第四單元多邊形的面積（預(yù)習(xí)學(xué)案） 2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè) 北師大版（圖片版無(wú)答案）

/第四單元多邊形的面積（預(yù)習(xí)學(xué)案）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解多邊形的定義，掌握多邊形的基本性質(zhì)。2.學(xué)會(huì)計(jì)算三角形的面積，并能熟練運(yùn)用。3.學(xué)會(huì)計(jì)算四邊形的面積，并能熟練運(yùn)用。4.學(xué)會(huì)計(jì)算梯形的面積，并能熟練運(yùn)用。5.學(xué)會(huì)計(jì)算其他多邊形的面積，并能熟練運(yùn)用。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握多邊形的基本性質(zhì)，學(xué)會(huì)計(jì)算三角形、四邊形、梯形等多邊形的面積。2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解多邊形面積公式的推導(dǎo)過程，熟練運(yùn)用公式計(jì)算多邊形的面積。三、學(xué)習(xí)內(nèi)容1.多邊形的定義及性質(zhì)（1）多邊形的定義：多邊形是由若干條線段依次首尾相接圍成的封閉平面圖形。（2）多邊形的基本性質(zhì)：①多邊形有且僅有兩條平行邊。②多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）×180°，其中n為多邊形的邊數(shù)。③多邊形的外角和為360°。2.三角形的面積（1）三角形面積公式：S=1/2×底×高（2）三角形面積公式的推導(dǎo)過程：①等腰三角形：將等腰三角形沿底邊的中線翻折，使其與原圖形重合，得到一個(gè)平行四邊形。②直角三角形：將直角三角形沿斜邊翻折，使其與原圖形重合，得到一個(gè)矩形。③一般三角形：將一般三角形分割成兩個(gè)直角三角形，分別計(jì)算面積后相加。3.四邊形的面積（1）矩形面積公式：S=長(zhǎng)×寬（2）平行四邊形面積公式：S=底×高（3）菱形面積公式：S=1/2×對(duì)角線1×對(duì)角線24.梯形的面積（1）梯形面積公式：S=1/2×(上底下底)×高（2）梯形面積公式的推導(dǎo)過程：①將梯形分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)矩形，分別計(jì)算面積后相加。②利用梯形的中位線，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，計(jì)算面積。5.其他多邊形的面積（1）正五邊形、正六邊形等正多邊形的面積：通過分割成若干個(gè)三角形，計(jì)算面積后相加。（2）圓環(huán)、扇形等組合圖形的面積：通過分割成若干個(gè)基本圖形，計(jì)算面積后相加。四、學(xué)習(xí)方法1.預(yù)習(xí)課本內(nèi)容，理解多邊形的定義及性質(zhì)。2.學(xué)習(xí)三角形、四邊形、梯形等多邊形的面積公式，并掌握推導(dǎo)過程。3.通過例題和練習(xí)題，熟練運(yùn)用多邊形面積公式計(jì)算面積。4.學(xué)會(huì)分析復(fù)雜多邊形的構(gòu)成，將其分割成基本圖形，計(jì)算面積。五、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)1.能否理解多邊形的定義及性質(zhì)？2.能否熟練運(yùn)用三角形、四邊形、梯形等多邊形的面積公式？3.能否分析復(fù)雜多邊形的構(gòu)成，計(jì)算面積？4.能否通過例題和練習(xí)題，鞏固多邊形面積的計(jì)算方法？六、課后作業(yè)1.計(jì)算以下多邊形的面積：（1）一個(gè)三角形，底為10cm，高為6cm。（2）一個(gè)矩形，長(zhǎng)為8cm，寬為5cm。（3）一個(gè)平行四邊形，底為12cm，高為7cm。（4）一個(gè)梯形，上底為5cm，下底為10cm，高為8cm。2.畫出一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形，計(jì)算它們的面積。3.畫出一個(gè)圓環(huán)和一個(gè)扇形，計(jì)算它們的面積。4.總結(jié)多邊形面積的計(jì)算方法，用自己的話描述。5.預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容：多邊形的體積。在以上的預(yù)習(xí)學(xué)案中，需要特別關(guān)注的是多邊形面積公式的推導(dǎo)過程，因?yàn)檫@是理解和運(yùn)用公式計(jì)算面積的關(guān)鍵。以下將詳細(xì)補(bǔ)充和說明三角形、四邊形、梯形等多邊形面積公式的推導(dǎo)過程。1.三角形面積的推導(dǎo)三角形面積公式的推導(dǎo)可以從等腰三角形、直角三角形和一般三角形三種情況進(jìn)行。（1）等腰三角形：考慮一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，D是底邊BC的中點(diǎn)。將三角形ABC沿AD翻折，使其與三角形ABD重合，形成平行四邊形ABDC。由于AD是BC的中線，所以AD=BC。平行四邊形ABDC的面積是底乘以高，即S平行四邊形ABDC=AD×AC。而三角形ABC的面積是平行四邊形ABDC面積的一半，因此S三角形ABC=1/2×AD×AC=1/2×BC×AC。（2）直角三角形：考慮一個(gè)直角三角形ABC，其中∠C是直角，BC和AC是直角邊，AB是斜邊。將三角形ABC沿斜邊AB翻折，使其與三角形ABC重合，形成矩形ACBE。矩形的面積是長(zhǎng)乘以寬，即S矩形ACBE=AC×BC。而三角形ABC的面積是矩形ACBE面積的一半，因此S三角形ABC=1/2×AC×BC。（3）一般三角形：考慮一個(gè)一般三角形ABC，通過點(diǎn)A作高AD垂直于BC，交BC于點(diǎn)D。三角形ABC可以分割成兩個(gè)直角三角形ABD和ACD。根據(jù)直角三角形的面積公式，S三角形ABD=1/2×AB×AD，S三角形ACD=1/2×AC×AD。因此，S三角形ABC=S三角形ABDS三角形ACD=1/2×AB×AD1/2×AC×AD=1/2×(ABAC)×AD=1/2×BC×AD。2.四邊形面積的推導(dǎo)四邊形中，矩形、平行四邊形和菱形的面積公式推導(dǎo)較為簡(jiǎn)單。（1）矩形：矩形的面積公式是S=長(zhǎng)×寬。這是因?yàn)榫匦蔚膶?duì)邊平行且相等，所以可以將矩形看作是一系列相等寬度的矩形條拼接而成，每個(gè)矩形條的面積就是寬×高。（2）平行四邊形：平行四邊形的面積公式是S=底×高。這是因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢钥醋魇且粋€(gè)矩形沿著一條高剪開并平移得到的，所以面積不變。（3）菱形：菱形的面積公式是S=1/2×對(duì)角線1×對(duì)角線2。這是因?yàn)榱庑慰梢钥醋魇莾蓚€(gè)相等的三角形拼接而成，每個(gè)三角形的底是菱形的一條對(duì)角線，高是另一條對(duì)角線的一半。3.梯形面積的推導(dǎo)梯形面積的推導(dǎo)可以通過分割法和梯形的中位線兩種方法進(jìn)行。（1）分割法：考慮一個(gè)梯形ABCD，其中AB和CD是平行邊，AD和BC是非平行邊。通過點(diǎn)E作高，將梯形分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)矩形。三角形ABE和CDE的面積分別是S三角形ABE=1/2×AB×AE，S三角形CDE=1/2×CD×DE。矩形的面積是S矩形BCFE=BC×EF。因此，S梯形ABCD=S三角形ABES矩形BCFES三角形CDE=1/2×AB×AEBC×EF1/2×CD×DE。由于AE=DE（高），所以S梯形ABCD=1/2×(ABCD)×AE=1/2×(ABCD)×EF。（2）中位線法：考慮一個(gè)梯形ABCD，其中AB和CD是平行邊，M是AB和CD的中點(diǎn)，MN是梯形的中位線。梯形可以看作是由兩個(gè)三角形ABM和CDM拼接而成，每個(gè)三角形的底是梯形的一條平行邊，高是中位線的長(zhǎng)度。因此，S梯形ABCD=S三角形ABMS三角形CDM=1/2×AB×MN1/2×CD×MN=1/2×(ABCD)×MN。通過以上推導(dǎo)，我們可以看到多邊形面積公式的推導(dǎo)過程是基于幾何圖形的性質(zhì)和構(gòu)造進(jìn)行的。理解這些推導(dǎo)過程有助于學(xué)生更好地掌握面積公式的應(yīng)用，并在解決實(shí)際問題時(shí)能夠靈活運(yùn)用。在理解了三角形、四邊形和梯形面積公式的推導(dǎo)過程后，我們可以進(jìn)一步探討其他多邊形面積的求解方法，以及如何將這些知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。4.其他多邊形面積的推導(dǎo)（1）正多邊形：正多邊形的面積計(jì)算通常需要將其分割成若干個(gè)三角形。例如，正五邊形可以分割成五個(gè)等腰三角形，每個(gè)三角形的底是正五邊形的一邊，高可以通過作垂線找到。正六邊形可以分割成六個(gè)等邊三角形，每個(gè)三角形的面積可以通過公式S=1/2×邊×高計(jì)算。對(duì)于其他正多邊形，可以采用類似的方法進(jìn)行分割和計(jì)算。（2）圓環(huán)和扇形：圓環(huán)可以看作是一個(gè)大圓和一個(gè)小圓組成的組合圖形，其面積可以通過大圓的面積減去小圓的面積得到。扇形的面積是圓心角所對(duì)的圓弧與兩條半徑所圍成的部分，其面積可以通過公式S=1/2×半徑2×圓心角（弧度制）計(jì)算。5.應(yīng)用多邊形面積公式解決實(shí)際問題在實(shí)際問題中，多邊形面積的計(jì)算往往需要先確定多邊形的尺寸，然后選擇合適的面積公式進(jìn)行計(jì)算。以下是一些常見的實(shí)際問題：（1）土地測(cè)量：在農(nóng)業(yè)或建筑行業(yè)中，需要計(jì)算不規(guī)則地塊的面積。這通常涉及到將地塊分割成多個(gè)三角形、四邊形或梯形，然后分別計(jì)算每個(gè)部分的面積，最后將這些面積相加得到總面積。（2）房屋裝修：在家庭裝修中，計(jì)算地板或墻壁的面積是常見的需求。這些面積可以通過測(cè)量長(zhǎng)度和寬度，然后應(yīng)用矩形或平行四邊形的面積公式來(lái)計(jì)算。（3）園林設(shè)計(jì)：在園林設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)師可能需要計(jì)算不同形狀的花壇或水塘的面積。這可以通過將不規(guī)則的多邊形分割成基本形狀，然后計(jì)算每個(gè)部分的面積來(lái)實(shí)現(xiàn)