全國初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課一等獎《用列舉法求概率》教學(xué)設(shè)計

《25.2用列舉法求概率》教學(xué)設(shè)計授課教師：XXXX中學(xué)XXX教材：《人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》九年級上冊第二十五章《概率初步》第二節(jié)第一課時教學(xué)內(nèi)容的說明教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是列舉法求概率的第一節(jié)課，通過列舉所有等可能的結(jié)果來計算隨機事件發(fā)生的概率.在教學(xué)過程中要盡量鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生主動探究和構(gòu)建知識結(jié)構(gòu).利用分類的方法有序地列舉，親身經(jīng)歷簡單枚舉、列表和畫樹狀圖等方法的形成過程，并在應(yīng)用中逐漸加深理解.學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)這節(jié)課的教學(xué)對象是義務(wù)教育階段的初中三年級學(xué)生，授課班級是數(shù)學(xué)分層教學(xué)的A班.該班同學(xué)學(xué)習(xí)能力較強,思維活躍，對于課堂教學(xué)所用到的背景問題——掃雷游戲規(guī)則熟悉并有一定的游戲?qū)崙?zhàn)經(jīng)驗.教學(xué)目標(biāo)的確定根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容和學(xué)生的情況我確定了如下教學(xué)目標(biāo)：1．在具體情境中進一步理解隨機事件的特征，初步學(xué)會利用列舉法（簡單枚舉、列表、畫樹狀圖）估計隨機事件發(fā)生的概率.2．利用分類方法合理列舉隨機事件所有可能發(fā)生的結(jié)果，提高化繁為簡的能力，發(fā)展思維的條理性.3.解決復(fù)雜問題時,經(jīng)歷猜測、探索、計算、驗證等數(shù)學(xué)活動的過程.培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.4．在利用概率解決某些實際問題的過程中增強應(yīng)用意識,培養(yǎng)主動探究、建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)及勇于探索的學(xué)習(xí)精神；教學(xué)重點：運用列舉法（簡單枚舉、列表、畫樹狀圖）計算隨機事件發(fā)生的概率.教學(xué)難點：進一步明確隨機事件的具體特征,利用有序分類的方法合理列舉隨機事件所有可能發(fā)生的結(jié)果.教學(xué)方法和手段教學(xué)方法：啟發(fā)式和探究式.教學(xué)手段：多媒體.教學(xué)過程的設(shè)計教學(xué)過程1.設(shè)置情境引入新課調(diào)查學(xué)生對掃雷游戲的了解情況，并讓學(xué)生在9×9且藏有10顆地雷的棋盤上演示一局掃雷游戲的操作過程.讓學(xué)生邊進行游戲邊講解游戲的規(guī)則以及游戲中進行決策的思考過程.適時引導(dǎo)學(xué)生觀察上述過程，并提出問題：剛才在掃雷游戲中,多數(shù)時候決策都是確定性的,而有時的操作是需要帶有隨機性的.在一個9×9個方格的正方形雷區(qū)中，隨機埋藏著10顆雷，每個方格內(nèi)最多只能藏1顆雷.在游戲開始時隨機地點擊一個方格，點擊后出現(xiàn)了如圖所示的情況.例如：在下一步點擊時要盡可能地避開雷，那么應(yīng)點擊紅框內(nèi)的區(qū)域，還是紅框外的區(qū)域？小結(jié)：從生活中挖掘數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的眼光重新看待以前沒有關(guān)注、思考的問題，數(shù)學(xué)讓認(rèn)識過程更加深入.進行掃雷游戲,每一步都是確定性的邏輯判斷，可以看出掃雷游戲蘊含著確定性數(shù)學(xué)的模型，同時，有時決策又帶有隨機性，因此掃雷游戲也蘊含著或然性數(shù)學(xué)的模型.對存在的不確定的情況進行決策，需要借助研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具---概率.因此,我們今天來研究《用列舉法求概率》.【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)主要是創(chuàng)設(shè)情境，在實際問題中讓學(xué)生感受研究概率的必要性——幫助人們進行決策，自然引入課題用列舉法求概率.選擇掃雷游戲作為本節(jié)課討論問題的背景，理由如下：現(xiàn)實性.問題來源于學(xué)生的生活,確實是學(xué)生實際生活中所接觸到的問題.挑戰(zhàn)性.掃雷游戲中的縝密的推理對于學(xué)生思維是一種挑戰(zhàn).趣味性.游戲?qū)W生多次玩過，并且有一定的思維含量，同時對學(xué)生而言有一定的挑戰(zhàn)，因此，學(xué)生會感覺比較有趣味.普適性.幾個班級的試講發(fā)現(xiàn)多數(shù)同學(xué)是玩過掃雷游戲的并且熟悉游戲的規(guī)則.在剛才引例中，計算上述隨機事件的概率比較簡單的原因在于隨機事件的結(jié)果是有限等可能的，并且產(chǎn)生結(jié)果只需要一個步驟.這時，我們只需要簡單的枚舉就可以確定可能發(fā)生的結(jié)果總數(shù)以及隨機事件中所包含的結(jié)果數(shù),從而也就可以求得它的概率.那么，對于那些兩步或兩步以上才能產(chǎn)生結(jié)果的隨機試驗，要去計算其概率又該如何進行呢？比如，在上述的情況下，考慮后面兩步都沒有擊中雷的概率有多大？2.經(jīng)歷過程形成方法為了提供一個類似于拋硬幣的簡單模型，課前讓學(xué)生編制一個新型掃雷游戲，2×2的方格表，每個格子獨立，產(chǎn)生或不產(chǎn)生雷的可能性都是.如果開局點擊到雷時，游戲結(jié)束；如果點擊不到雷時，方格出現(xiàn)數(shù)字是周圍的雷的數(shù)量.在課上由游戲設(shè)計者說明新版“掃雷”游戲的規(guī)則.【設(shè)計意圖】同學(xué)重新設(shè)計新型“掃雷游戲”目的在于提供一個類似于“兩次拋硬幣”的模型，這種設(shè)計如果是用原來掃雷游戲是無法實現(xiàn)的.同時，在課前讓學(xué)生自己動手設(shè)計程序，體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，素材來源于同學(xué)，更為喜聞樂見，并且對于其他同學(xué)也是一種激勵作用.學(xué)生詳細(xì)介紹編制的程序，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動，更為重要的是這個程序?qū)τ诤罄m(xù)例題的設(shè)計是關(guān)鍵.例1.在新版掃雷的規(guī)則下.求下列事件的概率：（1）連續(xù)兩局開局都點擊到雷；【設(shè)計意圖】進一步讓學(xué)生理解隨機事件的特征,理解隨機實驗中的所有結(jié)果(即基本事件集)以及隨機事件中包含的結(jié)果(即隨機事件中包含的基本事件集).從方法的角度開放的讓學(xué)生去想不重不漏的列舉的方法.在這個過程中，體會要不重不漏的列舉最關(guān)鍵的是要有好的分類標(biāo)準(zhǔn).學(xué)生列舉方法預(yù)設(shè)：1.簡單枚舉有有，有無，無有，無無2.列表法第2局第1局有無有（有，有）（有，無）無（無，有）（無，無）3.樹狀圖無無有有無有無第一局第二局4.分步計數(shù)原理直接計算出隨機事件中包含的基本事件有2×2=4個，而每個基本事件是等可能的，而滿足連續(xù)兩局開局都點擊到雷這一條件的基本事件有1個，因此直接計算出概率為.條件概率直接考慮第一局點擊到雷的概率是，而第二局點擊到雷的概率也是，那么，連續(xù)兩局開局都點擊到雷的概率就是.學(xué)生用的簡單枚舉、列表、樹狀圖等方法是重在操作，列表法和樹狀圖更為直觀一些，其目的在于不重不漏的找到所有可能情況.而滲透用分步計數(shù)原理計數(shù)的方法，則體現(xiàn)了從方法操作到理性思考的飛躍.小結(jié)：簡單枚舉、列表、樹狀圖等方法幫助我們不重不漏的找到所有可能情況，其中列表、樹狀圖呈現(xiàn)結(jié)果更為直觀.同時肯定分步計數(shù)原理或條件概率的做法.我們發(fā)現(xiàn)樹狀圖從上向下看，列舉的是所有可能的情況.而橫向看第一層表示第一局的結(jié)果有兩種，第二層則表示在第一局的兩種結(jié)果的基礎(chǔ)上，第二局又會各有兩種不同的情況，因此,總共的結(jié)果有四種.也可以看成分步計數(shù)原理的一種直觀表示.教師繼續(xù)追問:一局開局點擊到雷,一局開局點擊不到雷的概率是多少？【設(shè)計意圖】進一步落實上述各種方法.就問題設(shè)計的難度而言，比起例題1第（1）問，此隨機事件中包含了兩種結(jié)果(即兩個基本事件)計算此隨機事件的概率也更為復(fù)雜一些.（3）連續(xù)三局開局有兩局點擊到雷有一局點擊不到雷.【設(shè)計意圖】在這里引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，體會列表法的適用范圍只能是兩步得到結(jié)果的隨機試驗，而樹狀圖可以化解這個矛盾.樹狀圖每層是實驗的步驟，可以有順序的有步驟的列舉.從上至下每條路徑，都是一種可能的結(jié)果.如果是三步，或者三步以上的才能得到結(jié)果的隨機實驗，難以用列表法，但樹狀圖可以畫多層，可以看出樹狀圖的適用范圍更廣.之所以沒有設(shè)計求連續(xù)三局都是有雷這種隨機事件的概率，是由于這種隨機事件包含的結(jié)果只有一種，有學(xué)生只畫一部分樹形圖也可以求出結(jié)果，板書時不具有示范性.這個問題，又可以后續(xù)環(huán)節(jié)生生互問中解決.學(xué)生列舉方法預(yù)設(shè)：1.簡單枚舉法2.樹狀圖無無有有無有無有有無無有有無無3.列表法——聯(lián)表第2局第1局有無有（有，有）（有，無）無（無，有）（無，無）第1，2局第3局有無（有，有）（有，有，有）（有，有，無）（無，有）（無，有，有）（無，有，無）（有，無）（有，無，有）（有，無，無）（無，無）（無，無，有）（無，無，無）4.分步計數(shù)原理計算出隨機事件中包含的基本事件有2×2×2=8個，而考慮點擊不到雷的可能是第一局，第二局，第三局，因此有3種情況.所以，計算其概率為.教師追問：連續(xù)三局開局，我們還可以求哪些隨機事件的概率呢？學(xué)生提問并回答.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題、分析問題、解決問題的能力.小結(jié):進一步理解隨機事件的特征,總結(jié)列舉法求概率的一般步驟.列舉（簡單枚舉、列表、畫樹狀圖）事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并判斷每個結(jié)果發(fā)生的可能性是否都相等.如果都相等，再確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件的結(jié)果的個數(shù)m.用公式計算所求事件的概率.說明簡單列表法的適用范圍是兩步得到結(jié)果的隨機試驗.如果是列舉三步，或者三步以上的得到結(jié)果的隨機實驗的結(jié)果時，難以用列表法，此時可以采用畫樹狀圖或其他可行的列舉方法例如列聯(lián)表的方法.用樹狀圖列舉時，其適用范圍更廣.【設(shè)計意圖】在學(xué)生親身經(jīng)歷用各種方法的進行列舉的基礎(chǔ)上，小結(jié)含有兩個、三個步驟隨機試驗中隨機事件的概率的求法.在應(yīng)用過程中，主動建立和完善對列表法和畫樹狀圖法的認(rèn)知，體會分類思想在有序列舉過程中的作用，初步掌握列舉法計算簡單事件發(fā)生的概率.學(xué)生如果對于每次的開局結(jié)果為什么不分成有雷，出現(xiàn)數(shù)字0，1，2，3這5種情況提出質(zhì)疑，可以強調(diào)在計算古典概型的概率時，必須等可能才能用上述方法進行計算.3.探索應(yīng)用發(fā)展認(rèn)知例2.在開局時點擊的是左上角的A方格，(1)方格中可能出現(xiàn)哪些數(shù)字？(2)在出現(xiàn)數(shù)字的前提下,哪些數(shù)字出現(xiàn)的概率更大一些,分別是多少？學(xué)生通過分組操作、匯報點擊出現(xiàn)數(shù)字次數(shù)，出現(xiàn)雷的次數(shù)，出現(xiàn)數(shù)字0,1,2,3的次數(shù)，可以直觀感受各個數(shù)字出現(xiàn)的可能性大小.但是由于每組學(xué)生實驗次數(shù)的限制，得到的結(jié)論可能是不準(zhǔn)確的.然后，通過計算機模擬大量實驗，讓學(xué)生進一步猜測上述問題的結(jié)論.進而提出問題，如何計算出現(xiàn)這些數(shù)字的概率.預(yù)案1.學(xué)生按照A方格中出現(xiàn)的數(shù)字來分析B、C、D方格可能出現(xiàn)的情況，直接枚舉，確定出所有可能產(chǎn)生的結(jié)果.預(yù)案2.學(xué)生把B、C、D方格是否有雷，各自作為獲得試驗結(jié)果的一個步驟，然后用樹狀圖去列舉出所有可能的結(jié)果.小結(jié)：從這個題目我們可以看到，對于更為復(fù)雜的問題，對于列舉的方法還要靈活的使用，才能不重不漏的列舉出所有可能產(chǎn)生的結(jié)果，但是無論用何種方法，明確不重不漏的分類討論的標(biāo)準(zhǔn)都是最核心的.【設(shè)計意圖】在學(xué)生活動方面，首先，通過學(xué)生的探索、猜測，學(xué)生直觀感受到出現(xiàn)數(shù)字的可能性的大小.其次，在本例中學(xué)生可以根據(jù)數(shù)字0，1，2，3直接枚舉確定方格B、C、D中雷的情況，也可以靈活使用樹狀圖列舉所有可能結(jié)果，體現(xiàn)了正向、逆向兩種不同的思維過程.4.課堂小結(jié)布置作業(yè)課堂小結(jié):從掃雷這樣一個小游戲中我們會發(fā)現(xiàn)概率在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，我們應(yīng)該嘗試?yán)酶怕实闹R來解決身邊的一些問題.表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值稱為這個事件的概率.正確計算隨機事件發(fā)生的概率關(guān)鍵是理解好隨機事件的特征,不重不漏地列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.列舉時可以采用列表、畫樹狀圖或其他分類列舉的方法，如果事件是三步或三步以上試驗時畫樹狀圖法較為簡便.不管哪一種列舉方法，列舉過程都是分類討論思想方法的應(yīng)用.我們常借助分類的方法把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題來解決.肯定同學(xué)在課前的程序制作以及列聯(lián)表的方法中體現(xiàn)的創(chuàng)新精神，以及積極參與猜想，探索，計算，驗證等數(shù)學(xué)活動的意識.作業(yè)：必做：課本P137：習(xí)題25.2第1，2，3題選做：課本P137：習(xí)題25.2第4題【設(shè)計意圖】從知識方法、數(shù)學(xué)思考、情感態(tài)度等方面小結(jié)本節(jié)課的重點和難點，分層次作業(yè)滿足不同層次學(xué)生需求.教學(xué)特色說明：掃雷是同學(xué)們非常熟悉的一個情境，選擇這樣一個背景，作為列舉法求概率這節(jié)課的起點，可以激發(fā)學(xué)生興趣.讓學(xué)生體會到概率在決策中的重要作用，這也是學(xué)習(xí)概率的重要意義之一.學(xué)生活動豐富，形式多樣.既有課前準(zhǔn)備，單個同學(xué)示范.也有生生互相提問.還有學(xué)生活動，大量采集數(shù)據(jù)，獲得可能性大小的體驗.我們通過同學(xué)們創(chuàng)造性地設(shè)計程序，為設(shè)計例題服務(wù)，資源完全來源于學(xué)生，也調(diào)動了同學(xué)們的積極性.問題的設(shè)置兼顧了梯度和難度，引例具有復(fù)習(xí)功能，強調(diào)一步出結(jié)果的隨機事件的概率的計算方法.例題1（1）(2)突出列表法和樹狀圖在不重不漏的列舉所有等可能的結(jié)果時的重要作用.例題1（3）目的突出看到對于三步或三步以上才能得到結(jié)果的隨機試驗，列舉其結(jié)果的時候列表法的局限性，同時看到樹狀圖應(yīng)用的廣泛性.例題2是對列舉方法的靈活使用，其中不同的思維產(chǎn)生不同分類標(biāo)準(zhǔn)是有序列舉的核心.《用列舉法求概率》評析課程改革以來，廣大初中數(shù)學(xué)教師和教研員積極學(xué)習(xí)“課標(biāo)”、認(rèn)真落實“意見”，堅持理論與實踐相結(jié)合，堅持從數(shù)學(xué)學(xué)科特點與學(xué)生實際出發(fā)，深入研究、開展實驗，在改進初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式與提高課堂教學(xué)效果方面積累了豐富的經(jīng)驗。隨著課改的深入，老師們越來越關(guān)注怎樣使數(shù)學(xué)教學(xué)充滿活力、富有意義；怎樣讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)問題，提高能力；如何讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思維特征等等。范老師這節(jié)課《用列舉法求概率》在多個方面進行了精心的設(shè)計和大膽的創(chuàng)新，為新課程改革做了一次有益的嘗試。數(shù)學(xué)課要有數(shù)學(xué)的“味道”常有人說數(shù)學(xué)課最好上，一節(jié)課講幾道題就行了。說這話的一定不是數(shù)學(xué)老師。數(shù)學(xué)老師都知道：不是會做題就能把數(shù)學(xué)課上好，也不是會講題就算上好了數(shù)學(xué)課。要讓學(xué)生能夠被老師的教學(xué)所吸引，能夠在課堂上真正喜歡上數(shù)學(xué)，最重要的是能夠把數(shù)學(xué)課講出“味道”來。《用列舉法求概率》這節(jié)課，從教學(xué)重點來看是運用列舉法（簡單枚舉、列表、畫樹狀圖）計算隨機事件發(fā)生的概率。如果老師按照給定義、背公式、做習(xí)題等展開教學(xué)的話，概率論的思維過程、研究對象及特征等也就淹沒在這些數(shù)學(xué)名詞里面了，所謂的“味道”也就出不來了。我們知道，概率論研究的是隨機現(xiàn)象，隨機性的中心思想是不可預(yù)測性。這也是它的魅力所在。范老師對于隨機性的滲透其實從課前準(zhǔn)備就開始了。學(xué)生們?yōu)榱吮ＷC地雷出現(xiàn)位置是隨機的，在編程的過程中進行了多個角度的分析、討論和多次的修改。在課上，老師在定義的確定，公式的得出以及幾個例題的講解和分析中，也反復(fù)讓學(xué)生體會這一特點，進而對定義和公式有了更深層次的理解。如果教學(xué)是遵循著數(shù)學(xué)的思維去自然地、真實地展開，堅守住不講結(jié)論而是講思維過程，數(shù)學(xué)課的“味道”就必然會越來越濃。啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合文學(xué)家楊絳先生曾說過：“好的教育”首先是啟發(fā)人的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)的自覺性，培養(yǎng)人的上進心，引導(dǎo)人們好學(xué)和不斷完善自己。要讓學(xué)生在不知不覺中受教育，在潛移默化中學(xué)習(xí)知識。我們面對的教學(xué)對象是人，是對知識充滿渴望的學(xué)生，所以不可能有一個或幾個固定的操作模式或教學(xué)模式，啟發(fā)式教學(xué)啟發(fā)的是思維。啟發(fā)式教學(xué)更是一種教學(xué)思想、教學(xué)理念。而一節(jié)能夠帶給學(xué)生思維樂趣的數(shù)學(xué)課，是需要教師去用心創(chuàng)造的。在范老師這節(jié)課上，沒有那種看似生動的環(huán)節(jié)，比如學(xué)生“熱烈”的討論，“川流不息”的板演、互評……而是從通過精心設(shè)計的問題來把握好預(yù)設(shè)和生成的關(guān)系，控制課堂教學(xué)的節(jié)奏。我們常說，一節(jié)課的開頭5分鐘非常重要，這是學(xué)生精力最為集中的時間，如果在這寶貴的5分鐘之內(nèi)抓不住學(xué)生的注意力，沒能帶領(lǐng)學(xué)生進入數(shù)學(xué)思維情景中來的話，這節(jié)課的平淡乏味也就不足為奇了。范老師在這節(jié)課引入階段通過學(xué)生改編的小游戲入手，很自然的過渡到第一個例題，引出本節(jié)課內(nèi)容。后面兩個例題，在問題設(shè)置上由淺入深，相互呼應(yīng)，從知識的發(fā)生、發(fā)展過程進行思維活動，把講題換成以討論問題、探究問題的方式出現(xiàn)。這節(jié)課上，范老師的講解與學(xué)生的練習(xí)有機的結(jié)合起來，大多數(shù)時間是數(shù)學(xué)思維的交流，是師生間、生生間一起思考數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的過程。在這個過程中，范老師沒有簡單的重復(fù)書本上的知識，而是把自己對知識的理解和感悟告訴學(xué)生，同時通過學(xué)生的語言、行為、甚至表情等了解學(xué)生的思維狀態(tài)，評價學(xué)生的思維活動，遵從學(xué)生的思維特點展開數(shù)學(xué)的