJ

A.1B.-C.-D.-

939

【答案】B

【分析】由。產(chǎn)O,s?=%可得4=2d,將%,S3都用d表示出來(lái)，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)椋??！ǎ秊榈炔顢?shù)列，所以S?=4,則2ai+d=al+3dt所以4=2d,所以

aηax+6d8d8

W=3q+3d=母=》微選:B-

2.設(shè)等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,,.若&=25”，則F=（）

a4

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列的前加項(xiàng)和公式，直接化簡(jiǎn)，即可求解.

【詳解】由SiS“，得"Ie曲詈λ吟曲,

故選：A

S.

3.已知等差數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為S“，且則資等于（)

?8J

1113

C

A.8-B.9-3-D.一

10

【答案】D

4cι,+6J1S

【分析】山題設(shè)及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可得尸、^7=z，求a，4的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求Us?即可.

O6Z∣+Zo?J?∣6

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

S444+6d15SR8ai+28d3

由題設(shè)，τr=δ,02,=τ,可得4=7d,E-=TT―LlOnJ=G.故選:D.

S88q+28d32S1616%+12Od10

【題型七】比值型2：雙數(shù)等差中項(xiàng)型

【典例分析】

/、r、S,2〃則上=(

設(shè)等差數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別是S“，Tnf若m=詔方)

?

17CIl22C12

A.—B.—C.—D.—

20201717

【答案】B

【分析】利用*=率求解.

7Il

【詳解】解:因?yàn)榈炔顢?shù)列囚,｝,抄“｝的前”項(xiàng)和分別是S,Z,

al+anll(q+q∣)

所以生=-2_=------2-------=3L=二^_=Jl故選.B

44+311(。+/)633+7203

22

【提分秘籍】

基本規(guī)律

雙等差數(shù)列：

a

n_*^2Λ-I

等差數(shù)列｛""｝和｛〃｝的前〃項(xiàng)和分別為S"和7"，則2JT

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)等差數(shù)列｛叫與間的前"項(xiàng)和分別為S“和，，并且對(duì)于一切"CN+都成立，則去=()

37-119

A.-B.—C.一D.

715341

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可求γ的值.

r∕fjj34一Sll2x11-319

L詳解】人一-4x11-3-41'故選：D'

4荒T

Sn=3n-i則普=(

2.等差數(shù)列｛/｝、也｝的前”項(xiàng)和為%Tn,且彳-2∕ι+3')

%

31C29-2956

A.—B.—C.-----D.

27232341

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)片=產(chǎn)■得解

Dn12n-?

【詳解】等差數(shù)列｛4｝、｛〃｝的前”項(xiàng)和為5“，

由性質(zhì)腎=卜得=M

‘2"-1"10/20T’19

又??=_生15^=3><19-1=56

T112〃+3'T192×19+341'

3.設(shè)S,,,刀,分別是等差數(shù)列｛叫，間的前〃項(xiàng)和，若%=2用，則〉

79

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

9(q+%)

【詳解】試題分析：由%=24,得詈=2,所以斗=c∕2?=g=2,故選A.

?Tv9(q+%)?5

2

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前.〃項(xiàng)和公式.

【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標(biāo)不一致型

【典例分析】

S“=2"+∣?

設(shè)等差數(shù)列｛“"｝與等差數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和分別為S",K若對(duì)于任意的正整數(shù)〃都有13/7-1,則%

()

A.史B.衛(wèi)C,??D.史

52504846

【答案】B

【分析】先設(shè)S,,=(2"+l)%Tιl=(2>n-?-)nt,由4=以-舄，％=G-4直接計(jì)算終即可.

【詳解】設(shè)S,,=(2"+l)”,%=(3,L1)H,F0.則q=S8-S7=136∕-105r=31∕,

l431

?9=7；-7i=234r-184z=50f,所以j=否.故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

任一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，可以有函數(shù)關(guān)系：

Sn=In2+(al—3)n,數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列：Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)：即Sn=An2+Bn(A、B為常

數(shù))。

所以，等差數(shù)列｛""｝和｛"｝的前”項(xiàng)和分別為S”和7”，可以利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和為一元二次型(既

約型)

【變式訓(xùn)練】

,,、A,2〃+1"+?

1.已知兩個(gè)等差數(shù)列｛4,,｝和也｝的前"項(xiàng)和分別為A”和8“，且?=一二，則[=()

iiI-tτɑ?I-十

26

D.

57

【答案】D

【分5】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)與前〃項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可求解.

b2+?瓦+比=2Bq=29+4=26

|(…/耳=三礪KH故選：D

【詳解】?a3+a5+a1

2.已知均為等差數(shù)列的｛%｝與｛么｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，T?,且率=W則/普的值為()

1H九+1々十4()

【答案】A

【分析】設(shè)S,=E(2"+3),4=也(〃+1),由%=S5-S4,bb=Tf,-T5,即可求解結(jié)果.

,a+%2a.&S2〃+3

因?yàn)?λ?產(chǎn)=奈=,，又因?yàn)閔tt=一TF

【詳解】,

t2+t>l02%b6Tnn+1

所以可設(shè)S“=kn(2n+3),Tn=An(n+l),

則氏=S5??S4=65k-44k=21k,bβ=Tf,-T5=42k-30k=12k

421a,+a7

所以廣=不，即六魯li=￡故選：A

b

?12I+bi04

,?z?S,,2n恁

3.設(shè)等差數(shù)列｛(｝,他,｝的前〃項(xiàng)和分別是s,,z,若b則優(yōu)=()

322

A.1B.—C.—D.2

417

【答案】A

【分析】先由題設(shè)條件求得S“與刀,的表達(dá)式，再求得見(jiàn)與2的表達(dá)式，即可求得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)可令邑=2而2,Tπ=λn(3n+7)tΛ≠0,

又當(dāng)”..2時(shí)，an=Sn-Sn_x=2(2n-1)Λ,bn=Tn-T?_t=2(3n+2)λ,

:.a6=222,仄=222,消=1.故選：A.

【題型九】比值型4：整數(shù)型

【典例分析】

已知兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝和低｝的前〃項(xiàng)和分別為S.和7"，且自='詈，則使得去為整數(shù)的正整數(shù)”的值

為.

【答案】2、4、14

【分析】利用等差數(shù)列前”項(xiàng)和公式求得*的表達(dá)式，結(jié)合*為整數(shù)求得正整數(shù)”的值.

b,,b,.

(2"T)(q+%τ)

【詳解】由題意可得2=7°n/二Γ~r'：”一?：“=?，

T211.1(2"-1)(4+T,ι)(2n-l)?,,bn

2

冏4=52”「3(2〃-1)+393〃+1815

,

bnQT(2n-l)+3?+1'n+l

由于今為整數(shù)，則〃+1為15的正約數(shù)，則〃+1的可能取值有3、5、15,

因此，正整數(shù)”的可能取值有2、4、14.

故答案為：2、4、14

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一般比值正數(shù)型，主要以分離常數(shù)為處理技巧。

【變式訓(xùn)練】

1.已知等差數(shù)列｛4｝和等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，7；且("+1)S,,=(7"+23)T;,則使會(huì)為整數(shù)的正

n

整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是()

A.2B.6C.4D.5

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)?，進(jìn)而求得符合題意的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù).

b,.

、/、S7∕?+23

【詳解】依題意(z〃+l)S“=(7〃+23)&yπ=-j-,

a+

∣?-1.(2n-i)

q=2?！耙?+色,一_2')

b

n2b.bl+b2n,l1+%⑶])TLIT

7(2"-l)+2314n+167/7+8^8

(2〃—1)+12nnn

所以?為整數(shù)的正整數(shù)〃為124,8,共4個(gè).故選：C

blt

2.已知兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝和｛〃,｝的前"項(xiàng)和分別為A“和紇，且去=W*=_____,F為整數(shù)的正整

dι〃十J%Dn

數(shù)〃的取值集合為.

【答案】9｛2,3,5,11｝

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前”項(xiàng)和公式可得乎=A,然后利用整數(shù)知識(shí)可得”的取值.

On?2n-l

A7〃+45

【詳解】??1l1=--T

BZtn+3

,a5_Iai_(4+%匕=a=7x9+45_108

?石F=(g)x1瓦=9+3F=

4"-∣

%=比I=￡=7(2〃-1)+45=KT=3衛(wèi)

b?AtL%-(2n-l)+32〃+2〃+1”+1'匕〃危奴’

2〃—1

即〃+1=1(舍去)或屋+1=3或〃+1=4或〃+1=6或〃+1=12,從而/7=2,3,5,11,

集合為{2,3,5,11}

故今為整數(shù)的正整數(shù)〃的取值集合為｛2,3,5,11｝.

故答案為：9；｛2,3,5,11｝.

3.已知等差數(shù)列｛%｝和色｝的前〃項(xiàng)和分別為S“和7”，且苔=一則使得/為整數(shù)的正整數(shù)%的個(gè)數(shù)

是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列的求和公式，得到q=盤(pán)號(hào)，4=鼻，求得魯=6+與，即可求解.

2κ-I2κ-??K

【詳解】因?yàn)?=""，所以4=M，同理可得仇=梟；，

2ZK-I2κ-1

ak_$2，-1_6(2"l)+38=6I16

則bjA-J(21)+1-k

當(dāng)％=1,2,4,8,16時(shí)，詈為整數(shù),即滿足條件的"的個(gè)數(shù)為5.

故選：C.

【題型十】前n,2n,3n項(xiàng)和應(yīng)用

【典例分析】

在等差數(shù)列｛4｝中，前”項(xiàng)和為S"，且率=3,則率=（）

d8

45

A.-B,一C.2D.3

33

【答案】C

【分析】山名=3,設(shè)S4=/。/。），可得$8=3,,山等差數(shù)列的性質(zhì)可知S八S8-S4,$-S,成等差數(shù)列,

從而可得20-S?,）=Sq+-",化簡(jiǎn)可得結(jié)果

【詳解】設(shè)$=（片0）,可得SK=美，

由等差數(shù)列的前1項(xiàng)和的性質(zhì)可知邑、S8-S4,%-Ss成等差數(shù)列，

則20-SJ=S,+（無(wú)一S。），解得L=3（S「SJ=&,

因此，WId=2.故選：c.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等差數(shù)列前n項(xiàng)和有“分段等差”性質(zhì)：

數(shù)列S“，S2n-S,,,S3,,-S2",…是公差為過(guò)的等差數(shù)列

【變式訓(xùn)練】

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5.，若S,,=2,S2.=6,則L,=()

A.8B.12C.14D.20

【答案】D

【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)去求54?的值

【詳解】等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,S“=2,52,,-S,,=6-2=4

則S“，S2π-Sn,Sin-S2n,”構(gòu)成首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列

則S4“=Sn+(S2ll-S,,)+(SM-S2n)+(S4“-SM)=2+4+6+8=20

故選：D

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為5"，若&=9,S6=63,則%+G+%等于()

A.63B.71C.99D.117

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列的前”項(xiàng)和性質(zhì)，求出S1),進(jìn)而得到％+%+%.

【詳解】由等差數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和性質(zhì)，

得：S,,S6-S3,Sg-56也成等差數(shù)列,

Bp2(56-S3)=53+59-56,

又因邑=9,S(i=63,則解得Sg=162,

因此%÷?+%=*S9-S6=162-63=99.

故選：C.

3.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“且q=d=9,若邑"一邑”=52“-E,+729,則〃的值為()

A.8B.9C.16D.18

［答案］B

［?1結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，從而求得正確答案.

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,且q=d=9,

若S.M-S?,,=$2,-5,,+729,

?π÷∣+?n÷2++%，，=凡“+凡+2++/，，+729，

?,÷.+%，，+2++%，-(%+，+4+2++4，，)=729，

“dx"=x9=729,〃=9.故選：B

【題型十一】數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題

【典例分析】

北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)隙積術(shù)，是研究某種物品按一定規(guī)律堆積起來(lái)求其總數(shù)問(wèn)題.南宋數(shù)

學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，發(fā)展了隙積術(shù)的成果，對(duì)高階等差數(shù)列求和問(wèn)題提

出了一些新的垛積公式.高階等差數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)

有二階等差數(shù)列：2,3,5,8,12,17,23…則該數(shù)列的第41項(xiàng)為()

A.782B.822C.780D.820

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和累加法求通項(xiàng)可求解.

【詳解】設(shè)該數(shù)列為｛q｝.

由題可知,數(shù)列｛。向-。.｝是以生-4=1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列，

所以%-α.=1+(〃T)XI=",

+aaaa

所以(4-4)+(q_4)+(n+t~n)=n+t~}=1+2++n,

〃5+1)"5+l)I2

所以α,“∣-4,所以4+1

2-2~

所以％=^-+2=822,故選:B.

【變式訓(xùn)練】

1.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷

雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為33

尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為108尺，則谷雨日影長(zhǎng)為（）

A.5.5B.8C.12D.16

【答案】D

【分析】由題意可得4+4+%=3339=108,解方程組求出q,d,從而可求得答案

【詳解】解：等差數(shù)列的公差為d,由題意可得

al+a4+a1=33-a÷43dJ=l1l2,解得q=8

59=108d=?

所以q=8+〃-1=”+7,

所以谷雨日影長(zhǎng)為4=9+7=16,

故選：D

2.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有米二百四十石，令甲，乙，丙、丁，戊五人遞差

分之，要將甲、乙二人數(shù)與丙、丁，戊三人數(shù)同.問(wèn)：各該若干？其大意是：現(xiàn)有大米二百四十石，甲，乙，

丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差數(shù)列，要使甲，乙兩人所得大米重量與丙，丁，戊三人所得大米重

量相等，問(wèn)每個(gè)人各分得多少大米？在這個(gè)問(wèn)題中，丁分得大米重量為（）

A.32石B.40石C.48石D.56石

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列設(shè)甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量a-2√,a-d,a,a+d,a+2d,根據(jù)已知條

件列方程求參數(shù)。、d,即可求丁分得大米重量.

【詳解】設(shè)甲，乙，丙，丁，戊所得大米分別為a-27,a-d,a,a+d,a+2d,

依題意，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,

5l,a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5?=240,解得a=48,

綜上，可得d=-8,

丁分得大米重量為a+4=40（石），故選：B.

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.己知伍“）是等差數(shù)列，且2%=為+3,則%=（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分病】結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由2%=%+3得，2（q+7"）=4+8d+3,

則4+6d=3=%.故選：B.

2.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若%=1,%+4=8,則Sg=（）

A.60B.62C.63D.81

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式直接求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為心

a1+d=1a1+d=1

由題可得,即21+5d=8，解得

4+2d+4+3d=8d=2

所以數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式4=-l+2(n-l)=2n-3,

所以Sg=曳畢Q=63.故選：c.

3.已知數(shù)列｛叫與色｝均為等差數(shù)列，且%+d=4,%+?,=8,則為+以=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)槊?以=4,%+d=8,

所以?xún)?nèi)+“5+“5+?9=12,

即a3+a5+b5+b9=12,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知為+%+4+4=2%+25=12,

所以4+4=6.故選:B.

4.設(shè)等差數(shù)列｛q